Giải Toán 11 Ôn Tập Chương 4 Lớp 11 Toán Đại Số Và Giải Tích 11 Chương 4

Nội dung bài xích ôn tập chươngGiới hạnsẽ giúp những em khối hệ thống hóa lại toàn cục kiến thức đã làm được học ởChương IV Đại số với Giải tích 11. Dường như các em có thể đánh giá mức độ gọi bài của bản thân mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm cùng với những câu hỏi có nấc độ khó khăn từ cơ bản đến nâng cao.

1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Giới hạn dãy số

1.2. Số lượng giới hạn của hàm số

1.3. Hàm số liên tục

2. Bài bác tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 4 chương 4 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về
Ôn tậpgiới hạn

3.2. Bài xích tập SGK & cải thiện về
Ôn tập giới hạn

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 4 giải tích 11

a) Định nghĩa

-Định nghĩa 1:Ta nói rằng hàng số (un) có giới hạn là 0 khi n dần dần tới vô cực, nếu (left| u_n ight|) tất cả thể nhỏ tuổi hơn một trong những dương nhỏ nhắn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:(mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = 0 m , xuất xắc , mu_ mn o 0 m , khi, n o m + infty m.)

-Định nghĩa 2:Ta nói hàng số (un) có giới hạn là a tốt (un) dần tới a lúc n dần dần tới vô rất ((n o + infty )), trường hợp (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - a ight) = 0. m )Kí hiệu: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = a m , hay, mu_ mn o a m , lúc , n o m + infty m.)

-Chú ý:(mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = lim left( u_n ight)).

b) Một vài số lượng giới hạn đặc biệt

-(lim frac1n = 0 m , m limfrac m1 mn^ mk = 0 m , n in mathbbZ_ + ^*)

-(lim left( q^n ight) = 0 m ) cùng với (left| q ight| n)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.

-Định lý 1:Cho dãy số (un),(vn) với (wn) bao gồm : ( mv_ mn le u_n le w_n m forall mn in mathbbN^ m*) và (lim left( v_n ight) = lim left( w_n ight) = a m Rightarrow mlimleft( mu_ mn ight) = a).

-Định lý 2:Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

+(lim left( u_n pm v_n ight) = lim left( u_n ight) pm lim left( v_n ight) = a pm b)

+(lim left( u_n.v_n ight) = lim u_n.lim v_n = a.b)

+(lim fracu_nv_n = fraclim left( u_n ight)lim left( v_n ight) = fracab m ,left( mv_ mn e 0 m forall mn in mathbbN^ m*;b e 0 ight))

+(lim sqrt u_n = sqrt lim left( u_n ight) = sqrt a m ,left( u_n ge 0 m ,a ge m0 ight))

-Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn gồm công bội q ,với (left| q ight| n) cùng với (u_n = fracPleft( n ight)Qleft( n ight)) với P,Q là các đa thức:

-Nếu bậc p = bậc Q = k, hệ số tối đa của p. Là a0, hệ số tối đa của Q là b0 thì phân chia tử số và mẫu mã số đến nk nhằm đi đến tác dụng : (lim left( u_n ight) = fraca_0b_0).

-Nếu bậc P nhỏ dại hơn bậc Q = k, thì phân chia tử và mẫu mang lại nk nhằm đi đến kết quả :lim(un)=0.

-Nếu k = bậc p > bậc Q, phân chia tử cùng mẫu cho nk nhằm đi đến tác dụng :lim(un)=(infty ).

* số lượng giới hạn của dãy số dạng: (u_n = fracfleft( n ight)gleft( n ight)) , f cùng g là các biển thức chứa căn.

-Chia tử với mẫu mang lại nk cùng với k lựa chọn thích hợp.

-Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

1.Định nghĩa

-Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng chừng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L lúc x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn( in )K cùng xn( e )a ,(forall n in mathbbN^*) nhưng lim(xn)=a đều phải sở hữu lim=L.Kí hiệu:(mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = L).

2.Một số định lý về số lượng giới hạn của hàm số

-Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

-Định lý 2:Nếu những giới hạn:(mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = L m , m mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = M) thì:

+ (mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> pm mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = L pm M)

+ (mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight>.mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = L.M)

+ (mathop lim limits_x o a fracfleft( x ight)gleft( x ight) = fracmathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight>mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = fracLM m , M e m0)

+ (mathop lim limits_x o a sqrt fleft( x ight) = sqrt mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = sqrt L m ; fleft( x ight) ge 0,L ge 0)

-Cho bố hàm số f(x), h(x) với g(x) xác định trên khoảng tầm K đựng điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)( le )f(x)( le )h(x) (forall x in K,x e a) với (mathop lim limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o a left< hleft( x ight) ight> = L Rightarrow mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = L).

-Trong định nghĩa số lượng giới hạn hàm số , nếu với tất cả dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim=(infty ) thì ta nói f(x) dần dần tới vô cực khi x dần dần tới a, kí hiệu: (mathop lim limits_x o a left< fleft( x ight) ight> = infty ).

-Nếu với tất cả dãy số (xn) , lim(xn) = (infty ) đều có lim = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần dần tới vô cực, kí hiệu:(mathop lim limits_x o infty left< fleft( x ight) ight> = L).

-Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với rất nhiều dãy số (xn), mà xn> a (forall n in mathbbN^*), thì ta nói f(x) có giới hạn về bên cạnh phải tại a, kí hiệu :(mathop lim limits_x o a^ + left< fleft( x ight) ight>). Trường hợp chỉ yên cầu với các dãy số (xn), xn0, ví như (x o - infty ) thì coi như x0( in ) (a;b) nếu:(mathop lim limits_x o x_0 left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight)).Điểm x0tại kia f(x) không liên tục gọi là điểm đứt quãng của hàm số.

+ f(x) xác minh trên khoảng tầm (a;b), liên tiếp tại điểm x0( in ) (a;b) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0 left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight)).

+f(x) khẳng định trên khoảng tầm (a;b) được hotline là tiếp tục trên khoảng (a;b) giả dụ nó tiếp tục tại rất nhiều điểm thuộc khoảng tầm ấy.

+f(x) xác minh trên khoảng tầm được gọi là thường xuyên trên khoảng trường hợp nó liên tục trên khoảng (a;b) với (left{ eginarraylmathop lim limits_x o a^ + left< fleft( x ight) ight> = fleft( a ight)\mathop lim limits_x o b^ - left< fleft( x ight) ight> = fleft( b ight)endarray ight.)

2. Một số định lý về hàm số liên tục

-Định lý 1:f(x) cùng g(x) liên tiếp tại x0thì:(fleft( x ight) pm gleft( x ight) m , fleft( x ight).gleft( x ight) m , fracfleft( x ight)gleft( x ight) m left( gleft( x ight) e 0 ight)) cũng liên tiếp tại x0.

Xem thêm: Giải Toán 10 4.17 - Giải Toán 10 Trang 65 Tập 1 Kết Nối Tri Thức

-Đinh lý 2:Các hàm nhiều thức, hàm hữu tỷ, các chất giác tiếp tục trên tập xác minh của chúng.

-Định lý 3:f(x) liên tiếp trên đoạn thì nó đạt GTLN, GTNN và các giá trị trung thân GTLN cùng GTNN trên đoạn đó.

-Hệ quả:Nếu f(x) liên tiếp trên đoạn với f(a).f(b)0( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 left< gleft( x ight) ight> = a).

-Xét tính tiếp tục của hàm số dạng: (fleft( x ight) = left{ eginarraylgleft( x ight) m left( mx mx_ m0 ight)endarray ight.)

-Tìm : (left{ eginarraylmathop lim limits_x o x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ - left< gleft( x ight) ight>\mathop lim limits_x o x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ + left< gleft( x ight) ight>\fleft( x_0 ight)endarray ight.). Hàm số tiếp tục tại x = x0( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight) = a).

b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong vòng (a;b)

-Chứng tỏ f(x) liên tiếp trên đoạn .

-Chứng tỏ f(a).f(b)Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn:

a) (lim m sin frac1n.)

b) ( mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1)

a) (lim frac1n = 0 Rightarrow lim m sin frac1n = sin 0 = 0.)

b) ( mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1 = lim fracfrac2n + frac5n^23 - frac4n + frac1n^2 = 0 Rightarrow mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1 = c mos0 = 1.)

Tính những giới hạn:

a) ( mlim frac1nsin (2n + 1).)

b) ( mlim frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1).)

a) (sin(2n + 1) le 1 Rightarrow 0 le left| frac1nsin (2n + 1) ight| le frac1n o 0 Rightarrow lim frac1nsin (2n + 1) = 0.)

b) (left| c mos(n^2 + 2n - 1) le 1 ight| Rightarrow 0 le left| frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1) ight| le frac52n + 3 o 0)

( Rightarrow lim frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1) = 0.)

Tính những giới hạn:

a) (lim frac4n^2 + 5n - 15n^3 + 2n^2 + 4n + 1.)

b) (lim fracsqrt 4n^2 + 5n + 3 3n + 2.)

c) ( mlimsqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n)

a) (lim frac4n^2 + 5n - 15n^3 + 2n^2 + 4n + 1 = lim fracfrac4n + frac5n^2 - frac1n^35 + frac2n + frac4n^2 + frac1n^3 = lim frac05 = 0.)

b) (lim fracsqrt 4n^2 + 5n + 3 3n + 2 = lim fracfracsqrt 4n^2 + 5n + 3 nfrac3n + 2n = lim fracsqrt 4 + frac5n + frac3n^2 3 + frac2n = frac23.)

c) ( mlimsqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n = lim frac(sqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n)(sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n)sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n)

( = lim frac3n + 3sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n = frac34)

Tính các giới hạn:

a) (mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 2x^2 + 3x - 2x^2 - 3x + 2.)

b) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt 3x + 1 - 2x - 1 m m.)

c) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1.)

d) (mathop lim limits_x o + infty (sqrt x^2 + 2x + 3 - x))

a) (mathop lim limits_x o - 1 fracx^2 - x - 2x + 1 = mathop lim limits_x o - 1 frac(x + 1)(x - 2)x + 1 = mathop lim limits_x o - 1 (x - 2) = - 3)

b) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt 3x + 1 - 2x - 1 = mathop lim limits_x o 1 frac(sqrt 3x + 1 - 2)(sqrt 3x + 1 + 2)(x - 1)(sqrt 3x + 1 + 2))( = mathop lim limits_x o 1 frac3(x - 1)(x - 1)(sqrt 3x + 1 + 2) = mathop lim limits_x o 1 frac3(sqrt 3x + 1 + 2) = frac34)

c) (mathop lim limits_x o 1 fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1 ight)left( sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>2x - 1 + 1 ight)(x - 1)(sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1))

( = mathop lim limits_x o 1 frac2(x - 1)(x - 1)(sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1) = mathop lim limits_x o 1 frac2sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1 = frac23.)

d) (mathop lim limits_x o + infty (sqrt x^2 + 2x + 3 - x) = mathop lim limits_x o + infty frac(sqrt x^2 + 2x + 3 - x)(sqrt x^2 + 2x + 3 + x)(sqrt x^2 + 2x + 3 + x))

( = mathop lim limits_x o + infty frac2x + 3(sqrt x^2 + 2x + 3 + x) = mathop lim limits_x o + infty frac2 + frac3x(sqrt 1 + frac2x + frac3x^2 + 1) = 1.)

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylfracx^2 - 1x - 1 m left( mx e m1 ight)\ ma left( mx = 1 ight)endarray ight.) a là hằng số. Xét tính thường xuyên của hàm số trên x0 = 1.

Hàm số xác định với rất nhiều x nằm trong R.

Ta bao gồm f(1) = a.

(mathop lim limits_x o 1 fracx^2 - 1x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight)x - 1 = mathop lim limits_x o 1 left( x + 1 ight) = 2)

Nếu a=2 thì hàm số tiếp tục tại x0 = 1.

Nếu a( e )2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylx^2 + 1 m left( mx > m0 ight)\ mx left( mx le m0 ight)endarray ight.). Xét tính liên tục của hàm số trên x0 = 0.

Hàm số khẳng định với phần nhiều x nằm trong R.

Ta bao gồm f(0) = 0

(eginarraylmathop lim limits_x o 0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 0^ - x = 0\mathop lim limits_x o 0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 0^ + left( x^2 + 1 ight) = 1 m e m 0 = mathop lim limits_x o 0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 0^ - xendarray).

Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylax + 2 m left( mx ge m1 ight)\ mx^ m2 m + x - 1 left( { mx hướng dẫn giải:

x >1 ta bao gồm f(x) = ax +2 hàm số liên tục.

x 2+x-1 hàm số liên tục.

Khi x = 1:

Ta có f(1) = a+2

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 1^ + left( ax + 2 ight) = a + 2\mathop lim limits_x o 1^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x o 1^ - left( x^2 + x - 1 ight) = 1endarray).

Hàm số thường xuyên tại x0 = 1 nếu như a = -1.

Hàm số ngăn cách tại x0 = 1 nếu a ( e ) -1.

Vậy hàm số thường xuyên trên toàn trục số giả dụ a = -1.Hàm số liên tục trên (left( - infty ;1 ight) cup left( 1; + infty ight)) ví như a ( e ) -1.