Các dạng toán về thể tích khối chóp lớp 11 giải chi tiết được soạn dưới dạng tệp tin word cùng PDF bao gồm 4 trang. Các bạn xem và download về ngơi nghỉ dưới.
Bạn đang xem: Bài toán hình chóp lớp 11
I. Phương pháp:Phương pháp
Thể tích khối chóp $V = frac13eta h$
Trong đó, $eta $ là diện tích s đáy; $h$ là chiều cao
Diện tích nhiều giác đáy thường gặp
II. Những dạng toán:
1. Thể tích khối chóp có ở kề bên vuông góc với đáy:
a) Thể tích của khối chóp tất cả đáy là tam giác
Câu 1. Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$,$AB = a$ ,$AC = 2a$, sát bên $SA$ vuông góc với mặt dưới và $SA = a$ . Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.
Lời giải
$V_S.ABC = frac13B.h = frac13S_ABC.SA$
Tam giác $ABC$ vuông trên $A$
$ Rightarrow $Diện tích lòng $B = S_ABC = frac12AB.AC = frac12a.2a = a^2$
Chiều cao: $h = a$
$V_S.ABC = frac13a^2.a = fraca^33$
Câu 2. Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác phần đông cạnh , kề bên $SA$ vuông góc với mặt dưới và $SA = a$ . Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.
Lời giải
$V_S.ABC = frac13B.h = frac13S_ABC.SA$
Tam giác ABC số đông cạnh $a$
$ Rightarrow $Diện tích lòng $B = S_ABC = fracleft( cạnh ight)^2.sqrt 3 4 = fraca^2sqrt 3 4$
Chiều cao: $h = a$
$V_S.ABC = frac13B.h = frac13fraca^2sqrt 3 4.a = fraca^3sqrt 3 12$
Câu 3. Cho khối chóp $S.ABC$ bao gồm $SA$ vuông góc với $left( ABC ight)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$,$BC = 2a$ , $widehat SBA = 30^circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Lời giải
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $BC = 2a$ $ Rightarrow AB = AC = asqrt 2 $ .
Xét $Delta SAB$ vuông tại $A$ bao gồm $SA = AB. an 30^circ = asqrt 2 .fracsqrt 3 3 = fracasqrt 6 3$.
Ta gồm $S_ABC = frac12AB^2 = a^2$.
Vậy $V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fracasqrt 6 3.a^2 = fraca^3sqrt 6 9$ .
b) Thể tích của khối chóp tất cả đáy là tứ giác
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a$, $BC = 2a$, $SA = 2a$, $SA$ vuông góc với khía cạnh phẳng $left( ABCD ight)$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ tính theo $a$.
Lời giải
$V_S.ABCD = frac13B.h = frac13S_ABCD.SA$
Ta bao gồm : $ABCD$ là hình chữ nhật
$ Rightarrow $$S_ABCD = AB.CD = a.2a$$ = 2a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA$$ = frac13.2a^2.2a = frac4a^33$.
Câu 5. Cho khối chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy là hình vuông vắn cạnh $a$, $SA$ vuông góc cùng với đáy với $widehat CSB = 30^0$. Tính thể tích $V$ của khối chóp vẫn cho.
Lời giải
$V_S.ABCD = frac13B.h = frac13S_ABCD.SA$
$S_ABCD = a^2$
Tam giác $CSB$vuông tại $B$ có
$ an widehat CSB = fracBCSB Rightarrow SB = fracBC an widehat CSB = fraca an 30^0 = fracafracsqrt 3 3 = asqrt 3 $
Tam giác $SAB$vuông tại $A$ tất cả $SA = sqrt SB^2 – AB^2 = sqrt left( asqrt 3 ight)^2 – a^2 = asqrt 2 $
Thể tích khối chóp : $V = frac13S_ABCD.SA = frac13a^2.asqrt 2 = fracsqrt 2 a^33$.
Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $2a$, cạnh $SB$ vuông góc với đáy và $widehat SAB = 60^0$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
Lời giải
$V_S.ABCD = frac13B.h = frac13S_ABCD.SB$
$S_ABCD = (2a)^2 = 4a^2$
Tam giác $SAB$vuông tại $A$ có :
$ an widehat SBA = fracSBAB$$ Rightarrow SB = AB. an 60^circ = 2asqrt 3 $
Vậy $V_S.ABCD = frac13S_ABCD.SB = frac13.4a^2.2asqrt 3 = frac8a^3sqrt 3 3$.
2. Thể tích khối chóp xuất hiện bên vuông góc cùng với đáy:
Phương pháp:
$left. egingathered(P) ot (Q) hfill \(P) cap (Q) = d hfill \a ot d hfill \a subset (P) hfill \endgathered ight} Rightarrow a ot (Q)$
a) Thể tích của khối chóp gồm đáy là tam giác
Câu 1. Cho hình chóp $S.ABC$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác đông đảo cạnh $2a$, tam giác $SAB$ là tam giác hồ hết và phía bên trong mặt phẳng vuông góc với phương diện đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Lời giải:
Xác định chiều cao hình chóp
Ta có: $left( SAB ight) ot left( ABC ight)$
Kẻ $SH ot AB$ trên $H$
$ Rightarrow SH ot left( ABC ight)$
$ Rightarrow V_S.ABC = frac13B.h = frac13S_ABC.SH$
Tính những yếu tố
$Delta SAB$ là tam giác đông đảo cạnh $2a$
$ Rightarrow SH = fracABsqrt 3 2 = frac2asqrt 3 2 = asqrt 3 $
$Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$
$ Rightarrow S_ABC = fracAB^2sqrt 3 4 = frac(2a)^2.sqrt 3 4 = a^2sqrt 3 $.
Vậy $V_S.ABC = frac13.S_ABC.SH = frac13.a^2sqrt 3 .asqrt 3 = a^3$.
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABC$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác đều; tam giác $SAB$ là tam giác vuông trên $S$ và phía trong mặt phẳng vuông góc với phương diện đáy. Biết $SA = 2a;,SB = asqrt 3 $. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Lời giải:
Xác định độ cao hình chóp
Ta có: $left( SAB ight) ot left( ABC ight)$
Kẻ $SH ot AB$ trên $H$
$ Rightarrow SH ot left( ABC ight)$
$ Rightarrow V_S.ABC = frac13B.h = frac13S_ABC.SH$
Tính những yếu tố
$Delta SAB$ là tam giác vuông tại $S$ với $AH$ là đường cao ta có:
$frac1SH^2 = frac1SA^2 + frac1SB^2 = frac14a^2 + frac13a^2 = frac712a^2$
$ Rightarrow SH^2 = frac12a^27 Rightarrow SH = frac2asqrt 21 7$
$Delta SAB$ là tam giác vuông tại $S$ ta có:
$AB = sqrt SA^2 + AB^2 = sqrt 4a^2 + 3a^2 = asqrt 7 $
$Delta ABC$ là tam giác hồ hết cạnh $AB = asqrt 7 $
$ Rightarrow S_ABC = fracAB^2sqrt 3 4 = frac(asqrt 7 )^2.sqrt 3 4 = frac7sqrt 3 a^24$.
Vậy $V_S.ABC = frac13.S_ABC.SH = frac13.frac7sqrt 3 a^24.frac2asqrt 21 7 = fraca^2sqrt 7 2$.
b) Thể tích của khối chóp có đáy là tứ giác
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tam giác $SAB$ gần như và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy$left( ABCD ight)$. Biết $SC = 2asqrt 3 $ cùng góc tạo bởi vì đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $left( ABCD ight)$ bởi $30^0$. Tính thể tích $V$của khối chóp $S.ABCD$.
Lời giải
Ta có: $left( SAB ight) ot left( ABCD ight)$
Kẻ $SI ot AB$ tại $I$
$ Rightarrow đắm say ot left( ABCD ight)$
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13B.h = frac13S_ABCD.SI$
Tính những yếu tố
Xác định $left( widehat SC;left( ABCD ight) ight)$.
Ta có: $IC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$
$ Rightarrow left( widehat SC;left( ABCD ight) ight) = (SC;IC) = widehat SCI = 30^0$
Tam giác $SCI$vuông trên $I$ gồm $sin widehat SCI = fracSISC$
$ Rightarrow đam mê = SC.sin widehat SCI = 2asqrt 3 .sin 30^0 = asqrt 3 $
Tam giác $SCI$vuông tại $I$ gồm $cooperatornames widehat SCI = fracCISC$
$ Rightarrow CI = SC.coswidehat SCI = 2asqrt 3 .cos30^0 = 3a$.
Tam giác $SAB$ đều phải có $SI = fracABsqrt 3 2$
$ Rightarrow AB = frac2SIsqrt 3 = frac2.asqrt 3 sqrt 3 = 2a$
Tam giác $CIB$vuông tại $B$ bao gồm $BC = sqrt CI^2 – BI^2 = sqrt left( 3a ight)^2 – a^2 = 2asqrt 2 $
$ Rightarrow S_ABCD = AB.BC = 2a.2asqrt 2 = 4a^2sqrt 2 $
Vậy $V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SI = frac13.4a^2sqrt 2 .asqrt 3 = frac4a^3sqrt 6 3$.
Câu 4. Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $2a$, $Delta SAD$ cân tại $S$ và phía trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa $left( SBC ight)$ và dưới đáy bằng $60^o$. Tính thể tích $S.ABCD$.
Lời giải
Xác định chiều cao hình chóp
Ta có: $left( SAD ight) ot left( ABCD ight)$
Kẻ $SH ot AD$ trên $H$
$ Rightarrow SH ot left( ABCD ight)$
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13B.h = frac13S_ABCD.SH$
Tính các yếu tố
$ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $2a$ nên$S_ABCD = AB^2 = 4a^2$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
Tam giác $SBC$ cân tại $S$ $ Rightarrow SM ot BC$
mà $HM ot BC$
$ Rightarrow $ $left( widehat left( SBC ight);(ABCD) ight) = (SM;HM) = widehat SMH = 60^0$
Tam giác $SMH$vuông tại $H$ có $ an widehat SMH = fracSHMH$
$ Rightarrow SH = MH. an widehat SMH = 2a. an 60^0 = 2asqrt 3 $.
Vậy $V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SH = frac13.4a^2.2asqrt 3 = frac8a^3sqrt 3 3$.
3. Thể tích của khối chóp đều:
Phương pháp:
Hình chóp rất nhiều $ Rightarrow $ đáy là nhiều giác phần đông và chân đường cao trùng với trung khu của đáy
a) Thể tích của khối chóp đều sở hữu đáy là tam giác
Câu 1. Cho hình chóp tam giác phần đa $S.ABC$ tất cả cạnh đáy bởi $a$ và lân cận tạo đáy góc $60^0$. Thể tích của khối chóp vẫn cho.
Lời giải
Gọi $O$ là trung tâm của tam giác $ABC$
Ta có $SO ot left( ABC ight)$.
$ Rightarrow V_S.ABC = frac13S_đáy.h = frac13S_ABC.SO$
Tam giác $ABC$ đông đảo cạnh $a$
Ta có: $S_ABC = fraca^2sqrt 3 4$.
Xác định $left( widehat SA,left( ABC ight) ight)$
Ta có $AO$ là hình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $left( ABC ight)$.
Suy ra $left( widehat SA,left( ABC ight) ight) = left( SA,AO ight) = widehat SAO = 60^0$.
Tam giác $ABC$ đa số cạnh $a$có $AM = fracasqrt 3 2$
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$, ta có:
$ an widehat SAO = fracSOAO Rightarrow SO = AO. an widehat SAO = frac23AM. an 60^0 = frac23.a.fracsqrt 3 2.sqrt 3 = a$.
Vậy $V_S.ABC = frac13S_ABC.SO = frac13.fraca^2sqrt 3 4.a = fraca^3sqrt 3 12$.
Câu 2. Cho hình chóp tam giác hầu như $S.ABC$ có cạnh đáy bởi $asqrt 3 $ , cạnh bên bằng $2a$. Tính thể tích $V$của khối chóp $S.ABC$.
Lời giải
Gọi $H$ là trung tâm của tam giác $ABC$
Ta có $SH ot left( ABC ight)$.
$ Rightarrow V_S.ABC = frac13S_đáy.h = frac13S_ABC.SH$
Diện tích đáy $B = S_ABC = fracleft( a.sqrt 3 ight)^2sqrt 3 4 = frac3a^2sqrt 3 4$ ;
Tam giác $ABC$ phần nhiều cạnh $asqrt 3 $có $AM = fracasqrt 3 .sqrt 3 2 = frac3a2$
$AH = frac23AM = frac23.frac3a2 = a$
Tam giác $SHA$vuông trên $H$có $SH = sqrt SA^2 – AH^2 = sqrt 4a^2 – a^2 = asqrt 3 $
Vậy $V_S.ABC = frac13S_ABC.SH = frac13.frac3a^2sqrt 3 4.asqrt 3 = frac3a^34$
b) Thể tích của khối chóp gồm đáy là tứ giác
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ gồm cạnh đáy bởi $a$ và kề bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^0$. Tính thể tích $V$của khối chóp $S.ABCD$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm của hình vuông vắn $ABCD$
Ta có $SO ot left( ABCD ight)$.
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13S_đáy.h = frac13S_ABCD.SO$
Ta có: $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $ Rightarrow S_ABCD = a^2$.
$left( widehat SB,left( ABC ight) ight) = left( SB,OB ight) = widehat SBO = 60^0$
$OB = frac12BD = frac12.asqrt 2 = fracasqrt 2 2$ (Đường chéo hình vuông)
Xét tam giác $SBO$ vuông tại $O$, ta tất cả $ an widehat SBO = fracSOOB$
$ Rightarrow SO = OB. an widehat SBO = fracasqrt 2 2. an 60^0 = fracasqrt 6 2$.
Vậy $V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SO = frac13.a^2.fracasqrt 6 2 = fraca^3sqrt 6 6$.
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đầy đủ $S.ABCD$ gồm cạnh đáy bởi $a$ với mặt bên tạo với khía cạnh phẳng lòng một góc $60^0$. Tính thể tích $V$của khối chóp $S.ABCD$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$
Ta bao gồm $SO ot left( ABCD ight)$.
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13S_đáy.h = frac13S_ABCD.SO$
Ta có: $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $ Rightarrow S_ABCD = a^2$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, góc giữa mặt bên $(SBC)$ với $(ABCD)$ là $widehat SMO = 60^0$
Ta gồm $OM = frac12AB = fraca2.$
Xét tam giác $SOM$ vuông trên $O$, ta tất cả $ an widehat SMO = fracSOOM$
$SO = OM. an widehat SMO = fraca2. an 60^0 = fracasqrt 3 2$.
Vậy $V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SO = frac13.a^2.fracasqrt 3 2 = fraca^3sqrt 3 6$.
Các dạng toán trắc nghiệm thể tích khối chóp lớp 11 giải cụ thể được soạn dưới dạng tệp tin word cùng PDF bao gồm 4 trang. Chúng ta xem và mua về sinh sống dưới.Dạng 1: Lý thuyết
Câu 1: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và ăn diện tích đáy bằng $B$ là
A. $V = frac12Bh$. B. $V = frac16Bh$. C. $V = Bh$. D. $V = frac13Bh$.
Lời giải
Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và mặc tích đáy bởi $B$ là: $V = frac13Bh$.
Chọn D
Câu 2: Cho khối chóp tất cả đáy là hình vuông vắn cạnh $a$ và chiều cao bằng $4a$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $16a^3$. B. $frac163a^3$. C. $4a^3$. D. $frac43a^3$.
Lời giải
Thể tích khối chóp: $V = frac13B.h$$ = frac13a^2.4a$$ = frac43a^3$.
Chọn D
Câu 3: Thể tích khối chóp gồm độ dài con đường cao bằng 6, diện tích s đáy bởi 8 là
A. $12$. B. $48$. C.$16$. D. $24$.
Lời giải
Ta có: $V = frac13S.h = frac13.8.6 = 16$.
Chọn B
Câu 4: Cho khối chóp có đáy là hình vuông vắn cạnh $2a$ và độ cao bằng $3a$. Thể tích khối chóp đã mang đến bằng
A. $16a^3$ B. $frac163a^3$ C. $4a^3$ D. $frac43a^3$
Lời giải
Thể tích khối chóp: $V = frac13B.h$$ = frac13left( 2a ight)^2.3a$$ = 4a^3$.
Chọn C
Câu 5: Khối chóp tất cả một nửa diện tích s đáy là $S$, độ cao là $2h$ thì có thể tích là
A. $V = S.h$. B. $V = frac13S.h$. C. $V = frac43S.h$. D. $V = frac12S.h$.
Lời giải
Ta có: $V = frac13B.h = frac13.2S.2h = frac43S.h$.
Chọn C
Câu 6: Khối chóp rất có thể tích $V$, diện tích đáy là $S$, độ cao $h$ là
A. $h = fracVS$. B. $h = frac3VS$. C. $h = fracS3V$. D. $h = fracSV$.
Lời giải
Ta có: $V = frac13S.h Rightarrow h = frac3VS$.
Chọn B
Câu 7: Khối chóp rất có thể tích $V = 10,cm^3$, diện tích đáy là $S = 6,cm^2$, chiều cao $h$ là
A. $h = 8,cm$. B. $h = 7,cm$. C. $h = 6,cm$. D. $h = 5,cm$.
Lời giải
Ta có: $V = frac13S.h Rightarrow h = frac3VS = frac3.106 = 5,cm$.
Chọn D
Câu 8: Khối chóp có thể tích $V$, chiều cao $h$, diện tích s đáy $S$ của khối chóp là
A. $S = fracVh$. B. $S = frac3Vh$. C. $S = frach3V$. D. $S = 3Vh$.
Lời giải
Ta có: $V = frac13S.h Rightarrow S = frac3Vh$.
Chọn B
Câu 9: Khối chóp hoàn toàn có thể tích $V = 6,cm^3$, độ cao $h = 9,cm$, diện tích s đáy $S$của khối chóp là
A. $S = 2,cm^2$. B. $S = 1,cm^2$. C. $S = 3,cm^2$. D. $S = 4,cm^2$.
Lời giải
Ta có: $V = frac13S.h Rightarrow S = frac3Vh = frac3.69 = 2,cm^2$.
Chọn A
Câu 10: Nếu độ cao của khối chóp tạo thêm 3 lần thì thể tích khối chóp tăng bao nhiêu lần
A. $27$ lần. B. $9$ lần.. C. $3$ lần. D. $6$ lần..
Lời giải
Ta có: $V_1 = frac13S.h$.
Chiều cao của khối chóp tạo thêm 3 lần thì thể tích khối chóp là $V_2 = frac13S.(3h) = S.h$
Suy ra, $fracV_2V_1 = fracS.hfrac13S.h = 3$
Vậy, độ cao của khối chóp tăng thêm 3 lần thì thể tích khối chóp tăng $3$lần.
Chọn C
Câu 11: Nếu diện tích s đáy của khối chóp tăng thêm 3 lần thì thể tích khối chóp tăng bao nhiêu lần
A. $27$ lần. B. $9$ lần.. C. $3$ lần. D. $6$ lần..
Lời giải
Ta có: $V_1 = frac13S.h$.
Diện tích lòng của khối chóp tăng thêm 3 lần thì thể tích khối chóp là $V_2 = frac133S.h = S.h$
Suy ra, $fracV_2V_1 = fracS.hfrac13S.h = 3$
Vậy, diện tích đáy của khối chóp tăng thêm 3 lần thì thể tích khối chóp tăng $3$lần.
Chọn C
Dạng 2. Thể tích có lân cận vuông góc cùng với đáy:
a) Thể tích của hình chóp bao gồm đáy là tam giác
Câu 12: Cho hình chóp $S cdot ABC$ gồm tam giác $ABC$ vuông trên $A,AB = a,AC = 2a.SA$ vuông góc với phương diện phẳng lòng $(ABC)$ cùng $SA = asqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = a^3sqrt 3 $.
B. $V = frac2sqrt 3 3a^3$.
C. $V = fracsqrt 3 3a^3$.
D. $V = fracsqrt 3 4a^3$.
Lời giải
Do $SA ot (ABC) Rightarrow h = SA = asqrt 3 $. Tam giác $ABC$ vuông trên $A$ nên $S_ABC = frac12 cdot AB cdot AC = frac12 cdot a cdot 2a = a^2$
Ta có: $V_S cdot ABCfrac13 cdot S_ABC cdot SA = = frac13 cdot a^2 cdot asqrt 3 = fracsqrt 3 3a^3$.
Chọn C
Câu 13: Cho khối chóp $S cdot ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác những cạnh $2a$. Bên cạnh $SA$ vuông góc cùng với đáy cùng $SA = asqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S A B C$.
A. $V = 3a^3$.
B. $V = fraca^34$.
C. $V = a^3sqrt 3 $.
D. $V = a^3$.
Lời giải
Ta tất cả $V = frac13SA.S_ABC,SA = asqrt 3 $ và $S_ABC = frac(2a)^2sqrt 3 4$
$ Rightarrow V = frac13asqrt 3 frac(2a)^2sqrt 3 4 = a^3$.
Vậy $V = a^3$.
Chọn D
Câu 14: Cho khối chóp $S cdot ABC$ tất cả $SA$ vuông góc với đáy, $SA = 4,AB = 6,BC = 10$ và $CA = 8$. Tính thể tích khối chóp $S cdot ABC$.
A. $V = 40$. B. $V = 192$. C. $V = 32$. D. $V = 24$.
Lời giải
Ta gồm $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 10^2 = BC^2$
Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$, bởi đó diện tích s tam giác $ABC$ là: $S = frac12AB cdot AC = frac12 cdot 6 cdot 8 = 24$
Vậy $V_SABC = frac13 cdot SAS_ABC = frac13 cdot 4 cdot 24 = 32$.
Chọn C
Câu 15: Cho khối chóp $S cdot ABC$ có $SA$ vuông góc cùng với $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,BC = 2a$, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $30^circ $. Tính thể tích khối chóp $S cdot ABC$
A. $fraca^3sqrt 6 9$. B. $fraca^3sqrt 6 3$. C. $fraca^3sqrt 3 3$. D. $fraca^3sqrt 2 4$.
Lời giải
Ta bao gồm $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ suy ra góc giữa $SB$ cùng $(ABC)$ là góc $widehat SBA = 30^circ $.
Tam giác $ABC$ vuông cân nặng tại $A,BC = 2a Rightarrow AB = AC = asqrt 2 $.
Xét $vartriangle SAB$ vuông tại $A$ gồm $SA = AB cdot an 30^circ = asqrt 2 cdot fracsqrt 3 3 = fracasqrt 6 3$.
Xem thêm: Giải bài 3 trang 121 sgk toán 11 đại số và giải tích bài 3 trang 121
Ta có $S_ABC = frac12AB^2 = a^2$.
Vậy $V_SABC = frac13 cdot SAS_ABC = frac13 cdot fracasqrt 6 3 cdot a^2 = fraca^3sqrt 6 9$.
Chọn A
b) Thể tích của hình chóp gồm đáy là tứ giác
Câu 16: Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh bởi $a$. Biết ở bên cạnh $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
A. $frac4a^33$. B. $2a^3$. C. $fraca^33$. D. $frac2a^33$.
Lời giải
Ta gồm $V_S.ABCD = frac13S_ABCD.SA = frac13a^2.2a = frac2a^33$.
Chọn D
Câu 17: Cho hình chóp $S.ABCD$ tất cả đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, lân cận $SA$ vuông góc với phương diện phẳng đáy với $SA = asqrt 2 $. Tính thể tích $V$của hình chóp $S.ABCD$.
A. $V = fracsqrt 2 a^36$ . B. $V = fracsqrt 2 a^34$. C. $V = sqrt 2 a^3$. D. $V = fracsqrt 2 a^33$.
Lời giải
Ta bao gồm $V = frac13SA.S_ABCD = frac13asqrt 2 .a^2 = fraca^3sqrt 2 3$
Chọn D
Câu 18: Cho khối chóp$S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $asqrt 3 $, cạnh $SA$ vuông góc với khía cạnh phẳng $left( ABCD ight)$và $SB$ tạo ra với đáy một góc $60^circ $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = 9a^3$. B. $V = frac3a^34$. C. $V = frac9a^32$. D. $V = 3a^3$.
Lời giải
$SA ot left( ABCD ight) Rightarrow AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $left( ABCD ight)$.
$ Rightarrow widehat left( SB,left( ABCD ight) ight) = widehat left( SB,AB ight) = widehat SBA = 60^circ $.
Trong tam giác vuông $SAB$,
$SA = an 60^circ .AB = sqrt 3 .asqrt 3 = 3a$.
$S_ABCD = AB^2 = left( asqrt 3 ight)^2 = 3a^2$.
Vậy thể tích $V$của khối chóp $S.ABCD$ là$V = frac13.S_ABCD.SA = frac13.3a^2.3a = 3a^.3$.
Chọn D
Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $widehat BAD = 120^0$. Bên cạnh $SA$ vuông góc với đáy $left( ABCD ight)$ cùng $SD$ chế tạo ra với đáy $left( ABCD ight)$ một góc $60^0$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = fraca^34$. B. $V = frac3a^34$. C. $V = fraca^32$. D. $V = a^3$.
Lời giải
Do $SA ot left( ABCD ight)$ nên ta tất cả $left( widehat SD,left( ABCD ight) ight) = (SD;AD) = widehat SDA = 60^0.$
Tam giác vuông $SAD$, có $SA = AD. an widehat SDA = asqrt 3 .$
Diện tích hình thoi $S_ABCD = 2S_Delta BAD = AB.AD.sin widehat BAD = fraca^2sqrt 3 2.$
Vậy thể tích khối chop $V_S.ABCD = frac13S_ABCD.SA = fraca^32.$
Chọn C.
Dạng 3. Thể tích xuất hiện bên vuông góc với đáy:
a) Thể tích của hình chóp tất cả đáy là tam giác
Câu 20: Cho hình chóp $S.ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB = a$, $BC = asqrt 3 $. Mặt bên $left( SAB ight)$ là tam giác phần đa và bên trong mặt phẳng vuông góc với khía cạnh phẳng $left( ABC ight)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = fraca^3sqrt 6 12$. B. $V = fraca^3sqrt 6 4$. C. $V = frac2a^3sqrt 6 12$. D. $V = fraca^3sqrt 6 6$.
Lời giải
Ta có: $left( SAB ight) ot left( ABC ight)$
Kẻ $SH ot AB$ tại$H$
$ Rightarrow $ $SH ot left( ABC ight)$
$ Rightarrow V_S.ABC = frac13.S_ABC.SH$
Tam giác $SAB$ là đa số cạnh $AB = a$ buộc phải $SH = fracasqrt 3 2$.
Tam giác vuông $ABC$, tất cả $AC = sqrt BC^2 – AB^2 = asqrt 2 $.
Diện tích tam giác vuông $S_Delta ABC = frac12AB.AC = fraca^2sqrt 2 2$.
Vậy $V_S.ABC = frac13S_ABC.SH = fraca^3sqrt 6 12.$
Chọn A.
Câu 21: cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AC = 2a$, $AB = SA = a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và phía bên trong mặt phẳng vuông góc với đáy $left( ABC ight)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = fraca^34$. B. $V = frac3a^34$. C. $V = a^3$. D. $V = frac2a^33$.
Lời giải
Ta có: $left( SAC ight) ot left( ABC ight)$
Kẻ $SH ot AC$ tại$H$
$ Rightarrow $ $SH ot left( ABC ight)$
$ Rightarrow V_S.ABC = frac13.S_ABC.SH$
Trong tam giác vuông $SAC$, ta có
$SC = sqrt AC^2 – SA^2 = asqrt 3 $, $SH = fracSA.SCAC = fracasqrt 3 2$.
Tam giác vuông $ABC$, tất cả $BC = sqrt AC^2 – AB^2 = asqrt 3 $.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_Delta ABC = frac12AB.BC = fraca^2sqrt 3 2$.
Vậy $V_S.ABC = frac13S_ABC.SH = fraca^34.$
Chọn A.
b) Thể tích của hình chóp tất cả đáy là tứ giác
Câu 22: cho khối chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương diện đáy, $SA = 2a$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = fraca^3sqrt 15 12$. B. $V = fraca^3sqrt 15 6$. C. $V = 2a^3$. D. $V = frac2a^33$.
Lời giải
Ta có: $left( SAB ight) ot left( ABCD ight)$
Kẻ $SI ot AB$ tại$I$
$ Rightarrow $ $SI ot left( ABCD ight)$
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SI$
Tam giác vuông $SIA$, có
$SI = sqrt SA^2 – IA^2 = sqrt SA^2 – left( fracAB2 ight)^2 = fracasqrt 15 2$.
Diện tích hình vuông $ABCD$ là $S_ABCD = a^2.$
Vậy $V_S.ABCD = frac13S_ABCD.SI = fraca^3sqrt 15 6.$
Chọn B.
Câu 23: Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh bởi $sqrt 3 $, tam giác $SBC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc cùng với đáy, con đường thẳng $SD$ tạo thành với mặt phẳng $left( SBC ight)$ một góc $60^0$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = frac1sqrt 6 $. B. $V = sqrt 6 $. C. $V = fracsqrt 6 3$. D. $V = sqrt 3 $.
Lời giải
Ta có: $left( SBC ight) ot left( ABCD ight)$
Kẻ $SH ot BC$ tại $H$
$ Rightarrow $ $SH ot left( ABCD ight)$
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SH$
Ta gồm $left{ eginarray*20lDC ot BC \DC ot SHendarray ight. Rightarrow DC ot left( SBC ight)$.
Do đó $left( widehat SD,left( SBC ight) ight) = left( SD,SC ight) = widehat DSC = 60^0$.
Từ $DC ot left( SBC ight)xrightarrowDC ot SC.$
Tam giác vuông $SCD,$ bao gồm $SC = fracDC an widehat DSC = 1$.
Tam giác vuông $SBC$, có
$SH = fracSB.SCBC = fracsqrt BC^2 – SC^2 .SCBC = fracsqrt 6 3$.
Diện tích hình vuông vắn $ABCD$ là $S_ABCD = 3.$
Vậy $V_S.ABCD = frac13S_ABCD.SH = fracsqrt 6 3.$
Chọn C.
Dạng 4. Thể tích của khối chóp đều:
a) Thể tích của hình chóp có đáy là tam giác
Câu 24: mang đến hình chóp phần đa $S.ABC$ gồm cạnh đáy bởi $a$, sát bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích $V$ của khối chóp sẽ cho.
A. $V = fracsqrt 13 ,a^312.$ B. $V = fracsqrt 11 ,a^312.$ C. $V = fracsqrt 11 ,a^36.$ D. $V = fracsqrt 11 ,a^34.$
Lời giải
Gọi $I$ là trọng điểm tam giác $ABC.$
Vì $S.ABC$ là khối chóp đều cần suy ra$,,SI ot left( ABC ight)$
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13S_Delta ABC.SI$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC,, Rightarrow ,,AI = frac23AM = fracasqrt 3 3.$
Tam giác $SAI$ vuông trên $I$, có
$SI = sqrt SA^2 – SI^2 = sqrt left( 2a ight)^2 – left( fracasqrt 3 3 ight)^2 = fracasqrt 33 3.$
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_Delta ABC = fraca^2sqrt 3 4.$
Vậy thể tích khối chóp $V_S.ABCD = frac13S_Delta ABC.SI = fracsqrt 11 ,a^312.$
Chọn B.
Câu 25: cho hình chóp đầy đủ $S.ABC$ gồm cạnh đáy bởi $a$, sát bên bằng $fracasqrt 21 6$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp đang cho.
A. $V = fraca^3sqrt 3 8$. B. $V = fraca^3sqrt 3 12$. C. $V = fraca^3sqrt 3 24$. D. $V = fraca^3sqrt 3 6$.
Lời giải
Gọi $I$ là trung ương tam giác $ABC.$ do $S.ABC$ là khối chóp đều đề nghị suy ra$,,SI ot left( ABC ight).$
$ Rightarrow V_S.ABCD = frac13S_Delta ABC.SI$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC,, Rightarrow ,,AI = frac23AM = fracasqrt 3 3.$
Tam giác $SAI$ vuông tại $I$, có
$SI = sqrt SA^2 – AI^2 sqrt left( fracasqrt 21 6 ight)^2 – left( fracasqrt 3 3 ight)^2 = fraca2.$
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_Delta ABC = fraca^2sqrt 3 4.$
Vậy thể tích khối chóp $V_S.ABC = frac13S_Delta ABC.SI = fraca^3sqrt 3 24$
Chọn C.
Câu 26: Cho hình chóp phần đông $S.ABC$ tất cả cạnh đáy bởi $a$, góc giữa mặt bên với mặt dưới bằng $60^0$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V = fraca^3sqrt 3 24$. B. $V = fraca^3sqrt 3 8$. C. $V = fraca^38$. D. $V = fraca^3sqrt 3 12$.
Lời giải
Gọi $O$ là trung ương tam giác $ABC$.
Vì $S.ABC$ là khối chóp đều đề xuất suy ra$,,SO ot left( ABC ight).$
$ Rightarrow V_S.ABC = frac13S_Delta ABC.SO$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$
Khi kia $left( widehat left( SBC ight),left( ABC ight) ight) = left( SE,OE ight) = widehat SEO = 60^0$.
Tam giác vuông $SOE$, có
$SO = OE. an widehat SEO = fracAE3. an 60^0 = fracasqrt 3 6.sqrt 3 = fraca2$.
Diện tích tam giác mọi $ABC$ là $S_Delta ABC = fraca^2sqrt 3 4$.
Vậy $V_S.ABC = frac13S_Delta ABC.SO = fraca^3sqrt 3 24.$
Chọn A.
b) Thể tích của hình chóp gồm đáy là tứ giác
Câu 27: mang đến hình chóp các $S.ABCD$ có cạnh đáy bởi $a$, ở kề bên hợp với mặt dưới một góc $60^0$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V = fraca^3sqrt 6 6$. B. $V = fraca^3sqrt 6 2$. C. $V = fraca^3sqrt 6 3$. D. $V = fraca^33$.
Lời giải
Gọi $O = AC cap BD.$
Do $S.ABCD$ là hình chóp đều đề xuất $SO ot left( ABCD ight)$.
Suy ra $OB$ là hình chiếu của $SB$ trên $left( ABCD ight)$.
Khi đó $60^0 ext = widehat SB,left( ABCD ight) = widehat SB,OB = widehat SBO$.
Tam giác vuông $SOB$, gồm $SO = OB. an widehat SBO = fracasqrt 6 2.$
Diện tích hình vuông $ABC$ là $S_ABCD = AB^2 = a^2.$
Vậy $V_S.ABCD = frac13S_ABCD.SO = fraca^3sqrt 6 6.$
Chọn A.
Câu 28: đến hình chóp tứ giác gần như $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $2a$. Mặt mặt tạo với lòng góc $60^0$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ bên trên $SD$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối tứ diện $DKAC$.
A. $V = frac2a^3sqrt 3 15$. B. $V = frac4a^3sqrt 3 5$. C. $V = frac4a^3sqrt 3 15$. D. $V = a^3sqrt 3 $.
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm $CD$, suy ra $OM ot CD$ nên
$left( widehat left( SCD ight),left( ABCD ight) ight) = left( SM,OM ight) = widehat SMO = 60^0$.
Tam giác vuông $SOM$, có $SO = OM. an widehat SMO = asqrt 3 $.
Kẻ $KH ot OD Rightarrow KHparallel SO$ phải $KH ot left( ABCD ight)$.
Tam giác vuông $SOD$, ta bao gồm $fracKHSO = fracDKDS = fracDO^2DS^2$
$ = fracOD^2SO^2 + OD^2 = frac25xrightarrowKH = frac25SO = frac2asqrt 3 5.$
Diện tích tam giác $S_Delta ADC = frac12AD.DC = 2a^2$.
Vậy $V_DKAC = frac13S_Delta ADC.KH = frac4a^3sqrt 3 15.$
