Tổng hợp cục bộ lý thuyết toán 12 chương 1 với 2 cùng cách thức giải những dạng bài tập siêu cụ thể hỗ trợ học viên lớp 12 ôn thi thpt QG đạt điểm số cao.
Trong giai đoạn tập trung ôn toán 12 giao hàng kỳ thi trung học phổ thông QG này, rất nhiều em học tập sinh gặp mặt phải tình trạng bỏ sót kỹ năng do quá trình tổng hợp không kỹ càng. Đặc biệt, hầu như chương trước tiên làm căn cơ của công tác toán lớp 12 lại càng dễ dẫn đến thiếu sót kiến thức. Cùng VUIHOC tổng hòa hợp lại toàn cục kiến thức chương 1 cùng 2 toán 12 nhé!
TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 12 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ đồ vật thị của hàm số
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch vươn lên là của hàm số
Bài 2: rất trị của hàm số
Bài 3: giá bán trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 4: Đường tiệm cận
Bài 5: điều tra sự thay đổi thiên cùng vẽ vật dụng thị của hàm số
Bài ôn tập chương I
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ với hàm số logarit
Bài 1: Lũy thừa
Bài 2: Hàm số lũy thừa
Bài 3: Lôgarit
Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Bài 5: Phương trình mũ với phương trình lôgarit
Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Bài ôn tập chương II
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Bài 1 : Nguyên hàm
Bài 2 : Tích phân
Bài 3 : Ứng dụng của tích phân trong hình học
Ôn tập chương 3 giải tích 12
Chương 4: Số phức
Bài 1 : Số phức
Bài 2 : Cộng, trừ và nhân số phức
Bài 3 : Phép phân tách số phức
Bài 4 : Phương trình bậc hai với thông số thực
Ôn tập chương 4 giải tích 12
Ôn tập cuối năm giải tích 12
TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 12 - HÌNH HỌC
Chương 1: Khối đa diện
Bài 1: có mang về khối đa diện
Bài 2: Khối đa diện lồi cùng khối đa diện đều
Bài 3: tư tưởng về thể tích của khối đa diện
Ôn tập chương I
Câu hỏi trắc nghiệm chương I
Chương 2: phương diện nón, phương diện trụ, mặt cầu
Bài 1 : tư tưởng về khía cạnh tròn xoay
Bài 2 : khía cạnh cầu
Ôn tập chương 2 Hình học tập 12
Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12
Chương 3: phương pháp tọa độ trong không gian
Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian
Bài 2 : Phương trình phương diện phẳng
Bài 3 : Phương trình con đường thẳng trong không gian
Ôn tập chương 3 Hình học 12
Câu hỏi trắc nghiệm chương 3 Hình học 12
Ôn tập cuối năm Hình học tập 12
DẠNG BÀI TẬP TOÁN 12 - CHƯƠNG 1: KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1: Hàm số đồng đổi mới nghịch trở nên - vận dụng đạo hàm
1. Xét vệt biểu thức P(x) bằng cách lập bảngBước 1: Biểu thức P(x) bao gồm nghiệm nào? Tìm giá trị x khiến biểu thức P(x) không xác định.
Bạn đang xem: Dạng toán lớp 12
Bước 2: sắp xếp những giá trị của x tìm được theo thứtự từ nhỏ tuổi đến lớn.
Bước 3: Tìm vết của P(x) trên từng khoảng bằng phương pháp dùng trang bị tính.
2. Bên trên tập xác định, xét tính 1-1 điệu hàm sốTrong chương trìnhtoán lớp 12, đồng biếnnghịch biến của hàm số (hay còn gọi là tính đối kháng điệu của hàm số) là phần kỹ năng rất rất gần gũi đối với chúng ta học sinh. Những em vẫn biết hàm số y=f(x) là đồng phát triển thành nếu quý giá của x tăng thì cực hiếm của f(x) tốt y tăng; nghịch đổi thay trong trường phù hợp ngược lại.
Hàm số y=f(x) đồng trở thành (tăng) bên trên K $Leftrightarrow forall x_1,x_2 in K x_1
Hàm số y=f(x) nghịch đổi mới (giảm) bên trên K $Leftrightarrow forall x_1,x_2 in K x_1>x_2$thì $f(x_1)>f(x_2)$.
Hàm số solo điệu khi vừa lòng điều kiện đầy đủ sau:
Hàm số f, đạo hàm bên trên K:
Nếu f’(x)>0 với mọi $xin$ Kthìf đồng biến trên K.
Nếu f’(x)
Nếu f’(x)=0 với tất cả $xin K$ thì f là hàm hằng bên trên K.
Quy tắc xét đồng thay đổi nghịch đổi thay của hàm số toán lớp 12:
Bước 1: tìm kiếm tập xác minh D.
Bước 2: Tính đạo hàm y’=f’(x).
Bước 3: search nghiệm của f’(x) hoặc số đông giá trị x tạo nên f’(x) ko xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến chuyển trên khoảng (a;b) mang đến trướcCho hàm số y=f(x;m) tất cả tập xác minh D, khoảng$(a,b)subset D$:
Hàm số nghịch biến trên$(a;b)Leftrightarrow y"leq 0,forall xin (a;b)$.
Hàm số đồng thay đổi trên $(a;b)Leftrightarrow y"geq 0,forall xin (a;b)$.
Lưu ý: riêng rẽ hàm số$fraca_1x+b_1cx+d$ thì:
Hàm số nghịch biến chuyển trên $(a;b)Leftrightarrow y"
Hàm số đồng biến chuyển trên$(a;b)Leftrightarrow y"> 0,forall xin (a;b)$.
Đăng cam kết ngay sẽ được thầy cô tổng hợp kiến thức và kỹ năng và xây dự suốt thời gian ôn thi sớm ngay từ bây giờ
Bài 2: cực trị của hàm số
1. Định nghĩa rất trị hàm sốTrong công tác học, rất trị củahàm số được định nghĩa là điểm có giá bán trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị bé dại nhất so với bao bọc mà hàm số rất có thể đạt được. Theo hình học, cực trị hàm số biểu diễn khoảng cách lớn duy nhất hoặc nhỏ dại nhất từ điểm đó sang điểm kia.
Giả sử hàm số f xác định trên K $(Ksubset R)$ với $x^0in K$
Điểm cực đại của hàm số f là $x^0$nếu lâu dài một khoảng$(a;b)subset K$ tất cả $x^0$thỏa mãn$f(x)>f(x_0)$,$forall x ,epsilon , (a;b)setminus x_0$
Khi đó, quý giá cực đái của hàm số f đó là $f(x_0)$
2. Phương thức giải các bài toán rất trị hàm số bậc 3$y=ax^3+bx^2+cx+d(a eq 0)$
Ta tất cả $y"=3ax^2+2bx+c$
Đồ thị hàm số gồm 2 điểm cực trị lúc phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt$Leftrightarrow b^2 - 3ac>0$.
3. Giải nhanh vấn đề 12 rất trị hàm trùng phươngCho hàm số $y=4ax^3+2bx;y"=0Leftrightarrow x=0;x=frac-b2a$
C bao gồm 3 điểm cực trị y’=0 bao gồm 3 nghiệm rõ ràng $Leftrightarrow frac-b2a>0$. Ta tất cả 3 điểm cực trị như sau:
A(0;c), B$(-sqrt-fracb2a-fracDelta 4a)$,C$(-sqrtfracb2a-fracDelta 4a)$
Với$Delta =b^2-4ac$
Độ dài các đoạn thẳng:
AB=AC=$sqrtfracb^416a^2-fracb2a,BC=2sqrt-fracb2a$
Bài 3: giá trị nhỏ dại nhất cùng giá trị lớn nhất của hàm số
1. Định nghĩaCho hàm số xác minh trên D
Số M là giá trị lớn số 1 trên D nếu:
Giá trị nhỏ nhất là số m bên trên D nếu:
2. Các bước tìm giá bán trị lớn nhất, giá trị bé dại nhấtsử dụng bảng biến đổi thiênBước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Tìm những nghiệm của f’(x) và những điểm f’(x) trên K
Bước 3: Xét biến thiên của f(x) bên trên K bởi bảng biến chuyển thiên
Bước 4: căn cứ vào bảng vươn lên là thiên kết luận minf(x), max f(x)
3. Quá trình tìm giá chỉ trị phệ nhất, giá trị nhỏ tuổi nhấtkhông thực hiện bảng phát triển thành thiênĐối cùng với tập K là đoạn
Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm$x_iin
Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi), f(ai)
Bước 4: đối chiếu và kết luận các quý giá tìm được
M=minf(x), m=maxf(x)
Đối cùng với tập K là khoảng chừng (a;b)
Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Tìm toàn bộ các nghiệm $x_iin
Bước 3: Tính A=$lim_x ightarrow a^+lim_x ightarrow a^+f(x)$, B=$lim_x ightarrow b^-f(x),f(x_i),f(a_i)$
Bước 4: So sánh những giá trị tính được và kết luận M=minf(x), m=maxf(x)
Bài 4: Đường tiệm cận
Đồ thị hàm số y=f(x) có tập xác định là D:
Đường tiệm cận xiên:Điều kiện nhằm tìm con đường tiệm cận xiên của C:
$lim_x ightarrow +infty f(x)=pm infty$hoặc$lim_x ightarrow -infty f(x)=pm infty$
Có 2 cách thức tìm tiệm cận xiên như sau:
Cách 1: phân tích biểu thức y=f(x) thành dạng $y=f(x)=a(x)+b+varepsilon (x)=0$ thì $y=a(x)+b(a eq 0)$ là đường tiệm cận xiên của C y=f(x)
Cách 2: tìm a với b bằng công thức sau:
$a=lim_x ightarrow +infty fracf(x)x$
$b=lim_x
ightarrow +infty
Khi kia y=ax+b là phương trình mặt đường tiệm cận xiên của C:y=f(x).
Nắm trọn kỹ năng và phương pháp giải đa số dạng bài xích tập trong lịch trình Toán 12 ngay
Kiến thức Toán 12 - bài bác 5: điều tra khảo sát sự đổi thay thiên và vẽ đồ thị hàm số
1. Quá trình thực hiệnBước 1. Search tập xác định
Bước 2. Tính y" = f"(x)
Bước 4. Tính giới hạn$lim_x ightarrow +infty y$ và$lim_x ightarrow -infty y$ tìm kiếm tiệm cận đứng, ngang (nếu có)
Bước 5. Lập bảng phát triển thành thiên
Bước 6. Kết luận chiều phát triển thành thiên, nếu có cực trị thì kết luận thêm phần cực trị
Tổng hợp kiến thức cần rứa vững, các dạng bài xích tập và câu hỏi có khả năng xuất hiện trong đề thi HK2 Toán học tập 12 sắp tới
Phần 1
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1. Nguyên hàm
a) Khái niệm
Nếu (Fleft( x ight)) là một trong những nguyên hàm của (fleft( x ight)) bên trên (K) thì họ nguyên hàm của (fleft( x ight)) bên trên (K) là:
(int f(x) dx = F(x) + C,C in R.)
b) Tính chất
+)(int f"(x) dx = f(x) + C)
+)(int left< f(x) pm g(x) ight> dx)( = int f(x) dx pm int g(x) dx)
+)(int kf(x) dx = kint f(x) dx (k e 0))
c) Nguyên hàm của một số hàm số thường xuyên gặp
d) Các phương pháp tìm nguyên hàm
- sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
- Sử dụng phương thức đổi thay đổi số
(int fleft< u(x) ight>.u"(x) dx = Fleft< u(x) ight> + C)
- Sử dụng phương pháp ừng phần để tìm nguyên hàm
(int u dv = uv - int v du)
2. Tích phân
a) Định nghĩa
Cho hàm số (fleft( x ight)) thường xuyên trên khoảng tầm (I) cùng (a,b) là nhì số bất cứ thuộc (I.) trường hợp (Fleft( x ight)) là 1 nguyên hàm của (fleft( x ight)) thì hiệu số (Fleft( b ight) - Fleft( a ight)) được call là tích phân của (fleft( x ight)) từ (a) đến (b) với kí hiệu là (intlimits_a^b f(x)dx .)
Ta tất cả công thức Newton – Leibnitz:
(intlimits_a^b f(x)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) - Fleft( a ight))
b) Tính chất
+) (intlimits_a^a f(x)dx = 0)
+) (intlimits_a^b f(x)dx = - intlimits_b^a f(x)dx )
+) (intlimits_a^c f(x)dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_b^c f(x)dx )
+) (intlimits_a^b kf(x)dx = kintlimits_a^b f(x)dx ,k in R)
+)(intlimits_a^b
c) phương pháp tính tích phân
- áp dụng công thức Newton – Leibnitz kết hợp với bảng nguyên hàm cơ bạn dạng ở trên
- cách thức đổi thay đổi số
(intlimits_a^b fleft< u(x) ight>.u"(x) dx = intlimits_u(a)^u(b) f(u) du)
- phương thức từng phần để tính tích phân
(intlimits_a^b u dv = left. Uv ight|_a^b - intlimits_a^b v du)
3. Ứng dụng của tích phân
a) Tính diện tích s hình phẳng
+) diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số (y = fleft( x ight)) ((fleft( x ight)) liên tục trên đoạn (left< a;b ight>)), trục (Ox) và hai tuyến phố thẳng (x = a) và (x = b) được cho do công thức:
(S = intlimits_a^b left )
+) diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tuyến phố thẳng (x = a,x = b) và thứ thị của hai hàm số (y = f_1left( x ight)) và (y = f_2left( x ight)) ((f_1left( x ight)) cùng (f_2left( x ight)) liên tục bên trên đoạn (left< a;b ight>)) được cho bởi công thức
(S = intlimits_a^b dx )
c) Tính thể tích đồ vật thể, khối tròn xoay
+) Thể tích đồ dùng thể (T) có thiết diện (Sleft( x ight)) được cho bởi vì công thức:
(V = intlimits_a^b S(x)dx )
+) mang lại hàm số (y = fleft( x ight)) tiếp tục và ko âm bên trên đoạn (left< a;b ight>.) Thể tích của đồ vật thể tròn luân phiên sinh vì chưng miền (left( D ight)) giới hạn bởi (y = fleft( x ight),;x = a,x = b,y = 0) quay quanh trục (Ox) được cho bởi công thức:
(V = pi intlimits_a^b y^2dx = pi intlimits_a^b f^2(x)dx )
+) đến hàm số (x = fleft( y ight)) liên tục và không âm trên đoạn (left< a;b ight>.) Tính thể tích đồ dùng thể tròn chuyển phiên sinh vì miền (left( D ight)) giới hạn bởi (x = fleft( y ight),;y = a,y = b,x = 0) quay quanh trục (Oy) được cho do công thức:
(V = pi intlimits_a^b x^2dy = pi intlimits_a^b f^2(y)dy )
Phần 2
SỐ PHỨC
1. Một số phức là một biểu thức bao gồm dạng a + bi, trong những số đó a, b là những số thực với số i thoả mãn i2 = -1. Cam kết hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
i được gọi là đơn vị chức năng ảo
a được hotline là phần thực. Ký kết hiệu Re(z) = a
b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi, ký hiệu Im(z) = b
Tập hợp các số phức ký kết hiệu là C.
Xem thêm: Toán lớp 11 bài 4 chân trời sáng tạo (tập 1), toán lớp 11 tập 2 trang 32, 33
*) một số lưu ý:
- Mỗi số thực a dương rất nhiều được xem như thể số phức cùng với phần ảo b = 0.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo tuyệt là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
3. Trình diễn hình học tập của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) xung quanh phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, từng điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi.
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho nhị số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
(left{ eginarraylz + z" = (a + a") + (b + b")i\z - z" = (a - a") + (b - b")iendarray ight.)
5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
(zz" = aa" - bb" + (ab" + a"b)i)
6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức (overline z ) = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Vậy (overline z ) = (overline a + bi )= a - bi
Chú ý:
10) (overline overline z ) = z (z và (overline z ) gọi là nhị số phức liên hợp với nhau.
20) z.(overline z ) = a2 + b2
*) tính chất của số phức liên hợp:
(1): (overlineoverline z = z)
(2): (overline z + z" = overline z + overline z" )
(3): (overline z.z" = overline z .overline z" )
(4): z.(overline z )= (sqrt a^2 + b^2 )(z = a + bi)
7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi. Ta cam kết hiệu (left| z ight|) là môđun của số phư z, đó là số thực ko âm được xác minh như sau:
- nếu M(a;b) trình diễn số phc z = a + bi, thì (left| z ight|) = =(sqrt a^2 + b^2 )
- ví như z = a + bi, thì (left| z ight|) = (sqrt z.overline z )=(sqrt a^2 + b^2 )
8. Phép phân tách số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0)
Ta tư tưởng số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z-1= (frac1a^2 + b^2overline z = frac1^2overline z )
Thương (fracz"z)của phép phân tách số phức z’ mang đến số phức z ≠ 0 được xác minh như sau:
(fracz"z = z".z^ - 1 = fracz".overline z ^2)
Với các phép tính cộng, trừ, nhân phân tách số phức nói trên nó cũng có thể có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, phối hợp như những phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
Phần 3
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ vào KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ trong ko gian
+) (overrightarrow i ^2 = overrightarrow j ^2 = overrightarrow k ^2 = 1)
(overrightarrow i .overrightarrow j = overrightarrow i .overrightarrow k ,, = ,,overrightarrow k .overrightarrow j = 0)
+) (vec 0 = (0;0;0),,,vec i = (1;0;0),) (vec j = (0;1;0),,,vec k = (0;0;1))
2. Các công thức điểm, véc tơ
+) (vec a pm vec b, = ,,(a_1 pm b_1;,,a_2 pm b_2;,,a_3 pm b_3))
+) (kvec a,, = ,,(ka_1;,,ka_2;,,ka_3))
+) (overrightarrow a = overrightarrow b ,, Leftrightarrow ,,left{ eginarrayla_1 = b_1\a_2 = b_2\a_3 = b_3endarray ight.)
+) (overrightarrow a ) cùng phương (overrightarrow b ,(vec b e vec 0),) ( Leftrightarrow overrightarrow a = koverrightarrow b ,,,(k in mathbbR))
( Leftrightarrow ,,left{ eginarrayla_1 = kb_1\a_2 = kb_2\a_3 = kb_3endarray ight. Leftrightarrow ,,fraca_1b_1 = fraca_2b_2 = fraca_3b_3,)((b_1,,,b_2,,,b_3 e 0))
+) (vec a.vec b = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3)
+) (overrightarrow a ot overrightarrow b ,,, Leftrightarrow ,,,a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0)
+) (vec a^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)
+) (left| vec a ight| = ,,sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_2^2 )
+) (cos (vec a,,,vec b),, = ,fracvec a.vec b.left,)(, = ,,fraca_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 .sqrt b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 ) (với (vec a,,,vec b e vec 0))
+) (eginarraylM in left( Oxy ight) Leftrightarrow z = 0\M in left( Oyz ight) Leftrightarrow x = 0\M in left( Oxz ight) Leftrightarrow y = 0endarray)
+)(eginarraylM in Ox Leftrightarrow y = z = 0;\M in Oy Leftrightarrow x = z = 0;\M in Oz Leftrightarrow x = y = 0endarray)
+) (overrightarrow AB )(= (x_B - x_A;y_B - y_A;z_B - z_A))
+) (AB)(= ,,sqrt (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 )
+) Toạ độ trung điểm (M) của đoạn trực tiếp (AB): (Mleft( fracx_A + x_B2;fracy_A + y_B2;fracz_A + z_B2 ight))
+) Toạ độ trọng tâm (G) của tam giác (ABC):
(Gleft( fracx_A + x_B + x_C3;fracy_A + y_B + y_C3;fracz_A + z_B + z_C3 ight))
+) Toạ độ trung tâm (G) của tứ diện (ABCD):
(Gleft( fracx_A + x_B + x_C + x_D4;fracy_A + y_B + y_C + y_D4;fracz_A + z_B + z_C + z_D4 ight))
+) (eginarraylleft< vec a,vec b ight>\ = ,,left( eginarray*20ca_1&a_2\b_1&b_2endarray ight ight)\ = left( a_2b_3 - a_3b_2;a_3b_1 - a_1b_3;a_1b_2 - a_2b_1 ight)endarray)
+) (
+) (left< overrightarrow a ,,,overrightarrow b , ight> = - left< overrightarrow b ,overrightarrow a ight>)
+) (left< vec i,vec j ight> = vec k;left< vec j,vec k ight> = vec i;left< vec k,vec i ight> = vec j)
+) (overrightarrow a ,,,overrightarrow b ) cùng phương ( Leftrightarrow
+) (vec a,vec b,vec c) đồng phẳng ( Leftrightarrow left< vec a,vec b ight>.vec c = 0)
+) diện tích s hình bình hành (ABCD):
(S_ABCD = left| left< overrightarrow AB ,overrightarrow AD ight> ight|)
+) diện tích tam giác (ABC):
(S_Delta ABC = frac12left| left< overrightarrow AB ,,,overrightarrow AC ight> ight|)
+) Thể tích khối vỏ hộp (ABCD.A"B"C"D"):
(V_ABCD.A"B"C"D",, = ,,left|
+) Thể tích tứ diện (ABCD):
(V_ABCD = frac16left|
2. Phương trình mặt phẳng
+) Trong không gian (Oxyz), hầu như mặt phẳng đều sở hữu dạng phương trình:
(Ax + By + Cz + D = 0,,) cùng với (A^2 + B^2 + C^2 e 0)
+) trường hợp mặt phẳng ((alpha )) bao gồm phương trình (Ax + By + Cz + D = 0,,)thì nó tất cả một VTPT là (overrightarrow n (A;,B;,C)).
+) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm (M_0(x_0;y_0;z_0)) cùng nhận vectơ (overrightarrow n (A;,B;,C)) khác (overrightarrow 0 ) là VTPT là: (A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0).
+) ví như (overrightarrow n ) là một VTPT của khía cạnh phẳng ((alpha )) thì (koverrightarrow n ,)(,(k e 0)) cũng là 1 trong VTPT của mặt phẳng((alpha ))
+) Một khía cạnh phẳng được khẳng định duy duy nhất nếu biết một điểm nó trải qua và một VTPT của nó.
+) nếu (overrightarrow u ,,overrightarrow v ) có giá tuy nhiên song hoặc nằm trên mặt phẳng ((alpha )) thì (overrightarrow n =
m
+) khoảng cách từ điểm (M_0) mang lại mặt phẳng ((alpha )) được tính: (d(M_0,(alpha )) = fracsqrt A^2 + B^2 + C^2 )
+) Góc thân (left( alpha ight)) với (left( eta ight)) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT (overrightarrow n_alpha ,overrightarrow n_eta ). Tức là:
(eginarraylcos left( left( alpha ight),left( eta ight) ight)\ = left| cos left( overrightarrow n_alpha ,overrightarrow n_eta ight) ight| = frac\ = frac A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 ightsqrt A_1^2 + B_1^2 + C_1^2 .sqrt A_2^2 + B_2^2 + C_2^2 endarray)
+) ((alpha ) m//(eta )) (Leftrightarrow fracA_1A_2 = fracB_1B_2 = fracC_1C_2 e fracD_1D_2)
+) ((alpha ) equiv (eta ))(Leftrightarrow fracA_1A_2 = fracB_1B_2 = fracC_1C_2 = fracD_1D_2)
+) ((alpha )) giảm ((eta ))(Leftrightarrow fracA_1A_2 e fracB_1B_2) hoặc (fracB_1B_2 e fracC_1C_2) hoặc (fracA_1A_2 e fracC_1C_2)
3. Phương trình mặt đường thẳng
+) Phương trình tham số: (left{ eginarraylx = x_0 + a_1t\y = y_0 + a_2t\z = z_0 + a_2tendarray ight.; m left( t in mathbbR ight)) cùng với (M_0left( x_0;y_0;z_0 ight)) là điểm đi qua cùng (overrightarrow u = left( a_1;a_2;a_3 ight)) là VTCP (left( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 e 0 ight))
+) Phương trình thiết yếu tắc: (fracx - x_0a_1 = fracy - y_0a_2 = fracz - z_0a_3) cùng với (M_0left( x_0;y_0;z_0 ight)) là vấn đề đi qua và (overrightarrow u = left( a_1;a_2;a_3 ight)) là VTCP (left( a_1a_2a_3 e 0 ight))
+) điện thoại tư vấn (varphi ) là góc giữa hai tuyến đường thẳng (Delta _1) với (Delta _2). Ta có: (cos varphi = frac overrightarrow u_1 .overrightarrow u_2 ight.left)
+) điện thoại tư vấn (varphi ) là góc giữa đường thẳng (Delta ) với mặt phẳng ((alpha )). Ta có: (sin varphi = fracleft)
+) khoảng cách từ điểm (M) mang đến đường trực tiếp (Delta ) trải qua điểm (M_0) và gồm vectơ chỉ phương (overrightarrow u_Delta )
(dleft( M,Delta ight) = fracleft overrightarrow u_Delta ight)
+) khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng chéo cánh nhau:
(Delta _1) trải qua điểm (M) và bao gồm vectơ chỉ phương (overrightarrow u_1 )
(Delta _2) đi qua điểm (N) và tất cả vectơ chỉ phương (overrightarrow u_2 )
(dleft( Delta _1,Delta _2 ight) m = fracleftleft)
+) Vị trí tương đối của hai tuyến đường thẳng
(d) tuy vậy song (d") (Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u = koverrightarrow u" \M in d,M otin d"endarray ight.)
(d) trùng (d") (Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u = koverrightarrow u" \M in d,M in d"endarray ight.)
(d) giảm (d") (Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow MN = 0) với (overrightarrow u ,overrightarrow u" ) không cùng phương
(d) chéo cánh (d") (Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow MN e 0)
4. Phương trình mặt cầu
+) Phương trình thiết yếu tắc
Mặt mong (left( S ight):)(left( x - a ight)^2 + left( y - b ight)^2 + left( z - c ight)^2 = R^2) tất cả tâm (Ileft( a;b;c ight)), bán kính (R > 0)
+) Phương trình tổng quát
Mặt ước (left( S ight):x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) gồm tâm (Ileft( a;b;c ight)) và bán kính (R = sqrt a^2 + b^2 + c^2 - d ) với (a^2 + b^2 + c^2 - d > 0)
