Các Dạng Toán Về Dãy Số Lớp 11 Có Đáp Án, Các Dạng Bài Tập Dãy Số, Cấp Số Cộng, Cấp Số Nhân

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

Dãy số, cung cấp số cùng và cấp số nhân Toán 11 KNTTVCS – Phan Nhật Linh

Dãy số, cấp cho số cùng và cấp số nhân Toán 11 GDPT 2018

Chuyên đề cơ bản dãy số, cấp cho số cùng và cung cấp số nhân Toán 11 KNTTv
CS

Chuyên đề hàng số, cấp cho số cộng và cấp cho số nhân Toán 11 CTST

Hệ thống bài bác tập trắc nghiệm dãy số, cấp cho số cộng và cấp cho số nhân

Tài liệu bồi dưỡng học viên giỏi, Olympic siêng đề dãy số

Các dạng toán hàng số, cấp cho số cộng và cung cấp số nhân Toán 11 Cánh Diều

Chuyên đề hàng số, cấp số cùng và cấp cho số nhân Toán 11 KNTTv
CS

Chuyên đề dãy số, cấp cho số cùng và cấp cho số nhân Toán 11 Cánh Diều

Bài giảng hàng số, cấp số cùng và cấp cho số nhân Toán 11 Cánh Diều

Các dạng bài xích toán thực tiễn về dãy số lớp 11 có giải thuật được soạn bên dưới dạng tệp tin word với PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và cài về sinh sống dưới.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $N^*$ được gọi là một trong những dãy số vô hạn (gọi tắt là hàng số), kí hiệu là $u = uleft( n ight)$.

Ta hay viết $u_n$ cố cho $uleft( n ight)$ cùng kí hiệu dãy số $u = uleft( n ight)$ bởi vì $left( u_n ight)$, do đó dãy số $left( u_n ight)$ được viết bên dưới dạng khai triển $u_1,u_2, ldots ,u_n, cdots $ Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng máy $n$ và hotline là số hạng bao quát của dãy số.

2. Mỗi hàm số $u$ xác minh trên tập $M = left 1;2;3; ldots ;m ight$ với $m in N^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của hàng số hữu hạn là $u_1,u_2, ldots ,u_m$. Số $u_1$ call là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.

3. Một hàng số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và bao gồm ít số hạng);

Công thức của số hạng tổng quát;

Phương pháp tế bào tả;

Phương pháp tầm nã hồi.

4. hàng số $left( u_n ight)$ được hotline là hàng số tăng nếu như ta gồm $u_n + 1 > u_n$ với tất cả $n in N^*$.

Dãy số $left( u_n ight)$ được gọi là hàng số bớt nếu ta bao gồm $u_n + 1 5. Dãy số $left( u_n ight)$ được gọi là bị ngăn trên nếu tồn tại một vài $M$ làm sao để cho $u_n leqslant Mforall n in N^*$.

Dãy số $left( u_n ight)$ được điện thoại tư vấn là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ làm thế nào để cho $u_n geqslant mforall n in mathbfN^*$.

Dãy số $left( u_n ight)$ được call là bị chặn nếu nó vừa bị ngăn trên vừa bị chặn dưới, có nghĩa là tồn tại những số $m,M$ làm sao cho $m leqslant u_n leqslant Mforall n in N^*$.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1:

a) điện thoại tư vấn $u_n$ là số chấm sinh hoạt hàng trang bị $n$ trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng bao quát cho dãy số $(u_n)$.

b) điện thoại tư vấn $v_n$ là tổng diện tích của những hình tô màu làm việc hàng lắp thêm $n$ trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ tuổi là một đơn vị chức năng diện tích). Dự kiến công thức của số hạng bao quát cho hàng số $left( v_n ight)$.

Lời giải

a) Số chấm ở hàng trước tiên là: $u_1 = 1$;

Số chấm sống hàng thứ hai là: $u_2 = 2$;

Số chấm ở sản phẩm thứ ba là: $u_3 = 3$;

Số chấm ở hàng thứ tư là: $u_4 = 4$;

Vậy số chấm nghỉ ngơi hàng lắp thêm $n$ là: $u_n = n$.

b) Diện tích của các ô màu sinh sống hàng đầu tiên là: $v_1 = 1 = 1^3$;

Diện tích của các ô màu sinh hoạt hàng thiết bị hai là: $v_2 = 8 = 2^3$;

Diện tích của những ô màu ở hàng thứ cha là: $v_3 = 27 = 3^3$;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: $v_4 = 64 = 4^3$;

Vậy diện tích của các ô màu sinh hoạt hàng lắp thêm $n$ là: $v_n = n^3$.

Câu 2: Chị Mai gởi tiền tiết kiệm chi phí vào bank theo thể thức lãi kép như sau: trước tiên chị giữ hộ 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gởi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất vay của ngân hàng là $0,5\% $một tháng. Call $P_n$ (triệu đồng) là số chi phí chị bao gồm trong bank sau $n$ tháng.

a) Tính số tiền chị gồm trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị gồm trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) dự kiến công thức của $P_n$ tính theo $n$.

Lời giải

a) Số chi phí chị gồm trong ngân hàng sau 1 tháng là:

$P_1 = 100 + 100 cdot 0,5\% + 6 = 100,5 + 6$ (triệu đồng).

b) Số chi phí chị gồm trong ngân hàng sau 2 tháng là:

$P_2 = 100,5 + 6 + left( 100,5 + 6 ight) cdot 0,5\% + 6$

$ = left( 100,5 + 6 ight)left( 1 + 0,5\% ight) + 6$

$ = 100,5left( 1 + 0,5\% ight) + 6.left( 1 + 0,5\% ight) + 6$ (triệu đồng).

Số tiền chị gồm trong ngân hàng sau 3 mon là:

$P_3 = left( 100,5 + 6 ight)left( 1 + 0,5\% ight) + 6 + left< left( 100,5 + 6 ight)left( 1 + 0,5\% ight) + 6 ight> cdot 0,5\% + 6$

$ = 100,5 cdot (1 + 0,5\% )^2 + 6(1 + 0,5\% )^2 + 6 cdot left( 1 + 0,5\% ight) + 6$ (triệu đồng).

c) Số chi phí chị có trong ngân hàng sau 4 mon là:

$P_4 = left( 100,5 + 6 ight)(1 + 0,5\% )^2 + 6 cdot left( 1 + 0,5\% ight) + 6$$ + left< left( 100,5 + 6 ight)(1 + 0,5\% )^2 + 6 cdot left( 1 + 0,5\% ight) + 6 ight>0,5\% + 6$$ = 100,5 cdot (1 + 0,5\% )^3 + 6 cdot (1 + 0,5\% )^3 + 6(1 + 0,5\% )^2 + 6 cdot left( 1 + 0,5\% ight) + 6$

Số chi phí chị tất cả trong bank sau $n$ mon là:

$P_n = 100,5 cdot (1 + 0,5\% )^n – 1 + 6(1 + 0,5\% )^n – 1 + 6(1 + 0,5\% )^n – 2 + 6 cdot (1 + 0,5\% )^n – 3 + ldots + 6;;$với rất nhiều $n in N^*.$

Câu 3: trên lưới ô vuông, từng ô cạnh 1 đơn vị, fan ta vẽ 8 hình vuông và sơn màu không giống nhau như Hình 3 . Tìm dãy số biểu diển độ lâu năm cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ tuổi đến lớn. Bao gồm nhận xét gì về dãy số trên?

Lời giải

$u_1 = 1;u_2 = 1;u_3 = 2;u_4 = 3;u_5 = 5;u_6 = 8;u_7 = 13;u_8 = 21$

Ta tất cả dãy số: $left( u_n ight):left{ eginarray*20cu_1 = 1 \u_2 = 1 \u_n = u_n – 1 + u_n – 2endarray ight.$

Câu 4: Ông An gửi tiết kiệm chi phí 100 triệu vnd kì hạn 1 mon với lãi suất 1 năm theo hình thức tính lãi kép. Số chi phí (triệu đồng) của nguyễn đức an thu được sau tháng được mang lại bởi công thức $A_n = left( 1 + frac0,0612 ight)^n$.

a) kiếm tìm số chi phí ông An nhận thấy sau tháng trang bị nhất, sau tháng vật dụng hai.

b) tra cứu số tiền ông An nhận ra sau 1 năm.

Lời giải

a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: $A_1 = 100left( 1 + frac0.0612 ight)^1 = 100,5$ (triệu đồng)

Số chi phí ông An nhận được sau 2 tháng: $A_2 = 100left( 1 + frac0,0612 ight)^2 = 101,0025$

(triệu đồng)

b) Số chi phí ông An nhận thấy sau 1 năm: $A_12 = 100left( 1 + frac0,0612 ight)^12 = 106,1678$ (triệu đồng)

Câu 5: Chị hương thơm vay trả dần dần một khoản tiền 100 triệu đồng và gật đầu trả dần 2 triệu đ mỗi mon với lãi suất vay $0,8\% $ số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi $A_nleft( n in N ight)$ là số chi phí còn nọ̣ (triệu đồng) của chị ý Hương sau $n$ tháng.

Xem thêm: Trọn Bộ Đề Lớp 10 Toán - 200 Đề Thi Toán 10 Năm 2024 (Có Đáp Án, Mới Nhất)

a) tìm lần lượt $A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) dự đoán hệ thức truy tìm hồi đối với dãy số $left( A_n ight)$.

Lời giải

a) Ta có:

$A_0 = 100$

$A_1 = 100 + 100 imes 0,008 – 2 = 98,8$

$A_2 = 98,8 + 98,8 imes 0,008 – 2 = 97,59$

$A_3 = 97,59 + 97,59 imes 0,008 – 2 = 96,37$

$A_4 = 96,37 + 96,37 imes 0,008 – 2 = 95,14$

$A_5 = 95,14 + 95,14 imes 0,008 – 2 = 93,90$

$A_6 = 93,90 + 93,90 imes 0,008 – 2 = 92,65$

Vậy sau 6 tháng số tiền chị hương còn nợ là 92, 65 triệu đồng.

b) Hệ thức truy hồ: $A_n = A_n – 1 + A_n – 1 imes 0.008 – 2 = 1.008A_n – 1 – 2$ (triệu đồng)

Câu 6: Chị Mai gởi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo bề ngoài lãi kép như sau: lần đầu chị nhờ cất hộ 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất vay của ngân hảng là $0,5\% $ một tháng. Call $P_n$ (triệu đồng) là số tiền chị bao gồm trong bank sau $n$ tháng.

a) Tính số tiền chị gồm trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị tất cả trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) dự kiến công thức của $P_n$.

Lời giải

a) Số tiền cả nơi bắt đầu và lãi chị Mai có được sau 1 tháng (khi chưa gửi thêm 6 triệu đồng) là:

$100 + 100 cdot frac0,5100 = 100 cdot 1,005 = 100,5;;$(triệu đồng).

Số chi phí chị tất cả trong ngân hàng sau 1 mon là: 100,5 + 6 = 106,5 (triệu đồng).

b) Số tiền chị Mai có trong bank sau 2 tháng là:

$106,5 cdot 1,005 + 6 = 113,0325;$(triệu đồng)

Số tiền chị Mai bao gồm trong bank sau 3 mon là:

$113,0325 cdot 1,005 + 6 = 119,5976625$ (triệu đồng).

c) Ta có:

$P_1 = 100 cdot 1,005 + 6$;

$P_2 = P_1 cdot 1,005 + 6 = left( 100 cdot 1,005 + 6 ight) cdot 1,005 + 6$

$ = 100 cdot 1,005^2 + 6 cdot 1,005 + 6;$

$P_3 = P_2 cdot 1,005 + 6 = left( 100 cdot 1,005^2 + 6 cdot 1,005 + 6 ight) cdot 1,005 + 6$

$ = 100 cdot 1,005^3 + 6 cdot 1,005^2 + 6 cdot 1,005 + 6; ldots ;$

Cứ như thế, ta dự kiến được bí quyết của $P_n$ :

$P_n = 100 cdot 1,005^n + 6 cdot 1,005^n – 1 + 6 cdot 1,005^n – 2 + ldots + 6$

$ = 100 cdot 1,005^n + 6 cdot left( 1,005^n – 1 + 1,005^n – 2 + ldots . + 1 ight)$.

Câu 7: Với từng số nguyên dương , lấy điểm giải pháp đều nhau trên tuyến đường tròn. Nối từng điểm với điểm biện pháp nó nhì điểm trê tuyến phố tròn đó để sản xuất thành các ngôi sao như Hình 1. Call là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị chức năng độ của mỗi ngôi sao 5 cánh thì ta được dãy số . Tìm công thức của số hạng tổng quát

Lời giải

Ta thấy mặt đường tròn được tạo thành $n + 6$ cung đều nhau và từng cung bao gồm số đo bởi $left( frac360n + 6 ight)^ atural $. Bởi mỗi điểm được nối cùng với điểm biện pháp nó nhị điểm trên tuyến đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn $n + 6 – 2.3 = n$ cung đều bằng nhau đó. Suy ra số đo góc sống đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao sáng là $u_n = frac12 cdot frac360n + 6 cdot n = frac180nn + 6$.

Câu 8: bác Hưng để 10 triệu vnd trong tài khoản ngân hàng. Vào cuối mỗi năm, ngân hàng trả lãi vào thông tin tài khoản của chưng ấy, nhưng sau đó sẽ tính phí duy trì tài khoản mỗi năm là 120 ngàn đồng.

a) call $A_0$ là số tiền bác bỏ Hưng đã gửi. Viết bí quyết tính theo lần lượt $A_1,A_2,A_3$. Từ bỏ đó dự kiến hệ thức truy nã hồi đến số dư $A_n$ (tính theo đơn vị đồng) trong tài khoản của bác Hưng vào cuối năm thứ $n$.

b) kiếm tìm số dư trong thông tin tài khoản của bác bỏ Hưng sau 4 năm.

Lời giải

a) Vào cuối năm thứ nhất, số chi phí trong thông tin tài khoản của chưng Hưng là

$A_1 = A_0left( 1 + 3\% ight) – 120000 = 1,03A_0 – 120000;$(đồng)

Vào thời điểm cuối năm thứ hai, số tiền trong tài khoản của bác bỏ Hưng là

$A_2 = A_1left( 1 + 3\% ight) – 120000 = 1,03A_1 – 120000;$(đồng)

Vào cuối năm thứ ba, số chi phí trong tài khoản của chưng Hưng là

$A_3 = A_2left( 1 + 3\% ight) – 120000 = 1,03A_2 – 120000;$(đồng)

Tương tự, vào cuối năm thứ $nleft( n geqslant 1 ight)$, số chi phí trong thông tin tài khoản của chưng Hưng là

$A_n = A_n – 1left( 1 + 3\% ight) – 120000 = 1,03A_n – 1 – 120000;$(đồng)

b) Ta tính theo lần lượt $A_1,A_2,A_3,A_4$ :

$A_1 = 10180000$; $A_2 = 10365400;$$A_3 = 10556362$; $A_4 = 10753053.$

Như vậy, số dư trong tài khoản của bác Hưng sau 4 năm là 10753053 đồng.

Câu 9: giá chỉ của một chiếc máy photocopy lúc mới sắm là 50 triệu đồng. Hiểu được giá trị của nó sau hàng năm sử dụng chỉ còn $75\% $ giá chỉ trị trong thời điểm liền trước đó. Tính giá chỉ trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau từng năm, vào khoảng thời hạn 5 năm kể từ khi mua.

Lời giải

Giá trị của sản phẩm photocopy sau 1 năm sử dụng là

$T_1 = 50 cdot 75\% = 37,5$ ( triệu đ )

Giá trị của dòng sản phẩm photocopy sau 2 năm sử dụng là

$T_2 = T_1 cdot 75\% = 28,125$ ( triệu đồng )

Giá trị của sản phẩm photocopy sau 3 năm sử dụng là

$T_3 = T_2 cdot 75\% = 21,0938$ ( triệu đ )

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm thực hiện là

$T_4 = T_3 cdot 75\% = 15,8203$ ( triệu đ )

Giá trị của sản phẩm photocopy sau 5 năm sử dụng là

$T_5 = T_4 cdot 75\% = 11,8652$ ( triệu vnd )

Chú ý. Tổng quát, giá bán trị của máy photocopy sau $n$ năm thực hiện là

$T_n = T_1 cdot (0,75)^n – 1;$ ( triệu vnd )

Câu 10: trường hợp tỉ lệ mức lạm phát là $3,5\% $mỗi năm và giá mức độ vừa phải của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm này là 2,5 tỷ vnđ thì giá bán trung bình của một căn hộ chung cư mới sau $n$ năm được cho bởi cách làm $A_n = 2,5.(1,035)^n$ ( tỉ đồng). Tìm giá trung bình của một căn hộ nhà ở mới sau 5 năm nữa.

Lời giải

Giá vừa đủ của 1 căn hộ nhà ở mới sau 5 năm là

$A_5 = 2,5 cdot (1,035)^5 = 2,9692;$( tỉ đồng)

Câu 11: bác bỏ An gửi tiết kiệm ngân sách 200 triệu đ kì hạn 3 tháng, với lãi suất một năm. Số chi phí (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà chưng An nhận thấy sau quý (mỗi quý là 3 tháng) vẫn là

$A_n = 200left( 1 + frac0,034 ight)^n,n = 0,1,2, ldots $

a) Viết bố số hạng đầu của dãy số.

b) tìm kiếm số tiền bác An nhận ra sau 2 năm.

Lời giải

a) ba số hạng đầu của dãy số là $A_1 = 201,5;A_2 = 203,0113;A_3 = 204,5338$.

b) để ý rằng hai năm bằng 8 quý, tức là $n = 8$. Bởi vì đó, sau 2 năm só tiền bác bỏ An cảm nhận là $A_8 = 212,3198$ triệu đồng.

Câu 12: vi khuẩn E.Coli chế tác thông sang một quá trình gọi là quy trình phân đôi. Vi trùng E.Coli phân chia thành đôi cứ sau đôi mươi phút. đưa sử vận tốc phân chia này được gia hạn trong 12 giờ nói tử khi vi khuẩn lúc đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ sở hữu bao nhiêu vi trùng E.Coli trong cơ thể? đưa sử bao gồm một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E.Coli gia hạn tốc độ phân loại như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn lúc đầu xâm nhập vào cơ thẻ. Hỏi sau 48 giờ sẽ sở hữu được bao nhiêu vi trùng E.Coli vào cơ thể?

Lời giải

Giả sử ban sơ có 1 vi khuẩn E.Coli.

Sau đôi mươi phút lần một, số vi trùng là $1 cdot 2 = 2$.

Sau trăng tròn phút lần hai, số vi trùng là $2 cdot 2 = 2^2$.

Sau 20 phút lần ba, số vi trùng là $2^2 cdot 2 = 2^3$.

Sau trăng tròn phút lần bốn, số vi khuẩn là $2^3 cdot 2 = 2^4$.

Tương tự bởi vậy sau 12 giờ đồng hồ (bằng $3 cdot 12$ lần trăng tròn phút) thì số vi khuẩn là $2^3 cdot 12 = 2^36 approx 6,87 cdot 10^10$ (con)

Sau 48 giờ (bằng $3 cdot 48 = 144$ lần trăng tròn phút) thì số vi khuẩn là:

$2^144 approx 2,23 cdot 10^43$ (con).

Câu 13: Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một phương thuốc mới. Một thí nghiệm ban đầu với $1,0.10^9$vi khuẩn. Một liều thuốc được áp dụng sau mỗi tứ giờ rất có thể tiêu diệt $4,0.10^8$ vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên $25\% $.

a) Viết hệ thức truy vấn hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước các lần sử dụng thuốc.

b) tìm số vi khuẩn còn sống trước lần thực hiện thuốc thứ năm.

Lời giải

a) hotline $u_0 = 1,0 cdot 10^9$ là số vi trùng tại thời điểm ban sơ và $u_n$ là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc sản phẩm $n$.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau tứ giờ hoàn toàn có thể tiêu khử $4,0 cdot 10^8$ vi trùng và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên $25\% $ phải ta có

$u_n + 1 = left( u_n – 4,0 cdot 10^8 ight) + 25\% cdot u_n = 1,25u_n – 4,0 cdot 10^8$.

b) Ta tính $;u_5$ như sau:

$u_1 = 1,0 cdot 10^9;$

$u_2 = 1,25u_1 – 4,0 cdot 10^8 = 8,5 cdot 10^8;$

$u_3 = 1,25u_2 – 4,0 cdot 10^8 = 6,625 cdot 10^8;$

$u_4 = 1,25u_3 – 4,0 cdot 10^8 = 4,28125 cdot 10^8;$

$u_5 = 1,25u_4 – 4,0 cdot 10^8 = 1,3515625 cdot 10^8$

Vậy số vi trùng còn sinh sống trước lần áp dụng thuốc trang bị năm là 135156250 con.

Câu 14: điện thoại tư vấn là tổng diện tích các hình vuông có ngơi nghỉ hàng đồ vật trog Hinh 1 (mỗi ô vuông nhỏ là 1 đơn vị diện tích).

a) Tính $u_1;u_2;u_3;u_4$.

b) dự kiến công thức tính số hạng bao quát của dãy số $left( u_n ight)$.