Tài liệu Giáo viên
Lớp 2Lớp 2 - kết nối tri thức
Lớp 2 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 2 - Cánh diều
Tài liệu Giáo viên
Lớp 3Lớp 3 - liên kết tri thức
Lớp 3 - Chân trời sáng tạo
Lớp 3 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 3
Tài liệu Giáo viên
Lớp 4Lớp 4 - kết nối tri thức
Lớp 4 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 4 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 4
Tài liệu Giáo viên
Lớp 5Lớp 5 - kết nối tri thức
Lớp 5 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 5 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 5
Tài liệu Giáo viên
Lớp 6Lớp 6 - liên kết tri thức
Lớp 6 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 6 - Cánh diều
Tiếng Anh 6
Tài liệu Giáo viên
Lớp 7Lớp 7 - liên kết tri thức
Lớp 7 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 7 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 8Lớp 8 - kết nối tri thức
Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
Lớp 8 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 9Lớp 9 - kết nối tri thức
Lớp 9 - Chân trời sáng tạo
Lớp 9 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 10Lớp 10 - liên kết tri thức
Lớp 10 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 10 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 11Lớp 11 - kết nối tri thức
Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
Lớp 11 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 12Lớp 12 - kết nối tri thức
Lớp 12 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 12 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
thầy giáoLớp 1
Lớp 2
Lớp 3
Lớp 4
Lớp 5
Lớp 6
Lớp 7
Lớp 8
Lớp 9
Lớp 10
Lớp 11
Lớp 12
Phương pháp giải bài xích 1 Góc lượng giác-Giá trị lượng giác của một góc lượng giác lớp 11 giúp chúng ta nắm được tài năng làm bài xích và cũng cố kiến thức một giải pháp hiệu quả.
Bạn đang xem: Quan hệ giữa các giá trị lượng giác toán 11
Dạng 1 : Đơn vị đo độ và rađian
1. Cách thức
Dùng quan hệ giữ độ cùng rađian: $180^circ = pi ext rad$
• Đổi cung $a$ gồm số đo từ bỏ rađian sang độ $a.frac180^circ pi $
• Đổi cung $x^circ $ bao gồm số đo từ bỏ độ ra rađian $x^circ .fracpi 180^circ $
2. Những ví dụ minh họa.
Ví dụ 1:
a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: $72^0,,600^0,, – 37^045’30”$.
b) Đổi số đo của những góc sau ra độ: $frac5pi 18,,frac3pi 5,, – 4$.
Lời giải
a) vì $1^0 = fracpi 180mkern 1mu rad$ yêu cầu $72^0 = 72.fracpi 180 = frac2pi 5,mkern 1mu 600^0 = 600.fracpi 180 = frac10pi 3,$
$ – 37^045’30” = – 37^0 – left( frac4560 ight)^0 – left( frac3060.60 ight)^0 = left( frac4531120 ight)^0 = frac4531120.fracpi 180 approx 0,6587$
b) vì $1mkern 1mu rad = left( frac180pi ight)^0$ đề nghị $frac5pi 18 = left( frac5pi 18.frac180pi ight)^0 = 50^o,mkern 1mu frac3pi 5 = left( frac3pi 5.frac180pi ight)^0 = 108^o,mkern 1mu $
$ – 4 = – left( 4.frac180pi ight)^0 = – left( frac720pi ight)^0 approx – 2260^048’$.
Ví dụ 2: Đổi số đo cung tròn sang trọng số đo độ:
a)$frac3pi 4$ b) $frac5pi 6$ c)$frac32pi 3$ d)$frac3pi 7$ e)$2,3$ f)$5,6$
Lời giải
a) $frac3pi 4 = 135^circ $.
b) $frac5pi 6 = 150^circ $.
c) $frac32pi 3 = 1920^circ $.
d) $frac3pi 7 = left( frac5407 ight)^0$.
e) $2,3 = frac2,3.180^circ pi approx 131,78^circ $
f) $5,6 = frac5,6.180^circ pi approx 320,856^circ $
Ví dụ 3: Đổi số đo cung tròn sang số đo radian:
a) $45^circ $ b) $150^circ $ c) $72^circ $ d) $75^circ $
Lời giải
a) $45^circ = fracpi 4$ b) $150^circ = frac5pi 6$ c) $72^circ = frac2pi 5$ d) $75^circ = frac5pi 12$
Dạng 2: màn biểu diễn cung lượng giác trê tuyến phố tròn lượng giác
1. Phương pháp
Để màn biểu diễn cung lượng giác bao gồm số đo trên tuyến đường tròn lượng giác ta thực hiện như sau:
– chọn điểm $Aleft( 1;0 ight)$ làm điểm đầu của cung.
– xác minh điểm cuối $M$ của cung làm sao để cho $mathop AMlimits^ curvearrowright = alpha $
Lưu ý:
+ Số đo của những cung lượng giác bao gồm cùng điểm đầu cùng điểm cuối sai khác biệt một bội của $2pi $ là:
sđ$mathop AMlimits^ curvearrowright = alpha + k2pi ;k in mathbbZ$
Ngoài ra, ta cũng có thể viết số đo bằng độ:
sđ$mathop AMlimits^ curvearrowright = x^circ + k360^circ ,k in mathbbZ$
+ nếu như ta bao gồm $mathop AMlimits^ curvearrowright = alpha + kfrac2pi n;k,n in mathbbZ$ thì sẽ có được $n$ điểm ngọn.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm ngọn của cung lượng giác tất cả số đo là $frac25pi 4$
Hướng dẫn giải
Ta có
sđ$mathop AMlimits^ curvearrowright = frac25pi 4 = fracpi 4 + frac24pi 4 = fracpi 4 + 6pi = fracpi 4 + 2.3.pi $
Vậy điểm cuối $M$ của cung $mathop AMlimits^ curvearrowright $ sẽ trùng với điểm ngọn của cung $fracpi 4$. Suy ra $M$ là điểm ở trung tâm của cung nhỏ dại .
Ví dụ 2: Biểu diễn trê tuyến phố tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác bao gồm số đo là $ – 1485^circ $
Hướng dẫn giải
Ta có sđ$mathop AMlimits^ curvearrowright = – 1485^circ = – 45^circ + left( – 4 ight).360^circ $
Vậy điểm cuối $M$ của cung $mathop AMlimits^ curvearrowright $ sẽ trùng với điểm ngọn của cung $ – 45^circ $.
Suy ra $M$ là điểm ở trung tâm của cung bé dại .
Ví dụ 3: Biểu diễn trên tuyến đường tròn lượng giác những điểm ngọn của cung lượng giác gồm số đo là $fracpi 6 + kfracpi 2;k in mathbbZ$
Hướng dẫn giải
Ta bao gồm sđ$mathop AMlimits^ curvearrowright = fracpi 6 + kfrac2pi 4$ nên gồm 4 điểm ngọn trên tuyến đường tròn lượng giác.
$k = 0 Rightarrow $ sđ$mathop AMlimits^ curvearrowright = fracpi 6$ bao gồm điểm ngọn là $M$
$k = 1 Rightarrow $ sđ$mathop ANlimits^ curvearrowright = fracpi 6 + fracpi 2$ bao gồm điểm ngọn là $N$
$k = 2 Rightarrow $ sđ$mathop APlimits^ curvearrowright = fracpi 6 + pi $ gồm điểm ngọn là $P$
$k = 3 Rightarrow $ sđ$mathop AQlimits^ curvearrowright = fracpi 6 + frac3pi 2$ bao gồm điểm ngọn là $Q$
$k = 4 Rightarrow $ sđ$mathop ARlimits^ curvearrowright = fracpi 6 + 2pi $ gồm điểm ngọn là $R$. Lúc này điểm ngọn $R$ trùng cùng với $M$
Vậy bốn điểm $M,N,P,Q$ chế tạo ra thành một hình vuông vắn nội tiếp đường tròn lượng giác
Ví dụ 4: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác gồm số đo là $kfracpi 3;k in mathbbZ$
Hướng dẫn giải
Ta bao gồm sđ$mathop AMlimits^ curvearrowright = kfrac2pi 6$ nên có 6 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác.
$k = 0 Rightarrow$ sđ$ mathop AMlimits^ curvearrowright = 0$ gồm điểm ngọn là $M$
$k = 1 Rightarrow $ sđ$mathop ANlimits^ curvearrowright = fracpi 3$ tất cả điểm ngọn là $N$
$k = 2 Rightarrow $sđ$mathop APlimits^ curvearrowright = frac2pi 3$ có điểm ngọn là $P$
$k = 3 Rightarrow $ sđ$mathop AQlimits^ curvearrowright = pi $ gồm điểm ngọn là $Q$
$k = 4 Rightarrow $ sđ$mathop ARlimits^ curvearrowright = frac4pi 3$ gồm điểm ngọn là $R$
$k = 5 Rightarrow $ sđ$mathop ASlimits^ curvearrowright = frac5pi 3$ bao gồm điểm ngọn là $S$
$k = 6 Rightarrow $ sđ$mathop ATlimits^ curvearrowright = 2pi $ có điểm ngọn là $T$
Lúc này điểm ngọn $T$ trùng cùng với $M$
Vậy sáu điểm $M;N;P;Q;R;S$ chế tạo ra thành một lục giác rất nhiều nội tiếp đường tròn lượng giác.
Dạng 3. Độ nhiều năm của một cung tròn
1. Cách thức giải
Cung bao gồm số đo $alpha ext rad$ của đường tròn bán kính $R$ gồm độ dài là $I = R.alpha $
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một con đường tròn có bán kính $ ext30 cm$. Search độ dài của các cung trên phố tròn bao gồm số đo sau đây: $fracpi 15 ext rad;70^circ $
Lời giải
Gọi $alpha ,l,R$ theo thứ tự là số đo cung, độ dài cung và nửa đường kính của con đường tròn. Khi đó $R = 30 ext cm$
Độ nhiều năm cung bao gồm số đo $fracpi 15 ext rad$ là:
$l = R.alpha = 30.fracpi 15 = 2pi ext left( extcm ight)$
Độ dài cung bao gồm số đo $70^circ $
Chuyển từ độ sang rađian: $70^circ = 70^circ .fracpi 180^circ = frac7pi 18$
Độ lâu năm cung: $l = R.alpha = 30.frac7pi 18 = frac35pi 3 ext left( extcm ight)$
Ví dụ 2: Một cung lượng giác trên đường tròn triết lý có độ dài bằng một nửa phân phối kính. Số đo theo rađian của cung kia là
A.$frac12 ext rad$ B. $1 ext rad$ C. $frac32 ext rad$ D. $2 ext rad$
Lời giải
Gọi $alpha ,I,R$ lần lượt là số đo cung, độ dài cung và nửa đường kính của con đường tròn
Vì độ dài bằng nửa bán kính nên $I = frac12R$
Ta có
$I = R.alpha Rightarrow alpha = fracIR = fracfrac12.RR = frac12left( extrad ight)$
Ví dụ 3: Bánh xe thiết bị có 2 lần bán kính kể cả lốp xe pháo $55$ cm. Nếu xe chạy với gia tốc $40$ km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?
Lời giải
Ta bao gồm $40$ km/h $ = frac100009$ cm/s.
1 vòng bánh xe bao gồm chiều lâu năm là $110pi $ cm.
Số vòng bánh xe con quay được trong một giây là $frac100009:left( 110pi ight) approx 3,2$.
Dạng 4 : Tính cực hiếm của góc còn sót lại hoặc của một biểu thức lượng giác lúc biết một quý hiếm lượng giác. Xem thêm: Chân Trời Sáng Tạo Lớp 11 Toán 11 Tập 1, Toán Học 11
1. Phương thức giải.
trường đoản cú hệ thức lượng giác cơ bạn dạng là mối tương tác giữa hai quý hiếm lượng giác, khi biết một quý hiếm lượng giác ta đã suy ra giá tốt trị còn lại. Cần xem xét tới dấu của giá trị lượng giác để chọn mang đến phù hợp.
Sử dụng những hằng đẳng thức lưu niệm trong đại sô.
2. Những ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính quý hiếm lượng giác còn lại của góc $alpha $ biết:
a) $sin alpha = frac13$ với $90^0 Lời giải
a) vì $90^0 0$ và $ an alpha = – 2sqrt 2 0$
Do kia $sin alpha = fracsqrt 3 3$.
Ta bao gồm $cot alpha = fraccos alpha sin alpha Rightarrow cos alpha = cot alpha .sin alpha = – sqrt 2 .fracsqrt 3 3 = – fracsqrt 6 3$
Ví dụ 2:
a) Tính cực hiếm lượng giác sót lại của góc $alpha $ biết $sin alpha = frac15$ và $ an alpha + cot alpha Lời giải
a) Ta có $cot ^2alpha + 1 = frac1sin ^2alpha = frac1left( frac15 ight)^2 = 25 Rightarrow cot ^2alpha = 24$ giỏi $cot alpha = pm 2sqrt 6 $
Vì $ an alpha $, $cot alpha $ cùng dấu với $ an alpha + cot alpha 0$ )
Suy ra $sin ^2alpha = frac12$.
Ta lại có $cos ^2alpha = 1 – sin ^2alpha = 1 – frac12 = frac12$
Suy ra $A = 2left( frac12 ight)^2 – left( frac12 ight)^2 = frac14$
Ví dụ 3:
a) mang lại $cos alpha = frac23$ . Tính $A = frac an alpha + 3cot alpha an alpha + cot alpha $.
b) cho $ an alpha = 3$. Tính $B = fracsin alpha – cos alpha sin ^3alpha + 3cos ^3alpha + 2sin alpha $
c) đến $cot alpha = sqrt 5 $. Tính $C = sin ^2alpha – sin alpha cos alpha + cos ^2alpha $
Lời giải
a) Ta bao gồm $A = frac an alpha + 3frac1 an alpha an alpha + frac1 an alpha = frac an ^2alpha + 3 an ^2alpha + 1 = fracfrac1cos ^2alpha + 2frac1cos ^2alpha = 1 + 2cos ^2alpha $
Suy ra $A = 1 + 2.frac49 = frac179$
b) $B = fracfracsin alpha cos ^3alpha – fraccos alpha cos ^3alpha fracsin ^3alpha cos ^3alpha + frac3cos ^3alpha cos ^3alpha + frac2sin alpha cos ^3alpha = frac an alpha left( an ^2alpha + 1 ight) – left( an ^2alpha + 1 ight) an ^3alpha + 3 + 2 an alpha left( an ^2alpha + 1 ight)$
Suy ra $B = frac3left( 9 + 1 ight) – left( 9 + 1 ight)27 + 3 + 2.3left( 9 + 1 ight) = frac29$
c) Ta có $C = sin ^2alpha .fracsin ^2alpha – sin alpha cos alpha + cos ^2alpha sin ^2alpha = sin ^2alpha left( 1 – fraccos alpha sin alpha + fraccos ^2alpha sin ^2alpha ight)$
$ = frac11 + cot ^2alpha left( 1 – cot alpha + cot ^2alpha ight) = frac11 + left( sqrt 5 ight)^2left( 1 – sqrt 5 + 5 ight) = frac6 – sqrt 5 6$
Ví dụ 4: Biết $sin x + cos x = m$
a) tìm $sin xcos x$ với $left| sin ^4x – cos ^4x ight|$
b) minh chứng rằng $left| m ight| leqslant sqrt 2 $
Lời giải
a) Ta gồm $left( sin x + cos x ight)^2 = sin ^2x + 2sin xcos x + cos ^2x = 1 + 2sin xcos x$ (*)
Mặt khác $sin x + cos x = m$ cần $m^2 = 1 + 2sin alpha cos alpha $ hay $sin alpha cos alpha = fracm^2 – 12$
Đặt $A = left| sin ^4x – cos ^4x ight|$. Ta có
$A = left| left( sin ^2x + cos ^2x ight)left( sin ^2x – cos ^2x ight) ight| = left| left( sin x + cos x ight)left( sin x – cos x ight) ight|$
$ Rightarrow A^2 = left( sin x + cos x ight)^2left( sin x – cos x ight)^2 = left( 1 + 2sin xcos x ight)left( 1 – 2sin xcos x ight)$
$ Rightarrow A^2 = left( 1 + fracm^2 – 12 ight)left( 1 – fracm^2 – 12 ight) = frac3 + 2m^2 – m^44$
Vậy $A = fracsqrt 3 + 2m^2 – m^4 2$
b) Ta bao gồm $2sin xcos x leqslant sin ^2x + cos ^2x = 1$ kết hợp với (*) suy ra
$left( sin x + cos x ight)^2 leqslant 2 Rightarrow left| sin x + cos x ight| leqslant sqrt 2 $
Vậy $left| m ight| leqslant sqrt 2 $
Dạng 5: khẳng định giá trị của biểu thức cất góc đặc biệt, góc liên quan đặc biệt quan trọng và dấu của giá trị lượng giác của góc lượng giác.
1. Cách thức giải.
thực hiện định nghĩa giá trị lượng giác
Sử dụng đặc điểm và bảng giá trị lượng giác sệt biệt
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc tương quan đặc biệt
Để khẳng định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác minh điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) nằm trong góc phần bốn nào và vận dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá bán trị các biểu thức sau:
a) $A = sin frac7pi 6 + cos 9pi + an ( – frac5pi 4) + cot frac7pi 2$
b) $B = frac1 an 368^0 + frac2sin 2550^0cos( – 188^0)2cos638^0 + cos98^0$
c) $C = sin ^225^0 + sin ^245^0 + sin ^260^0 + sin ^265^0$
d) $D = an ^2fracpi 8. an frac3pi 8. an frac5pi 8$
Lời giải
a) Ta gồm $A = sin left( pi + fracpi 6 ight) + cos left( pi + 4.2pi ight) – an left( pi + fracpi 4 ight) + cot left( fracpi 2 + 3pi ight)$
$ Rightarrow A = – sin fracpi 6 + cos pi – an fracpi 4 + cot fracpi 2 = – frac12 – 1 – 1 + 0 = – frac52$
b) Ta có
$B = frac1 an (8^0 + 360^0) + frac2sin (30^0 + 7.360^0)cos(8^0 + 180^0)2cos( – 90^0 + 8^0 + 2.360^0) + cos(90^0 + 8^0)$
$egingatheredB = frac1 an 8^0 + frac2sin 30^0left( – cos 8^0 ight)2cos left( 8^0 – 90^0 ight) – sin 8^0 = frac1 an 8^0 + frac2.frac12left( – cos 8^0 ight)2cos left( 90^0 – 8^0 ight) – sin 8^0 = hfill \mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu = frac1 an 8^0 – fraccos 8^02sin 8^0 – sin 8^0 = frac1 an 8^0 – fraccos 8^0sin 8^0 = 0 hfill \endgathered $
c) vày $25^0 + 65^0 = 90^0 Rightarrow sin 65^0 = cos 25^0$ vày đó
$C = (sin ^225^0 + cos^225^0) + sin ^245^0 + sin ^260^0 = 1 + left( fracsqrt 2 2 ight)^2 + left( fracsqrt 3 2 ight)^2$
Suy ra $C = frac94$.
d) $D = – left( an fracpi 8. an frac3pi 8 ight).left< an left( – fracpi 8 ight) an frac5pi 8 ight>$
Mà $fracpi 8 + frac3pi 8 = fracpi 2,mkern 1mu – fracpi 8 + frac5pi 8 = fracpi 2 Rightarrow an frac3pi 8 = cot fracpi 8,mkern 1mu an frac5pi 8 = cot left( – fracpi 8 ight)$
Nên $D = – left( an fracpi 8.cot fracpi 8 ight).left< an left( – fracpi 8 ight)cot left( – fracpi 8 ight) ight> = – 1$.
Ví dụ 2: mang đến $fracpi 2 Lời giải
a) Ta bao gồm $fracpi 2 – alpha > – pi Rightarrow 0 > frac3pi 2 – alpha > – fracpi 2$ suy ra $ an left( frac3pi 2 – alpha ight) 0$
Và $0 0$
Vậy $cos left( – fracpi 2 + alpha ight). an left( pi + alpha ight) > 0$.
d) Ta gồm $frac3pi 2 0$.
Dạng 6: minh chứng đẳng thức lượng giác, chứng tỏ biểu thức không nhờ vào góc $x$, đơn giản biểu thức.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, những hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng đặc điểm của giá trị lượng giác để thay đổi đổi
+ Khi chứng tỏ một đẳng thức ta gồm thể thay đổi vế này thành vế kia, chuyển đổi tương đương, biến hóa hai vế cùng bởi một đại lượng khác.
+ chứng minh biểu thức không dựa vào góc $x$ hay đơn giản và dễ dàng biểu thức ta nỗ lực làm mở ra nhân tử bình thường ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm mở ra các hạng tử trái vệt để rút gọn mang lại nhau.
2. Những ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh những đẳng thức sau(giả sử những biểu thức sau đều phải có nghĩa)
a) $cos ^4x + 2sin ^2x = 1 + sin ^4x$
b) $fracsin x + cos xsin ^3x = cot ^3x + cot ^2x + cot x + 1$
c) $fraccot ^2x – cot ^2ycot ^2x.cot ^2ymkern 1mu mkern 1mu = mkern 1mu mkern 1mu fraccos ^2x – cos ^2ycos ^2x.cos ^2y$
d) $sqrt sin ^4x + 4cos ^2x + sqrt cos ^4x + 4sin ^2x = 3 an left( x + fracpi 3 ight) an left( fracpi 6 – x ight)$
Lời giải
a) Đẳng thức tương tự với $cos ^4x = 1 – 2sin ^2x + left( sin ^2x ight)^2$
$ Leftrightarrow cos ^4x = left( 1 – sin ^2x ight)^2$ (*)
Mà $sin ^2x + cos ^2x = 1 Rightarrow cos ^2x = 1 – sin ^2x$
Do đó (*)$ Leftrightarrow cos ^4x = left( cos ^2x ight)^2$ (đúng) ĐPCM.
b) Ta tất cả $VT = fracsin x + cos xsin ^3x = frac1sin ^2x + fraccos xsin ^3x$
Mà $cot ^2x + 1 = frac1sin ^2x$ với $ an x = fracsin xcos x$ nên
$VT = cot ^2x + 1 + cot xleft( cot ^2x + 1 ight)$$ = cot ^3x + cot ^2x + cot x + 1 = VP$ ĐPCM.
c) Ta bao gồm $VT = fraccot ^2x – cot ^2ycot ^2x.cot ^2ymkern 1mu mkern 1mu = frac1cot ^2y – frac1cot ^2x = an ^2y – an ^2x$
$ = left( frac1cos ^2y – 1 ight) – left( frac1cos ^2x – 1 ight) = frac1cos ^2y – frac1cos ^2x = fraccos ^2x – cos ^2ycos ^2x.cos ^2y = VP$ ĐPCM.
d) $VT = sqrt sin ^4x + 4left( 1 – sin ^2x ight) + sqrt cos ^4x + 4left( 1 – cos ^2x ight) $
$ = sqrt left( sin ^2x ight)^2 – 4sin ^2x + 4 + sqrt left( cos ^2x ight)^2 – 4cos ^2x + 4 = sqrt left( sin ^2x – 2 ight)^2 + sqrt left( cos ^2x – 2 ight)^2 $
$ = left( 2 – sin ^2x ight) + left( 2 – cos ^2x ight) = 4 – left( sin ^2x + cos ^2x ight) = 3$
Mặt khác bởi vì $left( x + fracpi 3 ight) + left( fracpi 6 – x ight) = fracpi 2 Rightarrow an left( fracpi 6 – x ight) = cot left( x + fracpi 3 ight)$ nên
$VP = 3 an left( x + fracpi 3 ight)cot left( x + fracpi 3 ight) = 3 Rightarrow VT = VP$ ĐPCM.
Ví dụ 2: mang lại tam giác ABC. Chứng minh rằng
$fracsin ^3fracB2cos left( fracA + 2B + C2 ight) – fraccos ^3fracB2sin left( fracA + 2B + C2 ight) = an A.cot (B + C)$
Lời giải
Vì $A + B + C = pi $ nên
$VT = fracsin ^3fracB2cos left( fracpi 2 + fracB2 ight) – fraccos ^3fracB2sin left( fracpi 2 + fracB2 ight) = fracsin ^3fracB2 – sin fracB2 – fraccos ^3fracB2cos fracB2 = – left( sin ^2fracB2 + cos ^2fracB2 ight) = – 1$
$VP = an A.cot left( pi – A ight) = an A.left( – cot A ight) = – 1$
Suy ra $VT = VP$. ĐPCM
Ví dụ 3: Đơn giản những biểu thức sau(giả sử những biểu thức sau đều sở hữu nghĩa)
a) $A = cos (5pi – x) – sin left( frac3pi 2 + x ight) + an left( frac3pi 2 – x ight) + cot (3pi – x)$
b) $B = fracsin (900^0 + x) – cos (450^0 – x) + cot (1080^0 – x) + an (630^0 – x)cos (450^0 – x) + sin (x – 630^0) – an (810^0 + x) – an (810^0 – x)$
c) $C = sqrt 2 – frac1sin left( x + 2013pi ight).sqrt frac11 + cos x + frac11 – cos x $ với $pi Lời giải
a) Ta tất cả $cos (5pi – x) = cos left( pi – x + 2.2pi ight) = cos left( pi – x ight) = – cos x$
$sin left( frac3pi 2 + x ight) = sin left( pi + fracpi 2 + x ight) = – sin left( fracpi 2 + x ight) = – cos x$
$ an left( frac3pi 2 – x ight) = an left( pi + fracpi 2 – x ight) = an left( fracpi 2 – x ight) = cot x$
$cot (3pi – x) = cot left( – x ight) = – cot x$
Suy ra $A = – cos x – left( – cos x ight) + cot x + left( – cot x ight) = 0$
b) Ta có $sin (900^0 + x) = sin left( 180^0 + 2.360^0 + x ight) = sin left( 180^0 + x ight) = – sin x$
$cos left( 450^0 – x ight) = cos left( 90^0 + 360^0 – x ight) = cos left( 90^0 – x ight) = sin x$
$cot (1080^0 – x) = cot (3.360^0 – x) = cot left( – x ight) = – cot x$
$ an (630^0 – x) = an (3.180^0 + 90^0 – x) = an (90^0 – x) = cot x$
$sin (x – 630^0) = sin left( x – 2.360^0 + 90^0 ight) = sin left( x + 90^0 ight) = cos x$
$ an (810^0 + x) = an (4.180^0 + 90^0 + x) = an (90^0 + x) = – cot x$
$ an (810^0 – x) = an (4.180^0 + 90^0 – x) = an (90^0 – x) = cot x$
Vậy $B = frac – sin x – sin x – cot x + cot xsin x + cos x – left( – cot x ight) – cot x = frac – 2sin xsin x + cos x$
c) Ta bao gồm $sin left( x + 2013pi ight) = sin left( x + pi + 1006.2pi ight) = sin left( x + pi ight) = – sin x$ nên
$C = sqrt 2 + frac1sin x.sqrt frac1 – cos x + 1 + cos xleft( 1 – cos x ight)left( 1 + cos x ight) $
$mkern 1mu = sqrt 2 + frac1sin x.sqrt frac21 – cos ^2x = mkern 1mu sqrt 2 + frac1sin x.sqrt frac2sin ^2x = sqrt 2 left( 1 + frac1 sin x ight ight)$
Vì $pi Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào vào $x$.
a) $A = fracsin ^6x + cos ^6x + 2sin ^4x + cos ^4x + 1$
b) $B = frac1 + cot x1 – cot x – frac2 + 2cot ^2xleft( an x – 1 ight)left( an ^2x + 1 ight)$
c)$mkern 1mu C = sqrt sin ^4x + 6cos ^2x + 3cos ^4x + sqrt cos ^4x + 6sin ^2x + 3sin ^4x $
Lời giải
a) Ta có Ta có $sin ^4alpha + cos ^4alpha = left( sin ^2alpha + cos ^2alpha ight)^2 – 2sin ^2alpha cos ^2alpha = 1 – 2sin ^2alpha cos ^2alpha $
$sin ^6alpha + cos ^6alpha = left( sin ^2alpha ight)^3 + left( cos ^2alpha ight)^3 = left( sin ^2alpha + cos ^2alpha ight)left( sin ^4alpha + cos ^4alpha – sin ^2alpha cos ^2alpha ight)$
$ = sin ^4alpha + cos ^4alpha – sin ^2alpha cos ^2alpha = 1 – 2sin ^2alpha cos ^2alpha – sin ^2alpha cos ^2alpha = 1 – 3sin ^2alpha cos ^2alpha $
Do kia $A = frac1 – 3sin ^2alpha cos ^2alpha + 21 – 2sin ^2alpha cos ^2alpha + 1 = frac3left( 1 – sin ^2alpha cos ^2alpha ight)2left( 1 – sin ^2alpha cos ^2alpha ight) = frac32$
Vậy $A$ không phụ thuộc vào vào $x$.
b) Ta bao gồm $B = frac1 + frac1 an x1 – frac1 an x – frac2 + frac2cos ^2xsin ^2xleft( an x – 1 ight)frac1sin ^2x$
$ = frac an x + 1 an x – 1 – frac2left( sin ^2x + cos ^2x ight) an x – 1 = frac an x + 1 – 2 an x – 1 = 1$
Vậy $B$ không phụ thuộc vào $x$.
c) $C = sqrt left( 1 – cos ^2x ight)^2 + 6cos ^2x + 3cos ^4x + sqrt left( 1 – sin ^2x ight)^2 + 6sin ^2x + 3sin ^4x $
$egingatheredmkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu = sqrt 4cos ^4x + 4cos ^2x + 1 + sqrt 4sin ^4x + 4sin ^2x + 1 hfill \mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu = sqrt left( 2cos ^2x + 1 ight)^2 + sqrt left( 2sin ^2x + 1 ight)^2 hfill \mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu = 2cos ^2x + 1 + 2sin ^2x + 1 hfill \mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu = 3 hfill \endgathered $
