Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \(ACB’D’\).
Bạn đang xem: Làm bài tập toán hình lớp 12 trang 25
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi \(S\) là diện tích đáy \(ABCD\) và \(h\) là chiều cao của khối hộp. Tính thể tích của khối hộp.
+) Chia khối hộp thành khối tứ diện \(ACB’D’\) và bốn khối chóp \(A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC\) và \(D’. DAC\). Tính thể tích của bốn khối chóp \(A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC\) và \(D’. DAC\).
+) Suy ra \({V_{ACB"D"}} = V - \)\(\left( {{V_{A.A"B"D"}} + {V_{C.C"B"D"}} + {V_{B"BAC}} + {V_{D".DAC}}} \right)\)
+) Tính tỉ số thể tích.
Gọi \(S\) là diện tích đáy \(ABCD\) và \(h\) là chiều cao của khối hộp thì thể tích của khối hộp: \( \Rightarrow V = S.h\)
Chia khối hộp thành khối tứ diện \(ACB’D’\) và bốn khối chóp \(A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC\) và \(D’. DAC\).
Xét khối chóp \(A.A"B"D"\) có diện tích đáy \({S_{A"B"D"}} = \dfrac{S}{2}\) và chiều cao bằng \(h\). Do đó \({V_{A.A"B"D"}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{S}{2}.h = \dfrac{{S.h}}{6}\).
Tương tự như vậy ta chứng minh được:
\({V_{A.A"B"D"}} = {V_{C.C"B"D"}} = {V_{B"BAC}} = {V_{D".DAC}} \)\(= \dfrac{{S.h}}{6}\)
Vậy \({V_{ACB"D"}} = V - \)\(\left( {{V_{A.A"B"D"}} + {V_{C.C"B"D"}} + {V_{B"BAC}} + {V_{D".DAC}}} \right)\)
\(= S.h - 4.\dfrac{{S.h}}{6} = \dfrac{{S.h}}{3}\).
\( \Rightarrow \dfrac{V}{{{V_{ACB"D"}}}} = \dfrac{{S.h}}{{\dfrac{1}{3}S.h}} = 3\)
Loigiaihay.com
Chia sẻ
Bình chọn:
4.5 trên 41 phiếu
Bài tiếp theo
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
 |  |  |  |
 |  |  |  |
TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE
Bài giải mới nhất
× Góp ý cho loigiaihay.com
Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi góp ý
Vấn đề em gặp phải là gì ?
Sai chính tả
Giải khó hiểu
Giải sai
Lỗi khác
Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com
Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Gửi Hủy bỏ
Liên hệ Chính sách
Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí
Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.
Giải bài tập trang 25 bài 3 khái niệm về thể tích của khối đa diện SGK Hình học 12. Câu 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a...
Xem thêm: Toán Lớp 5 Hỗn Số Trang 12 (Sách Mới), Toán Lớp 5 Trang 12, 13, 14: Hỗn Số
Bài 1 trang 25 sgk hình học 12
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\).
Giải:
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Hạ đường cao \(AH\) của tứ diện thì do các đường xiên \(AB, AC, AD\) bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: \(HB, HC, HD\) bằng nhau. Do \(BCD\) là tam giác đều nên \(H\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\).
Do đó \(BH = {2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a\)
Từ đó suy ra: \(AH^2 \)=\( a^2\)– \(BH^2 \)=\({{6{a^2}} \over 9}\)
Nên \(AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\)
Thể tích tứ diện đó \(V={1 \over 3} \cdot {1 \over 2} \cdot {{\sqrt 3 } \over 2}{a^2} \cdot {{\sqrt 6 } \over 3}a = {a^3}{{\sqrt 2 } \over {12}}.\)
Bài 2 trang 25 sgk hình học 12
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\).
Giải:
Chia khối tám mặt đều cạnh \(a\) thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(h\) là chiều cao của khối chóp thì dễ thấy
\({h^2} = {a^2} - {\left( {{a\sqrt {2}}\over2 } \right)^2} = {{{a^2}} \over 2}\) nên \(h = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)
Từ đó thể tích khối tám mặt đều cạnh \(a\) là:
\(V = 2.{1 \over 3}.{{\sqrt {2}}\over2}a .{a^2} = {a^3}{{\sqrt 2 } \over 3}\).
Bài 3 trang 25 sgk hình học 12
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \(ACB’D’\).
Giải:
Gọi \(S\) là diện tích đáy \(ABCD\) và \(h\) là chiều cao của khối hộp. Chia khối hộp thành khối tứ diện \(ACB’D’\) và bốn khối chóp \(A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC\) và \(D’. DAC\). Ta thấy bốn khối chóp sau đều có diện tích đáy bằng \(\frac{S}{2}\) và chiều cao bằng \(h\), nên tổng các thể tích của chúng bằng
\(4\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{S}{2}h\)\(=\frac{2}{3}Sh\).
Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện
\(ACB’D’\)=\(\frac{1}{3}Sh\). Do đó tỉ số của thể tích khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \(ACB’D’\) bằng \(3\).
