Giải Toán 12 Bài 5 Lớp 12 Toán 12 Chi Tiết Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

§5. KHẢO SÁT Sự BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM số
A. KIẾN THỨC CĂN BẢNSơ ĐÓ KHẢO SÁT HÀM số
Tìm tập xác định của hàm số
Xét chiểu biến thiên của hàm số
Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số Tìrri các đường tiệm cận của đổ thị (nếu có).Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm sổ, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.Vẽ đồ thị của hàm sô
Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. (Trong trường hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này).il. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d (a * 0)a > 0a +oo,32y27-2 (y = 0)lim y = -00y" = 3x2 + 2x + 9 > 0, Vx e 3.Bảng biến thiên và đồ thị+ 00Hàm số luôn đồng biến và không có cực trị. lim y - +00, lim y = đồ thị hàm số không có tiệm cận.X—>+CCX—»-+xd) Tập xác định: D = Ky" = -6x2 -cokhông có tiệm cận.X—co0+00y"—0—V+00* — oc2. Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cúa các hàm sô’ bậc bốn sau: a) y = -X4 + 8x2 - 1b) y = X4 - 2x2 + 23• y501X15d) y = 2x2 - X4 + 37ha) Tập xác định: D = R_x.,3+ 16x =-4x(x2 - 4)X = 0(y = -1)X = -2(y = 15)X = 2(y = 15)—XỐ^lầiy" - 0 -2X—>±cc
Bảng biến thiên và đồ thị X -oo-2+0C+00+x-b) Tập xác định: D = Ky" = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) x = 0 (y = 2)±1 (y = 1)lim y = +x
X—>±co
Bảng biến thiên và đồ thị -=c-1.+00c) Tập xác định: D = 2y" = 2x
Đồ thị cắt trục Ox tại X = ±1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cúa các hàm sô phân thức: + 2x = 2x(x2 + 1); y" = 0 X = 0 (y =Bảng
Xíiến thiên và đồ thị+ 00—000y"—0+y+00 ______co 111_» +0°* 2 —lim y = +0Cx-»±00Đồ thị cắt trục Ox tại X = ±1 d) Tập xác định: D = Ky" = -4x - 4x3 = -4x(l + X2) y" = 0 X = 0 (y = 3)lim y = -00x-»±oo+00a) y ■b) y =1 - 2x 2x - 4Bảng biến thiên và đồ thị X —oo0Ốịiải
Tập xác định: D = K \ {!)y" = 7—1+lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang.lim y = —co; lim y = +00 nên X = 2 là tiệm cận đứng x->2+x->2"lim y = -1 nên y = -1 là tiệm cận ngang
X—>±co
X—00 2 +00y"++y+00-GO/^Điểm đặc biệt: X = 0 => y = - - Bảng biến thiên và đồ thị-1c) Tập xác định: D = R \ 1- -y" =4., 4 —00+0012Điểm đặc biệt: X = 0 => y = 24. Bằng cách kháo sát hàm sô, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) X3 - 3x2 + 5 = 0;b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0 ;c) 2x2 - X4 = -1.lim y = - 4 nên y = - 4 là tiệm cân neans. x4±oo22ÚịlÂl
Đồ thị (C) hàm số y = X3 - 3x2 + 5 cắt trục Ox tại một điểm nên phương trình X3 - 3x2 + 5 - 0 có nghiệm duy nhất.b) Xét hàm sô" y = -2x3 + 3x2 - 2 Tập xác định: D = s
Đồ thị (G) hàm sô" y = -2x3 + 3x2 - 2 cắt trục Ox tại một điểm nên phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 có nghiệm duy nhất. yc) Xét hàm sô" y = -X4 + 2x2Tập xác định: D = .3?y" = -4x3 + 4x = -4x(x2 - 1)y" = 0 lim y = - XX—>±OOX = 0 (y = 0) X = ±1 (y = 1)1-1o 1X-1X—00-101+00y"+0-0+0 .y—00•^0XBảng biến thiên và đồ thị
Đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C) hàm sô" y = -X4 + 2x2 tại hai điểm phân biệt nên phương trình -X4 + 2x2 = -1 có hai nghiệm phân biệt.5. a) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) cùa hàm sô y = -X3 + 3x + 1b) Dựa vào dồ thị (C). biện luận về sô nghiệm cùa phương trình sau theo tham số m.X3 — 3x + m = 0Ốịiảia) Tập xác định: D = .-oc
X—>+oc
Bảng biến thiên+ 30+ í^-^3— 1"*■—ocb) Ta có X3 - 3x + m = 0 -X3 + 3x + 1 = m + 1Từ đồ thị ta có: • m + 1 3m 2Phương trình có một nghiệm• m + 1 = -1 hoặc m + l = 3m = -2 hoặc m - 2 Phương trình có hai nghiệm-1 -2 0, Vm e s và Vx*-^(2x + m)22Do đó hàm sô" luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.Ta có lim y = -x; lim y = +00Suy ra X = là tiệm cận đứng của đồ thị 2Tiệm cận đứng qua A(-l; 72 ) khi = -1 m = 2c) Với m = 2 ta có y =2x-l2x + 2Tập xác định: D = K \ 1-11 6y" =(2x + 2)2 Tiệm cận đứng: X = -1 Tiệm cận ngang: y = 1y > 0, Vx -1-41-1/0XX—X—1+»y"++y" 1Cho hàm số y = - XX —co0 + 4 X2 + m 42Với giá trị nào của tham sô" m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1; 1)?
Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C) của hàm sô" khi m = 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ băng ị .ốỊiải+ m m =Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1) khi và chỉ khi 1=4 + 442Với m = 1 ta có y = — X4 44 Ta có y"(l) = 2; y"(-l) = -2Phương trình tiếp tuyến qua A là y —ý = y"(l)(x - 1) y = 2x - - 4" 7Phương trình tiếp tuyến qua B là y - -- = y"(-l)(x + 1) y = -2x - 4Xét họ đường cong (C„,) có phương trình là: y = X3 + (m + 3)x2 + 1 - m; trong đó m là than
Xác định m để hàm sô" có điếm cực đại là X = -1.Xác định m dế’ đồ thị (C„,) cắt trục hoành tại điểm X = -2.Ốịlảl
Hàm số có điểm cực đại X = -1 khi và chỉ khiíy"(-l) = 0Í3(-l)2 + 2(m + 3)(-l) = 0í-2m-3 = 0. 1m = -Ịy"(-1) ±00- 1y +00+00c) Ta có - X4Với X = -1 ta có y = 4: B(-1; —) + 4 X2 + 1 = - X4 + 2x2 - 3 = 0 X2 = 1 o X = ±1 424 7... 7 .Vrfi Y — 1 ta rrì V — — • Áí 1 • — V+00IQ I OQBảng biến thiên và đồ thị9. Cho hàm số y = (m + 2m +1 (m là tham số) có đồ thị là G. X -1Xác định m đế đường cong (G) đi qua điểm (0; -1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cúa hàm sô’ với m tìm được.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung. y"(0) = -2(x-1)2Phương trình tiếp tuyến tại M là y + 1 = -2x hay y = -2x - 1.c. BÀI TẬP LÀM THÊM1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm sô":x"1a) y = X3 - 3x - 1; b) y =— X2 + 1 ; c) y =X + 2 X-1d) y =2-x2x-l
Cho hàm số y = X3 - (m + 4)x2 - 4x + m (1)Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm sô" (1) luôn có cực trị.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0.Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.Cho hàm sô" y = X4 - mx2 + m - 5 (2)Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm sô" (2) có ba cực trị.Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) hàm sô" ứng với m = 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) song song với đường thẳng y = 24x - 5.Cho hàm sô" y = 2x + 1x + 1Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô.Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất. Đáp số: M>(0; 1), M2(-2; 3).Tìm hàm số y = ax + b biết:cx + dđồ thị có tiệm cận đứng X = 1, tiệm cận ngang y = —2Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm. x + 1đồ thị đi qua điểm A í 0; - ì Ị2(x -1)Khảo sát và Đáp số: y =

Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách 1:

\(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\).

Bạn đang xem: Bài 5 lớp 12 toán

Thay \(z,\overline z \) và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai.

Xem thêm: Toán 10 4.21 - Giải Toán 10 Trang 70 Tập 1 Kết Nối Tri Thức

Cách 2:

Tính \(S = z+\overline z,\,\,P = z.\overline z\), khi đó \(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\)

Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x.z + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\end{array}\)

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)

Cách 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}\end{array}\)

\(\Rightarrow z,\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).

toancapba.com

Bình luận

Chia sẻ
Chia sẻ
Bình chọn:
4.1 trên 18 phiếu
Bài tiếp theo

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE

Bài giải mới nhất

× Góp ý cho toancapba.com

Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi góp ý

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Sai chính tả

Giải khó hiểu

Giải sai

Lỗi khác

Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com

Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi

Cảm ơn bạn đã sử dụng toancapba.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Họ và tên: