Tuyển Tập Các Dạng Toán Lớp 12 Chọn Lọc, Đề Cương Ôn Tập Học Kỳ Ii Môn Toán Lớp 12

Ví dụ: Tính tích phân (intlimits_0^sqrt 3 2xsqrt x^2 + 1 dx ).

Giải:

Đặt (t = sqrt x^2 + 1 Rightarrow t^2 = x^2 + 1 ) ( Rightarrow 2tdt = 2xdx).

Đổi cận (left{ eginarraylx = 0 Rightarrow t = 1\x = sqrt 3 Rightarrow t = 2endarray ight.)

Do đó: (intlimits_0^sqrt 3 2xsqrt x^2 + 1 dx = intlimits_1^2 t.2tdt = left. dfrac23t^3 ight|_1^2 = dfrac23left( 2^3 - 1^3 ight) = dfrac143).

Dạng 2: Tính tích phân bằng cách thức đổi biến (x = uleft( t ight)).

- cách 1: Đặt (x = uleft( t ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a"\x = b Rightarrow t = b"endarray ight.).

- bước 2: rước vi phân 2 vế (dx = u"left( t ight)dt).

- bước 3: biến đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u"left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).

- cách 4: Tính nguyên hàm theo cách làm (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a"^b" gleft( t ight)dt )

Ví dụ: mang lại $I = intlimits_0^dfracpi 2 sqrt 1 - x^2 mdx $, nếu để $x = sin t$ thì:

A. $I = 2intlimits_0^1 left( 1 + cos 2t ight) mdt $

B. $I = intlimits_0^1 dfrac1 - cos 2t2 mdt $

C. $I = intlimits_0^1 dfrac1 + cos 2t2 mdt $

D. $I = intlimits_0^1 dfraccos 2t - 12 mdt $

Giải:

Đặt $x = sin t Leftrightarrow dx = cos t,dt$ và $1 - x^2 = 1 - sin ^2t = cos ^2t$

Đổi cận (left{ eginarraylx = 0 Rightarrow t = 0\x = dfracpi 2 Rightarrow t = 1endarray ight.)

Suy ra

$I = intlimits_0^dfracpi 2 sqrt 1 - x^2 mdx = intlimits_0^1 sqrt cos ^2t cos t mdt $ $= intlimits_0^1 cos ^2t mdt = intlimits_0^1 dfrac1 + cos 2t2 mdt $

Chọn C.

Chú ý:

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

- cách 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)

- cách 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_1^e xln x mdx. $

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = ln x\dv = xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfracdxx\v = dfracx^22endarray ight.$

Khi đó $I = dfracx^2ln x2left| eginarrayl^e\_1endarray ight. - dfrac12intlimits_1^e x = dfrace^22 - dfracx^24left| eginarrayl^e\_1endarray ight. = dfrace^2 + 14$

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

- cách 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f"left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)

- bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính (I = intlimits_0^1 left( 2x + 3 ight)e^x mdx )

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = 2x + 3\dv = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = 2dx\v = e^xendarray ight.$

Khi kia $I = left. left( 2x + 3 ight)e^x ight|_0^1 - intlimits_0^1 2e^xdx = left. left( 2x + 3 ight)e^x ight|_0^1 - left. 2e^x ight|_0^1 = 3e - 1.$

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác cùng hàm đa thức.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- cách 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f"left( x ight)dx\v = - dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f"left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.)

- bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_0^dfracpi 4 xsin 2x mdx $

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = sin 2xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = - dfraccos 2x2endarray ight..$

Khi kia $I = - dfracxcos 2x2left| _scriptstyleatopscriptstyle0^dfracpi 4 ight. + dfrac12intlimits_0^dfracpi 4 cos 2xdx = - dfracxcos 2x2left| _scriptstyleatopscriptstyle0^dfracpi 4 ight. + dfracsin 2x4left| _scriptstyleatopscriptstyle0^dfracpi 4 ight. = dfrac14.$

Dạng 4: Tích phân gồm chứa hàm số lượng giác với hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d ight)dx ).

- cách 1: Đặt (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = sin left( cx + d ight)dxendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = cos left( cx + d ight)dxendarray ight.)

- bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n udv = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính $K = intlimits_0^pi e^xcos 2x mdx $

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = cos 2x\dv = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = - 2sin 2xdx\v = e^xendarray ight.$

Suy ra $K = left( e^xcos 2x ight)left| eginarray*20c^pi \_0endarray ight. + 2intlimits_0^pi e^xsin 2xdx = e^pi - 1 + 2M$

Tính $M = intlimits_0^pi e^xsin 2xdx $

Ta để $left{ eginarraylu_1 = sin 2x\dv_1 = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu_1 = 2cos 2x\v_1 = e^xendarray ight.$

Suy ra $M = left( e^xsin 2x ight)left| eginarray*20c^pi \_0endarray ight. - 2intlimits_0^pi e^xcos 2x = - 2K$

Khi kia $K = e^pi - 1 + 2left( - 2K ight) Leftrightarrow 5K = e^pi - 1 Leftrightarrow K = dfrace^pi - 15$