Lớp 1

Tài liệu Giáo viên

Lớp 2

Lớp 2 - kết nối tri thức

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Lớp 2 - Cánh diều

Tài liệu Giáo viên

Lớp 3

Lớp 3 - kết nối tri thức

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Lớp 3 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Lớp 4

Lớp 4 - liên kết tri thức

Lớp 4 - Chân trời sáng tạo

Lớp 4 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Lớp 5

Lớp 5 - liên kết tri thức

Lớp 5 - Chân trời sáng tạo

Lớp 5 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 5

Tài liệu Giáo viên

Lớp 6

Lớp 6 - liên kết tri thức

Lớp 6 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 6 - Cánh diều

Tiếng Anh 6

Tài liệu Giáo viên

Lớp 7

Lớp 7 - liên kết tri thức

Lớp 7 - Chân trời sáng tạo

Lớp 7 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 8

Lớp 8 - kết nối tri thức

Lớp 8 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 8 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 9

Lớp 9 - liên kết tri thức

Lớp 9 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 9 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 10

Lớp 10 - liên kết tri thức

Lớp 10 - Chân trời sáng tạo

Lớp 10 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 11

Lớp 11 - liên kết tri thức

Lớp 11 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 11 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 12

Lớp 12 - liên kết tri thức

Lớp 12 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 12 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

thầy giáo

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12


Để làm xuất sắc bài thi thân kì 2 môn Toán 11, các em cần ôn tập thật kỹ càng các kiến thức trọng tâm. Xem thêm ngay đề cương cứng ôn thi thân kì 2 môn toán 11 của toancapba.com bên dưới đây.



1. Trọng tâm kiến thức và kỹ năng ôn thi thân kì 2 môn Toán 11

1.1 Lũy thừa với số nón thực

a. Lũy thừa với số nón nguyên

- mang lại n là một trong những nguyên dương, ta có:

Với a là số thực tùy ý: an= a.a....a ( n vượt số).Với a là số thực khác 0: ao= 1 ; a-n= 1/an.Trong biểu thức am, a là cơ số, m là số mũ.

Bạn đang xem: Ôn toán giữa kì 2 lớp 11

- với a

*
0, b
*
0, m và n là những số nguyên ta có:

am.an= am+n(am)n= am.n
*
*
(a.b)m= am.bm

- lưu giữ ý: ví như a > 1 thì

*
; nếu như 0

b. Lũy thừa với số nón hữu tỉ

- cho số thực a cùng số nguyên dương n. Số b được điện thoại tư vấn là căn bậc n của số a nếu như bn= a

- trả sử n, k là những số nguyên dương, m là số nguyên. Lúc đó:

*
*
*
*
= a lúc n lẻ ;
*
= |a| lúc n chẵn
*

- cho số thực a dương với số hữu tỉ r = m/n, trong số đó m là số nguyên và n là số nguyên dương. Lũy thừa của a và số mũ r, kí hiệu là ar, khẳng định bởi ar= am/n=

*

c. Lũy vượt với số nón thực

- mang lại a là số thực dương và

*
là một số trong những vô tỉ. Xét hàng số hữu tỉ (rn) mà
*
. Khi đó, hàng số
*
có giới hạn xác minh và không nhờ vào vào hàng số hữu tỉ(rn) đã chọn. Giới hạn đó hotline là lũy thừa của a với số mũ
*
, kí hiệu là a
*
.

*

1.2Logarit

a. Khái niệm

- mang đến a là một vài thực dương

*
1 với M là một số trong những thực dương. Số thực
*
để a
*
= M được gọi là logarit cơ số a của M với kí hiệu là loga
M

*

- Chú ý: với 0 0 và

*
là số thực tùy ý, ta có:

*
*

b. Tính chất:

- phép tắc tính logarit: giả sử a là số thực dương

*
1. M với N là các số thực dương,
*
là số thực tùy ý:

loga(MN) = loga
M + loga
Nloga(M/N) = loga
M - loga
Nloga
M
*
=
*
loga
M

- Đổi cơ số logarit: Với các cơ số logarit a và b bất kì ( 0

*

1.3Hàm số mũ, hàm số logarit

a. Hàm số mũ

- mang lại a là số thực dương

*
1. Hàm số y = axđược điện thoại tư vấn là hàm số nón cơ số a.

- Đồ thị hàm số nón y = ax

Có tập xác minh là R với tập quý giá là (0 ;
*
)Đồng trở nên trên R khi a > 1 với nghịch biến hóa trên R lúc 0 thường xuyên trên RCó đồ dùng thị đi qua những điểm (0;1) ; (1;a) và luôn luôn nằm phía trên trục hoành.

b. Hàm số logrit

- đến a là số thực dương

*
1. Hàm số y =logax được hotline là hàm số logarit cơ số a.

- Đồ thị hàm số logarti: y = logax

Có tập xác định là(0 ;
*
) với tập quý hiếm là RĐồng vươn lên là trên(0 ;
*
) lúc a > 1 cùng nghịch biến hóa trên(0 ;
*
) lúc 0 thường xuyên trên(0 ;
*
)Có vật thị đi qua những điểm (1;0); (a;1) và luôn nằm bên yêu cầu trục tung.

1.4Hai đường thẳng vuông góc

a. Góc giữa hai tuyến phố thẳng:

- Góc giữa hai tuyến phố thẳng m với n trong ko gian, kí hiệu là (m,n) là góc giữ hai tuyến phố thẳng a với b thuộc đi sang một điểm và tương ướng tuy vậy song cùng với m và n.

b. Hai tuyến phố thẳng vuông góc:

- hai tuyến đường thẳng a, b được điện thoại tư vấn là vuông góc cùng nhau (a

*
b) ví như góc giữa chúng bởi 90o.

1.5Đường trực tiếp vuông góc với mặt phẳng

a. Đường thẳng vuông góc với phương diện phẳng

- Đường thẳng

*
được call là vuông góc với khía cạnh phẳng (P) nếu
*
vuông góc với đa số đường thẳng phía bên trong (P).

- giả dụ một mặt đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng giảm nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với phương diện phẳng đó.

b. Tính chất:

- gồm duy nhất một mặt phẳng đi sang 1 điểm mang lại trước cùng vuông góc cùng với một đường thẳng mang đến trước.

- gồm duy tốt nhất một con đường thẳng đi qua 1 điểm mang đến trước cùng vuông góc với một phương diện phẳng mang đến trước.

c. Liên hệ

- Nếu con đường thẳng a

*
(P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc cùng với ( P).

- hai tuyến phố thẳng rõ ràng cùng vuông góc với một khía cạnh phẳng thì song song cùng với nhau.

- Nếu mặt đường thẳng

*
vuông góc với khía cạnh phẳng (P) thì
*
cũng vuông góc với những mặt phẳng song song với (P).

- nhị mặt phẳng riêng biệt cùng vuông góc cùng với một đường thẳng thì song song với nhau.

- Nếu đường thẳng

*
vuông góc với khía cạnh phẳng (P) thì
*
vuông góc với đa số đường thẳng tuy vậy song với (P).

- Nếu con đường thẳng a cùng mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một mặt đường thẳng

*
thì a phía bên trong (P) hoặc tuy vậy song cùng với (P).

Khóa học tập DUO hỗ trợ cho các em gốc rễ kiến thức toán vững chắc, đột phá điểm 9+ trong mọi bài bác kiểm tra trên lớp.

1.6 Góc giữa con đường thẳng với mặt phẳng

a. Phép chiếu vuông góc

- Phép chiếu song song lên khía cạnh phẳng (P) theo phương

*
vuông góc cùng với (P) được call là phép chiếu vuông góc lên phương diện phẳng (P).

Xem thêm: Đề cương ôn tập toán lớp 11 học kì 1 toán 11 năm 2023, đề cương ôn tập cuối kì 1 toán 11 năm 2023

- Định lý 3 con đường vuông góc: đến đường thẳng a cùng mặt phẳng (P) ko vuông góc cùng với nhau. Khi đó một đường thẳng b phía bên trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt đường thẳng a khi còn chỉ khi b vuông góc cùng với hình chiếu vuông góc a" của a bên trên (P).

b. Góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng:

- Nếu mặt đường thẳng a vuông góc với phương diện phẳng (P) thì ta bảo rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90o.

- Nếu con đường thẳng a ko vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a cùng hình chiếu a" của chính nó trên (P) được call là góc giữa mặt đường thẳng a với mặt phẳng (P).

2. đều dạng bài bác cần chú ý khi ôn thi thân kì 2 môn Toán 11

2.1 Dạng bài xích về lũy thừa

a. Áp dụng đặc điểm lũy thừa nhằm giải một số trong những bài toán

Bài 1: Tính những phép toán lũy thừa bên dưới đây:

*
*
*

Lời giải

*

*
= 121

*

Bài 2: So sánh những cặp số

a.

*
và
*

b.

*
và
*

c.

*
và
*

Lời giải:

a. Vày cơ số a = 2 > 1 và

*
nên
*
>
*

b. Vày cơ số a = 1/3 và

*
nên
*

*

Do 100000 > 8000 nên

*
>
*

b. Kiếm tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Tìm tập xác định của những hàm số sau:

a, y = (1 - x)-1/3

b, y = (x2- 4x + 3)-2

c, y = (x3- 8)

*
/3

d, y = (2x - 1)o

Lời giải

a. Hàm số xác định khi 1 - x > 0

*
x TXĐ: D = (
*
; 1)

b.y = (x2- 4x + 3)-2có TXĐ: D = R 1;3

c.y = (x3- 8)

*
/3có TXĐ: D = (2; +
*
)

d.y = (2x - 1)ocó TXĐ: D = R1/2

2.2 Dạng bài bác về logarit

a. Giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

Cách làm:

Tìm điều kiện của phương trình (nếu có)Đưa những logarit có mặt trong phương trình về thuộc cơ số
Biến đổi phương trình về phương trình logarit cơ bản
Kiểm tra đk và kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình log3(x2- x +1) = -log1/3(2x - 1)

Lời giải:

log3(x2- x +1) = -log1/3(2x - 1)

*

*

*

*

Vậy phương trình có tập nghiệm là 1;2

b. Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa:

Cách làm:

Phương trìnhloga=logb(vớia>0;a≠1)

Ta đặtloga=logb=t

*

Khử x vào hệ phương trình để thu đượcphương trình ẩnt, giải pt này tìm t, từ kia tìm x

Ví dụ: Giải phương trình log3(x + 1) = log2x

Lời giải:

Điều khiếu nại x > 0. Đặt log3(x+1) = log2x = t

*

Khi kia 2t+ 1 = 3t

*
f(t) = (2/3)t+ (1/3)t= 1.

Xét f(t) = (2/3)t+ (1/3)t(t

*
R) ta bao gồm f"(t) Hàm số f(t) nghịch biến hóa trên R.

Khi đó f(t) = 1

*
f(t) = f(1)
*
t = 1
*
x = 2t= 2

c. Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Cách làm:

Giải phương trình: f = 0 (0

• bước 1: Đặt t = logag(x) (*).

• bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).

• bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã hiểu cách thức giải.

•Bước 4: cố kỉnh vào (*) để tìm x.

Ví dụ: Giải phương trình log2x +

*
(1)

Lời giải:

Đặt t = log2xvới x > 0 với 10log2x+ 6

*
0

Phương trình (1) đưa về dạng:

*

Giải phương trình kiếm được t = 3 => x = 8

Vậy phương trình bao gồm nghiệm x = 8.

Đăng ký đặt mua cuốn sách cán đích 9+ để nhận ưu đãi lên đến 50% của toancapba.com bạn nhé!

2.3 Dạng bài bác về đường thẳng

a. Chứng tỏ hai con đường thẳng tuy vậy song trong không gian

Cách làm: Sử dụng 1 trong 4 cách sau:

Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng rồi chứng tỏ chúng song song trong hình học phẳng.Chứng minh 2 đường thẳng kia cùng song song với đường thẳng đồ vật 3.Áp dụng định lý giao tuyến tuy vậy song2 mặt phẳng riêng biệt chứa 2 con đường thẳng tuy nhiên song thì giao đường của chúng cũng tuy nhiên song hoặc trùng với cùng 1 trong 2 con đường thẳng đó.

Ví dụ: mang đến tứ diện ABCD, call I cùng J thứu tự và trọng tâm các

*
ABC và
*
ABD. Chứng minh IJ // CD.

Lời giải:

Gọi M cùng N theo lần lượt là trung điểm của BC với BD

=>MN là mặt đường trung bình của

*
BCD cần MN // CD (1)

Do I cùng J theo thứ tự là trung tâm các

*
ABC và ABD

*

=> IJ // MN (2)

Từ (1) cùng (2) => IJ // CD.

b. Minh chứng đường thẳng song song với mặt phẳng

Cách làm: Lựa chọn một trong các cách sau để chứng minh

Chứng minh mặt đường thẳng a // (P) ta minh chứng a // b trong số đó b
*
(P)Sử dụng đặc thù đường vừa phải của tam giác, hình thang hoặc định lý talet đảo để hội chứng minh.Áp đụng định lý: nếu như 3 khía cạnh phẳng cắt nhau theo cha giao tuyến riêng biệt thì bố giao tuyến đó song một song song hoặc đồng quy.

Ví dụ:Cho tứ diện ABCD bao gồm G là trọng tâm của

*
ABD; Q ở trong cạnh AB làm sao để cho AQ = 2QB; gọi p. Là trung điểm của AB. Hãy chứng tỏ GQ // mp(BCD)

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BD. Vì G là trọng tâm

*
ABD

*

Có điểm Q trực thuộc AB thỏa mãn AQ = 2QB

*

Từ (1) với (2)

*

=> GQ // BD ( ĐL talet đảo)

Mặt khác gồm BD bên trong mp(BCD) => GQ // mp (BCD)

c. Chứng tỏ hai phương diện phẳng song song

Cách 1: Chứng minh mp (

*
) có 2 con đường thẳng a cùng b giảm nhau cùng tuy vậy song với mp (
*
)

Cách 2: minh chứng 2 phương diện phẳngđó cùng tuy vậy song với khía cạnh phẳng sản phẩm công nghệ ba.

Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình bình hành vai trung phong O. Call M; N: I theo lắp thêm tự là trung điểm của SA; SD cùng AB. Hãy chứng minh(MON) // (SBC)?

Ta gồm MN là con đường trung bình của

*
SAD => MN // AD (1). Ta gồm OP là mặt đường trung bình của
*
ABC => OP // BC // AD (2)