cách thức quy hấp thụ toán học là một quy tắc suy luận được thực hiện trong chứng tỏ các căn bệnh đề về ngẫu nhiên một tập vừa lòng nào này được sắp xếp theo sản phẩm tự. Vậy phương pháp quy hấp thụ toán học được vận dụng giải những dạng bài tập nào? Cùng khám phá trong bài viết ngày bây giờ của VUIHOC nhé!
1. Cách thức quy nạp toán học tập là gì?
- phương thức quy nạp toán học là phương thức chứng minh mệnh đề về bất kỳ môt tập thích hợp nào được bố trí theo sản phẩm công nghệ tự. Phương thức này thường được sử dụng để chứng minh các mệnh đề vận dụng cho tập hợp những số từ nhiên.
Bạn đang xem: Phương pháp quy nạp toán học 11
- phương pháp quy nạp toán học tập là hiệ tượng chứng minh trực tiếp, bao hàm 2 bước:
+ cách 1: Được điện thoại tư vấn là bước cơ sởkhi chứng tỏ mệnh đề chuẩn cho tập số từ nhiên, đấy là bước minh chứng mệnh đề đúng với số tự nhiên và thoải mái đầu tiên.
+ bước 2: Được hotline là bước quy nạp, đấy là bước minh chứng mệnh đề trả định đúng với đa số số tự nhiên bất kỳ.
=> sau thời điểm chứng minh xong xuôi 2 bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề này là đúng với đa số số tự nhiên.
2. Áp dụng cách thức quy nạp toán học minh chứng mệnh đề
- Để chứng tỏ các mệnh đề tương quan đến số tự nhiên và thoải mái n
+ cách 1: kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
+ cách 2: đưa thiết mệnh đề kia đúng với tất cả số tự nhiên bất kì n = k (K
+ bước 3: chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
- Tổng quát: Xét mệnh đề P(n)phụ thuộc vào số tự nhiên n. Để minh chứng mệnh đề
P(n)đúng với tất cả số tự nhiên và thoải mái với nocho trước, ta thực hiện công việc như sau:
+ cách 1: chất vấn mệnh đề
P(n) đúng cùng với n = no
+ cách 2: đưa sử n
+ cách 3: minh chứng P(n)đúng khi n = k + 1
=> Theo nguyên tắc quy nạp
P(n)đúng với mọi n
Đăng ký ngay nhằm được những thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi giỏi nghiệp trung học phổ thông sớm tức thì từ hiện giờ bạn nhé!
3. Các dạng bài xích tập áp dụng phương pháp quy hấp thụ toán học
3.1 Dạng bài chứng tỏ đẳng thức - bất đẳng thức
Ví dụ 1: minh chứng 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n2(1) cùng với n
Lời giải:
- lúc n = 1 ta có mệnh đề (1): 1 = 12= 1 ( luôn đúng)
- mang sử mệnh đề (1) đúng vào khi n = k (k
Sk+1= 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) + 2<2(k + 1) - 1> = (k + 1)2
=> Sk+1= Sk+ <2(k + 1) - 1> = k2+ 2k + 1 = (k+1)2
Vậy mệnh đề 1 luôn đúng cùng với mọin
Ví dụ 2: chứng tỏ 2n> 2n + 1(1) luôn đúng với tất cả số thoải mái và tự nhiên n
Lời giải:
- khi n = 3 ta gồm 23= 8 > 2.3 +1 = 7
- đưa sử (1) đúng với n = k
=> Ta cần minh chứng (2) đúng với n = k + 1
=> 2k+1>2(k + 1) + 1 =2k+1> 2k + 3
- Nhân cả hai vế của (2) với 2 ta có:
2.2k> 2k + 2k + 2
Vì k
=> Bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1 => Điều yêu cầu chứng minh
Tham khảo ngay cỗ tài liệu ôn tập kiến thức và kỹ năng và tổng hợp cách thức giải những dạng bài tập vào đề thi toán trung học phổ thông Quốc Gia
3.2 Dạng bài toán chia hết
Ví dụ 1: minh chứng un= n3+ 3n2+ 5n
Lời giải:
- cùng với n = 1 ta có u1= 13+ 3.12+ 5.1 = 9
- mang sử mệnh đề (1) đúng cùng với n = k
- Ta đề xuất chứng minh:uk+1= (k + 1)3+ 3(k + 1)2+ 5(k + 1)
=> uk+1= (k + 1)3+ 3(k + 1)2+ 5(k + 1)
= k3+ 3k2+ 3k + 1 +3(k + 1)2+ 5k + 5
= (k3+ 3k2+ 5k)+3(k + 1)2+ 3k + 6
Vìk3 + 3k2 + 5k
=> (1) luôn đúng với n = k +1 => Điều nên chứng minh.
Ví dụ 2: chứng tỏ un= n3+ 11n chia hết mang lại 6 với đa số n nguyên dương
Lời giải:
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến bao giờ hiểu bài bác thì thôi
⭐Rèn tips tricks góp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ khuyến mãi ngay full cỗ tài liệu sản phẩm hiếm trong quy trình học tập
Đăng cam kết học test miễn giá tiền ngay!!
Thông qua những tin tức trong bài xích viết, hi vọng các em rất có thể nắm chắc kiến thức liên quan mang đến phương pháp quy hấp thụ toán học trong công tác toán 11 để vận dụng giải những dạng bài minh chứng mệnh đề đúng mực nhất. Để học tập thêm nhiều bài giảng có ích và thú vị khác về môn toán hay các môn học tập khác, những em hãy truy cập ngay trang web vuihoc.vn để đăng ký tài khoản vàbắt đầu quy trình học tập của chính bản thân mình nhé!
Ở những cấp học dưới, phương pháp quy nạp toán học hay được ra mắt khi giải các bài toán rất khó. Tuy nhiên, trong lịch trình toán 11 chúng ta sẽ tò mò kĩ hơn cách thức này và áp dụng giải những bài toán tự cơ phiên bản đến nâng cao.
Lý thuyết phương thức quy nạp toán học
Bài toán
Chứng minh mệnh đề chứa vươn lên là P(n) đúng với đa số số nguyên dương n.
Phương pháp triệu chứng minh
+) bước 1. Với n = 1, ta minh chứng P(1) đúng.
+) bước 2. đưa sử P(n) đúng với n = k ≥ 1.
Ta cần chứng tỏ P(n) đúng cùng với n = k + 1.
Kết luận, mệnh đề P(n) đúng với đa số số nguyên dương n.
Lưu ý
Để chứng minh mệnh đề chứa đổi thay P(n) đúng cùng với n ≥ p, p. Là số nguyên dương. Ta cũng làm các bước tương tự như trên.
+) cách 1. Cùng với n = p, ta chứng tỏ P(p) đúng.
+) giả sử P(n) đúng với n = k ≥ p.
Ta cần chứng tỏ P(n) đúng cùng với n = k + 1.
Kết luận, mệnh đề P(n) đúng với đa số số nguyên dương n.
Dạng 1. Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với tất cả số thoải mái và tự nhiên n
Thực hiện nay theo công việc đã nêu tại vị trí tóm tắt lí thuyết.
Câu 1. chứng minh rằng với đa số số thoải mái và tự nhiên n ≥ 1, ta có:
a)
b)
Lời giải
a) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng như với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, với mọi số tự nhiên và thoải mái n ≥ 1.
b) Đặt:
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có:
Ta cần chứng tỏ (1) cũng như với n = k + 1, có nghĩa là cần hội chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Nhận xét. với mọi số thoải mái và tự nhiên n ≥ 1, ta có:
Câu 2. chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta luôn có :
a) un = n3 + 3n2 + 5n phân chia hết mang đến 3.
b) un = 9n – 1 phân chia hết mang lại 8.
Lời giải
a) cùng với n = 1, ta có: u1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 phân tách hết đến 3.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là uk = k3 + 3k2 + 5k phân tách hết cho 3.
Ta cần chứng tỏ uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) chia hết đến 3.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3(k + 1)2 + 5k + 5
= (k3 + 3k2 + 5k) + 3(k + 1)2 + 3k + 6.
Vì: (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ 3, 3(k + 1)2 ⋮ 3, 3k ⋮ 3 và 6 ⋮ 3 nên: uk+1 ⋮ 3.
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
b) cùng với n = 1 ta tất cả u1 = 91 − 1 = 8 phân tách hết mang lại 8.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là uk = 9k − 1 phân chia hết mang đến 8.
Ta nên chứng minh: uk+1 = 9k+1 − 1 phân tách hết mang lại 8.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 9k+1 − 1 = 9.9k − 9 + 8 = <9.(9k – 1) + 8> ⋮ 8.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều đề nghị chứng minh.
Câu 3. minh chứng rằng với tất cả số tự nhiên n ≥ 3, ta luôn có:
a) 3n > n2 + 4n + 5.
b) 2n > 2n + 1.
Lời giải
a) với n = 3 ta thấy bất đẳng thức đã cho đúng.
Giả sử bất đẳng thức đã đến đúng với n = k ≥ 3, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1).
Ta cần minh chứng bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1, tức là:
3k+1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 xuất xắc 3k+1 > k2 + 6k + 10.
Thật vậy, nhân cả nhị vế của bất đẳng thức (1) với 3 ta được:
3.3k > 3(k2 + 4k + 5)
⇔ 3k+1 > k2 + 6k + 10 + 2k2 + 6k + 5
⇒ 3k+1 > k2 + 6k + 10 (vì k ≥ 3).
Vậy bất đẳng thức đã đến đúng với n = k + 1.
Do đó, ta gồm điều yêu cầu chứng minh.
b) với n = 3 ta thấy bất đẳng thức đã mang lại đúng.
Giả sử bất đẳng thức đã mang đến đúng cùng với n = k ≥ 3, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có: 2k > 2k + 1 (1)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1, tức là:
2k + 1 > 2(k + 1) + 1 tuyệt 2k + 1 > 2k + 3.
Thật vậy, nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) cùng với 2 ta được:
2.2k > 2(2k + 1) ⇔ 2k+1 > 2k + 2k + 2 (2)
Vì k ≥ 3 buộc phải 2k ≥ 6. Cho nên (2) tương đương với:
2k+1 > 2k + 6 + 2 ⇒ 2k+1 > 2k + 3
Vậy bất đẳng thức đã mang đến đúng với n = k + 1.
Do đó, ta gồm điều bắt buộc chứng minh.
Câu 4. minh chứng rằng với đa số số nguyên dương n, ta luôn có:
a)
b)
c)
d)
e) với tất cả n ≥ 2, n ∈ ℕ.
f)
Lời giải.
a) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng như với n = k + 1, có nghĩa là cần chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó:
với đa số số tự nhiên n ≥ 1.
b) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng giống với n = k + 1, có nghĩa là cần hội chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, với đa số số tự nhiên và thoải mái n ≥ 1.
c) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có:
Ta cần chứng tỏ (1) cũng giống với n = k + 1, tức là cần bệnh minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, với tất cả số tự nhiên n ≥ 1.
d) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng đúng với n = k + 1, có nghĩa là cần bệnh minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
e) Đặt
Với n = 2 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần chứng minh (1) cũng giống với n = k + 1, có nghĩa là cần triệu chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, với đa số số tự nhiên và thoải mái n ≥ 2.
f) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có:
Ta cần chứng tỏ (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là cần hội chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, với đa số số tự nhiên và thoải mái n ≥ 1.
Câu 5. minh chứng rằng với đa số số nguyên dương n, ta luôn luôn có:
a) un = n3 + 11n phân tách hết đến 6.
b) un = 2n3 − 3n2 + n chia hết đến 6.
c) un = 4n + 15n − 1 phân tách hết mang lại 9.
d) un = 7.22n−2 + 32n−1 phân tách hết đến 5.
Lời giải.
a) cùng với n = 1, ta có: u1 = 13 + 11.1 = 12 phân tách hết đến 6.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = k3 + 11k phân chia hết đến 6.
Ta cần minh chứng uk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết mang lại 6.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1)
= k3 + 3k(k + 1) + 1 + 11k + 11
= k3 + 11k + 3k(k + 1) + 12.
Vì (k3 + 11k) ⋮ 6, 3k(k + 1) ⋮ 6 với 12 ⋮ 6 yêu cầu uk+1 ⋮ 6.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, ta bao gồm điều cần chứng minh.
b) với n = 1, ta có: u1 = 2.13 – 3.12 + 1 = 0 phân chia hết đến 6.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 2k3 − 3k2 + k phân chia hết mang lại 6.
Ta yêu cầu chứng minh:
uk+1 = (k + 1)3 − 3(k + 1)2 + (k + 1) chia hết mang đến 6.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 2(k + 1)3 − 3(k + 1)2 + (k + 1)
= 2k3 + 6k(k + 1) + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1
= <(2k3 − 3k2 + k) + 6k(k + 1) − 6k> ⋮ 6.
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều bắt buộc chứng minh.
c) cùng với n = 1, ta có: u1 = 41 + 15.1 − 1 = 18 phân chia hết mang đến 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 4k + 15k − 1 chia hết mang lại 9.
Ta phải chứng minh: uk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) − 1 phân chia hết mang đến 9.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) − 1
= 4.4k + 60k − 4 − 45k + 18
= <4(4k + 15k – 1) − 45k + 18> ⋮ 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1.
Do đó, ta gồm điều đề nghị chứng minh.
d) cùng với n = 1, ta có: u1 = 7.22·1 − 2 + 32·1 − 1 = 10 phân chia hết đến 5.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 7.22k−2 + 32k−1 chia hết đến 5.
Ta đề nghị chứng minh: uk+1 = 7.22(k+1)−2 + 32(k+1)−1 phân tách hết mang lại 5.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 7.22(k+1)−2 + 32(k+1)−1
= 4 .7.22k−2 + 9.32k−1
= <4(72k−2 + 32k−1) + 5. 32k−1> ⋮ 5.
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1.
Do đó, ta bao gồm điều nên chứng minh.
Câu 6. chứng minh rằng
a) 2n+2 > 2n + 5 với mọi n ∈ ℕ.
Xem thêm: Giải Toán Hình Lớp 7 Bài 11 : Định Lí Và Chứng Minh Định Lí, Toán Lớp 7 Bài 11
b) nn ≥ (n + 1)n−1 với đa số n ∈ ℕ*.
Lời giải.
a) với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đã mang đến đúng.
Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có: 2k+2 > 2k + 5 (1)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
2(k+1)+2 > 2(k + 1) + 5 giỏi 2k+3 > 2k + 7.
Thật vậy, nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 2 ta được
2.2k+2 > 2(2k + 5)
⇔ 2k+3 > 2k + 7 + 2k + 3
⇒ 2k+3 > 2k + 7 (vì k ≥ 1 buộc phải 2k + 3 > 0).
Vậy bất đẳng thức đã đến đúng với n = k + 1.
Do đó, ta bao gồm điều đề nghị chứng minh.
b) cùng với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đã mang lại đúng.
Giả sử bất đẳng thức đã mang đến đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có:
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
(k + 1)k+1 ≥ <(k + 1) + 1>(k+1)−1 giỏi (k + 1)k+1 ≥ (k + 2)k.
Thật vậy, với tất cả số dương k ta có:
Vậy bất đẳng thức đã đến đúng với n = k + 1.
Do đó, ta gồm điều phải chứng minh.
Câu 7. minh chứng rằng với tất cả số nguyên dương n, ta luôn có:
a)
b)
c)
d)
e)
f) , với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ.
g)
Lời giải.
a) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là cần triệu chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, với đa số số thoải mái và tự nhiên n ≥ 1.
b) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng như với n = k + 1, có nghĩa là cần hội chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, với đều số tự nhiên n ≥ 1.
c) Đặt:
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần chứng tỏ (1) cũng như với n = k + 1, có nghĩa là cần hội chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1. Bởi vì đó:
với tất cả số tự nhiên n ≥ 1.
d) Đặt
Với n = 1 thì
Vậy (1) đúng cùng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần chứng tỏ (1) cũng như với n = k + 1, có nghĩa là cần bệnh minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1. Bởi đó:
với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
e) Đặt
Với n = 1, thì:
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng như với n = k + 1, có nghĩa là cần chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1. Vày đó:
với tất cả số thoải mái và tự nhiên n ≥ 1.
f) Đặt:
Với n = 2 thì
Vậy (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có:
Ta cần chứng minh (1) cũng như với n = k + 1, có nghĩa là cần bệnh minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng cùng với n = k + 1. Do đó:
với tất cả số tự nhiên n ≥ 2.
g) Đặt:
Với n = 1, thì
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có:
Ta cần minh chứng (1) cũng như với n = k + 1, tức là cần hội chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Câu 8. chứng minh rằng với đa số số nguyên dương n, ta luôn luôn có:
a) un = n3 − n phân tách hết đến 3.
b) un = 13n − 1 phân chia hết cho 6.
c) un = 4n + 6n + 8 phân chia hết mang đến 9.
d) un = 32n+1 + 2n+2 phân chia hết đến 7.
e) un = 11n+1 + 122n−1 phân chia hết mang lại 133.
f) un = 24n − 1 phân chia hết mang đến 15.
Lời giải.
a) với n = 1, ta có: u1 = 13 − 1 = 0 chia hết đến 3.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = k3 − k phân tách hết mang lại 3.
Ta cần chứng minh: uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết mang đến 3.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1)
= k3 + 3k2 + 2k
= k3 − k + 3(k2 + k).
Vì (k3 – k) ⋮ 3, 3(k2 + k) ⋮ 3 đề xuất uk+1 ⋮ 3.
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1.
Do đó, ta tất cả điều bắt buộc chứng minh.
b) với n = 1, ta có: u1 = 133 − 1 = 12 phân chia hết cho 6.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 13k − 1 phân tách hết cho 6.
Ta buộc phải chứng minh: uk+1 = 13k − 1 chia hết đến 6.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 13k − 1
= 13k+1 – 13 + 12
= 13(13k – 1) + 12
Vì 13(13k – 1) ⋮ 6, 12 ⋮ 6 đề xuất uk+1 ⋮ 6.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều buộc phải chứng minh.
c) cùng với n = 1, ta có: u1 = 41 + 6.1 + 8 = 18 chia hết cho 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 4k + 6k + 8 phân tách hết đến 9.
Ta đề nghị chứng minh: uk+1 = 4k+1 + 6(k + 1) + 8 phân tách hết mang đến 9.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 4k+1 + 6(k + 1) + 8
= 4(4k + 6k + 8) – 18k – 18
= 4(4k + 6k + 8) – 18(k + 1)
Vì 4(4k + 6k + 8) ⋮ 9, 18(k + 1) ⋮ 9 yêu cầu uk+1 ⋮ 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1.
Do đó, ta bao gồm điều đề nghị chứng minh.
d) với n = 1, ta có: u1 = 31+1 + 21+2 = 35 phân chia hết cho 7.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 32k+1 + 2k+2 chia hết đến 7.
Ta cần chứng minh: uk+1 = 32(k+1)+1 + 2(k+1)+2 phân chia hết mang lại 7.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 32(k+1)+1 + 2(k+1)+2
= 32k+3 + 2k+3
= 9(32k+1 + 2k+2) – 7.2k
Vì 9(32k+1 + 2k+2) ⋮ 7, 7.2k ⋮ 7 yêu cầu uk+1 ⋮ 7.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, ta tất cả điều đề xuất chứng minh.
e) cùng với n = 1, ta có: u1 = 111+1 + 121−1 = 133 chia hết đến 133.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 11k+1 + 122k−1 chia hết cho 133.
Ta đề xuất chứng minh: uk+1 = 11k+2 + 122(k+1)−1 chia hết mang đến 133.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 11k+2 + 122(k+1)−1
= 11.11k+1 + 122.122k−1
= <11(11k+1 – 122k−1) – 133.122k−1> ⋮ 133
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều yêu cầu chứng minh.
e) với n = 1, ta có: u1 = 21 – 1 = 15 chia hết mang lại 15.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là: uk = 24k – 1 phân tách hết đến 15.
Ta yêu cầu chứng minh: uk+1 = 24(k+1) – 1 phân tách hết mang lại 15.
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 24(k+1) – 1
= 24k+4 – 1
= 16.24k – 1
= 16.24k – 16 + 15
= 16(24k – 1) + 15
Vì 16(24k – 1) ⋮ 15, 15 ⋮ 15 đề nghị uk+1 ⋮ 15.
Vậy mệnh đề đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, ta tất cả điều đề xuất chứng minh.
Câu 9. minh chứng rằng:
a) 2n+1 > 2n + 3 với tất cả n ≥ 2, n ∈ ℕ.
b) 3n−1 > n(n + 2) với tất cả n ≥ 4, n ∈ ℕ.
c) (n!)2 ≥ nn với đa số n ∈ ℕ*.
d) 2n > n2 với mọi n ≥ 5, n ∈ ℕ.
Lời giải.
a) với n = 2 ta thấy bất đẳng thức đã đến đúng.
Giả sử bất đẳng thức đã đến đúng cùng với n = k ≥ 2, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có: 2k+1 > 2k + 3 (1).
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1, tức là:
2(k+1)+1 > 2(k + 1) + 3 tuyệt 2k+2 > 2k + 5.
Thật vậy, nhân cả nhì vế của bất đẳng thức (1) với 2 ta được:
2.2k+1 > 2(2k + 3)
⇔ 2k+2 > 2k + 5 + 2k + 1 (2)
Vì k ≥ 2 đề xuất 2k + 1 > 0. Khi đó từ (2) suy ra:
2k+2 > 2k + 5.
Vậy bất đẳng thức đã đến đúng cùng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều đề nghị chứng minh.
b) với n = 4 ta thấy bất đẳng thức đã mang đến đúng.
Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 4, k ∈ ℕ, có nghĩa là ta có: 3k−1 > k(k + 2) (1)
Ta cần chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
3(k+1)−1 > (k + 1)<(k + 1) + 2> tốt 3k > (k + 1)(k + 3).
Thật vậy, nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) cùng với 3 ta được:
3.3k−1 > 3k(k + 2)
⇔ 3k > k2 + 4k + 3 + 2k2 + 2k − 3 (2)
Vì k ≥ 4 cùng 2k2 + 2k − 3 = 2k(k − 4) + 10(k − 4) + 37.
Nên 2k2 + 2k − 3 > 0.
Khi kia từ (2) suy ra:
3k > k2 + 4k + 3 ⇔ 3k > (k + 1)(k + 2).
Vậy bất đẳng thức đã mang đến đúng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều đề xuất chứng minh.
c) thứ 1 ta chứng minh nn ≥ (n + 1)n−1.
Thật vậy, cùng với n = 1 ta được khẳng định đúng.
Giả sử xác minh đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có:
Ta cần chứng minh khẳng định cũng đúng vào khi n = k + 1. Ta có:
Vậy nn ≥ (n + 1)n−1 với mọi n ∈ ℕ*.
Trở lại bài toán. Ta cũng minh chứng bài toán bởi quy nạp.
Với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đã mang đến đúng.
Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng cùng với n = k ≥ 1, k ∈ ℕ, tức là ta có: (k!)2 ≥ kk (1).
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là: <(k + 1)!>2 ≥ (k + 1)k+1.
Thật vậy, ta có:
<(k + 1)!>2 =
≥ kk(k + 1)2 ≥ (k + 1)k−1(k + 1)2 = (k + 1)k+1.
Vậy bất đẳng thức đã mang lại đúng với n = k + 1.
Do đó, ta có điều nên chứng minh.
d) Trước hết, bằng phương thức quy hấp thụ ta minh chứng trước hiệu quả n2 > 2n + 1 với đa số n ∈ ℕ, n ≥ 5.
Với n = 5 ta thấy bất đẳng thức là đúng.
Giả sử bất đẳng thức trên đúng cùng với n = k ≥ 5, k ∈ ℕ, tức là ta có: k2 > 2k + 1.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)2 > 2(k + 1) + 1.
