Tích của vectơ với một số là kiến thức hình học quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 10. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu lý thuyết, làm quen với các dạng bài tập tích của vectơ thường gặp để đạt điểm cao trong các đề kiểm tra sắp tới nhé!



1. Lý thuyết cơ bản về tích vectơ với một số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với một số

Tích của vectơ với một số được định nghĩa như sau:

Cho một số thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$.

Bạn đang xem: Toán 10 vecto bài tập

Tích của vectơ $\vec{a}$với một số thực $k\neq 0$là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k>0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính chất tích của vectơ với 1 số

Tích của vectơ với một số có các tính chất:

a, Tính phân phối với phép cộng vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với phép cộng các số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng:

Nếu E là trung điểm của đoạn thẳng MN thì với mọi điểm I, ta có:

$\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì mọi điểm I ta có:

$\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để vectơ $\vec{a}$và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ cùng phương là tồn tại một số k sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$.

Ba điểm phân biệt M, N, O thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k\neq 0$để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ kđều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, trong đó m, n là các số thực duy nhất.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

2. Một số bài tập tích của vectơ với một số

2.1. Tính độ dài vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ các vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, kết hợp với các định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng các vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải:

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm ta được:

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo quy tắc trừ ta có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo định lý Pytago ta có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, P là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K thuộc đoạn AM sao cho $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H thuộc tia $\vec{BM}$ sao cho $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD có cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:

a, Giả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có:

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

=> Vecto $\vec{u}$ không phụ thuộc vị trí của điểm M.

Xem thêm: Giải Bài 7.1 Sgk Toán 10 Tập 2 Kết Nối Tri Thức, Toán 10 Chương 7 Trang 34 Bài 7

b, Lấy A" trên $\vec{OA}$ sao cho OA"=3OA

Khi đó: $\vec{OA"}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA"}-\vec{OB}=\vec{BA"}$

Mặt khác:

$\vec{BA"}=\sqrt{OB^{2}+(OA")^{2}}=\sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải:

Biến đổi đẳng thức vectơ thành dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm N sao cho $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, ta lấy điểm A làm gốc, dựng một vectơ bằng vectơ $\vec{a}$, từ đó suy ra được điểm ngọn là điểm N.

Biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm M,N,P sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

=> Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

=> Điểm N là trung điểm đoạn thẳng KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm P là trung điểm đoạn thẳng AG.

Ví dụ 2: A, B là hai điểm cho trước, hai số thực $\alpha ,\beta $ thỏa mãn $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn tại duy nhất một điểm I sao cho $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ đó suy ra được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$(M là điểm bất kì).

Vecto là một kiến thức quan trọng trong toán học. Ở chương trình lớp 10, chủ yếu các em sẽ được tiếp xúc với vecto trong hình học phẳng. Từ đó có một cái nhìn tổng quan hơn về vấn đề toán học này. Dưới đây sẽ là một số dạng bài tập vecto lớp 10 theo chuyên đề, các bài tập đều có đáp án và lời giải được chọn lọc kĩ càng.


Phần 1. Hai vecto bằng nhau

Dạng 1. Chứng minh các vecto bằng nhau

*

*

*

Dạng 2. Tính độ dài vecto

*

*

*

Phần 2. Tổng và hiệu của hai vecto

Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ

*

Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ

*
*

Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ

Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trung điểm để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức véctơ đã được công nhận là đúng.

*

Dạng 4 : Tính độ dài véctơ

Phương pháp: Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ có độ dài là một cạnh của đa giác

*

Phần 3. Tích của vecto với một số

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức véctơ

*
*
*

Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước

Phương pháp giải toán:

*
*
*

Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương

Phương pháp giải toán:

*

Ví dụ:

*

Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

*
*
*

Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau

*
*
*

Dạng 6: Quỹ tích điểm

*
*

Bài tập trắc nghiệm vecto có đáp án

Dạng 1: Xác đinh véctơ

*

Dạng 2: Tổng – Hiệu hai véc tơ

*

Dạng 3: Tích véctơ với một số

Không xoay quanh các lý thuyết của tích vecto với một số. Ở dạng 3 này, chủ yếu vận dụng các hệ quả, tính chất từ những lý thuyết. Các tính chất vận dụng bao gồm: Tính chất phân phối của phép cộng vecto, tính chất phân phối phép cộng với các số, tính chất kết hợp trong vecto. Các dạng bài thường gặp bao gồm: Điều kiện để 2 vecto cùng phương, phân tích một vecto thành 2 vecto không cùng phương.

*

Tải tài liệu để xem chi tiết 34 trang với đầy đủ ví dụ, bài tập và lời giải.Tải Xuống

Trên đây là toàn bộ các dạng bài tập vecto trong chương trình toán lớp 10. Các dạng bài tập trình bày theo thứ tự từ khó đến dễ và phân chia theo chuyên đề rõ ràng. Mong rằng với tài liệu trên sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc được chủ đề vecto – Một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học.