Tích của vectơ với một số trong những là kiến thức hình học quan trọng đặc biệt nằm trong chương trình toán lớp 10. Hãy thuộc VUIHOC mày mò lý thuyết, làm cho quen với các dạng bài xích tập tích của vectơ thường gặp để ăn điểm cao trong các đề kiểm tra sắp tới đây nhé!



1. Lý thuyết cơ phiên bản về tích vectơ với 1 số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với cùng 1 số

Tích của vectơ với một trong những được định nghĩa như sau:

Cho một trong những thực $k eq 0$, vectơ $veca eq 0$.

Bạn đang xem: Toán 10 vecto bài tập

Tích của vectơ $veca$với một vài thực $k eq 0$là một vectơ, kí hiệu k$veca$, cùng hướng với vectơ $veca$ nếu như k>0, ngược hướng với vectơ $veca$ nếu như k

Quy ước: $0veca$=0; k$vec0$=$vec0$

1.2. đặc điểm tích của vectơ với cùng một số

Tích của vectơ với một số có những tính chất:

a, Tính trưng bày với phép cộng vectơ:

$k(vecm+vecn)=kvecm+kvecn$

b, Tính cung cấp với phép cộng những số:

$(a+b)vecx=avecx+bvecx$

c, Tính kết hợp:

$a(vecbc)=(ab)vecc$

d, $1veca=veca, (-1)veca=-veca$

e, $kveca=0 Leftrightarrow k=0$ hoặc $veca=0$

Áp dụng:

Nếu E là trung điểm của đoạn thẳng MN thì với mọi điểm I, ta có:

$vecIM+vecIN=2vecIE$

Nếu U là giữa trung tâm tam giác NCT thì hầu hết điểm I ta có:

$vecIN+vecIC+vecIT=3vecIU$

1.3. Điều kiện để hai vectơ thuộc phương

Điều kiện đề nghị và đủ nhằm vectơ $veca$và vectơ $vecb (vecb eq 0)$ thuộc phương là tồn tại một vài k thế nào cho $veca=kvecb$.

Ba điểm sáng tỏ M, N, O thẳng sản phẩm khi và chỉ khi tất cả số $k eq 0$để $vecMN=kvecMO$.

1.4. Biện pháp phân tích một vectơ thành nhì vectơ không cùng phương

Cho vectơ $veca$ với vectơ $vecb$ là nhị vectơ không thuộc phương. Khi đó mọi vectơ kđều được màn trình diễn một giải pháp duy duy nhất theo hai vecto $veca,vecb$: $veck=mveca+nvecb$, trong các số ấy m, n là những số thực duy nhất.

Đăng cam kết ngay để được những thầy cô ôn tập và tạo lộ trình ôn thi trung học phổ thông môn Toán vững vàng

2. Một số bài tập tích của vectơ với cùng một số

2.1. Tính độ lâu năm vectơ

Phương pháp giải: thực hiện định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ các vectơ nhằm dựng vectơ đựng tích của vectơ với cùng 1 số, kết phù hợp với các định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ lâu năm vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, rước M là trung điểm cạnh BC. Dựng những vectơ tiếp sau đây và tính độ lâu năm của chúng:

a, $vecMA+frac12 vecCB$

b, $vecBA-frac12 vecBC$

c, $2vecAC+frac112 vecAB$

d, $frac52vecMB+frac34vecMA$

Lời giải:

a, Ta có: $frac12vecCB=vecCM$

Theo luật lệ 3 điểm ta được:

$frac12vecCB+vecMA=vecCM+vecMA=vecCA$

Vậy: $left | frac12 vecCB+vecMA ight |=left | vecCA ight |=a$

b, vì $vecBM=frac12vecBC$ đề xuất theo luật lệ trừ ta có:

$vecBA-frac12vecBC=vecBA-vecBM=vecMA$

Theo định lý Pytago ta có: $MA=sqrtAB^2-BM^2=sqrta^2-left ( fraca2 ight )^2=fracasqrt32$

Vậy, $left | vecBA-frac12BC ight |=vecMA=fracasqrt32$

c, lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, p. Là đỉnh của hình bình hành APQN

d, lấy điểm K ở trong đoạn AM sao để cho $MK=frac34MA$, điểm H thuộc tia $vecBM$ làm sao để cho $vecMH=frac52vecMB$.

Ví dụ 2: hình vuông vắn ABCD tất cả cạnh a

a, minh chứng rằng $vecu=avecMA-3vecMB+vecMC-2vecMD$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b, Tính $left | vecu ight |$.

Lời giải:

a, trả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có:

$vecu=4vecMO+vecOA-3vecMO+vecOB+vecMO+vecOC-2vecMO+vecOD=4vecOA-3vecOB+vecOC-2vecOD$

Mà: $vecOD=-vecOB, vecOC=-vecOA$ cần $vecu=3vecOA-vecOB$

=> Vecto $vecu$ không phụ thuộc vị trí của điểm M.

Xem thêm: Giải Bài 7.1 Sgk Toán 10 Tập 2 Kết Nối Tri Thức, Toán 10 Chương 7 Trang 34 Bài 7

b, rước A" bên trên $vecOA$ thế nào cho OA"=3OA

Khi đó: $vecOA"=3vecOARightarrow vecu=vecOA"-vecOB=vecBA"$

Mặt khác:

$vecBA"=sqrtOB^2+(OA")^2=sqrtOB^2+9OA^2=asqrt5Rightarrow vecu=asqrt5$

2.2. Tra cứu một điểm vừa lòng một đẳng thức vectơ mang đến trước

Phương pháp giải:

Biến thay đổi đẳng thức vectơ thành dạng $vecAN=veca$, điểm A và $veca$ đang biết. Khi đó tồn tại tuyệt nhất một điểm N làm thế nào cho $vecAN=veca$. Để dựng điểm N, ta mang điểm A làm cho gốc, dựng một vectơ bằng vectơ $veca$, từ kia suy ra được điểm ngọn là điểm N.

Biến đổi về đẳng thức vectơ vẫn biết của trọng tâm tam giác với trung điểm đoạn thẳng.

Ví du 1: mang lại tứ giác ABCD. Tìm những điểm M,N,P sao cho:

a, $2vecMA+vecMB+vecMC=vec0$b, $vecNA+vecNB+vecNC+vecND=vec0$c, $3vecPA+vecPB+vecPC+vecPD=vec0$

Lời giải:

a, trả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $vecMB+vecMC=2vecMI$

Do đó: $2vecMA+vecMB+vecMC=vec0$

$2vecMA+2vecMI=vec0Leftrightarrow vecMA+vecMI=vec0$

=> Điểm M là trung điểm đoạn trực tiếp AI

b, trả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có:

$vecNA+vecNB+vecNC+vecND=vec0Leftrightarrow 2vecNK+2vecNH=vec0$

=> Điểm N là trung điểm đoạn trực tiếp KH

c, giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có:

$vecPB+vecPC+vecPD=3vecPG$

=> $3vecPA+vecPB+vecPC+vecPD=vec0$

Điểm p là trung điểm đoạn thẳng AG.

Ví dụ 2: A, B là hai điểm mang lại trước, hai số thực $alpha ,eta $ thỏa mãn $alpha+eta eq 0$. Minh chứng rằng: tồn tại độc nhất một điểm I làm thế nào cho $alphavecIA+eta vecIB=vec0$. Từ đó suy ra được $alphavecMA+eta vecMB=(alpha +eta )vecMI$(M là vấn đề bất kì).

Vecto là 1 kiến thức đặc biệt trong toán học. Ở công tác lớp 10, chủ yếu các em sẽ tiến hành tiếp xúc với vecto trong hình học tập phẳng. Từ kia có một chiếc nhìn tổng quan hơn về vụ việc toán học tập này. Dưới đây sẽ là một trong những dạng bài tập vecto lớp 10 theo chăm đề, những bài tập đều sở hữu đáp án và lời giải được tinh lọc kĩ càng.


Phần 1. Nhị vecto bằng nhau

Dạng 1. Chứng minh các vecto bởi nhau

*

*

*

Dạng 2. Tính độ dài vecto

*

*

*

Phần 2. Tổng với hiệu của hai vecto

Dạng 1: search tổng của nhì vectơ với tổng của tương đối nhiều véctơ

*

Dạng 2 : tìm kiếm vectơ đối với hiệu của hai véctơ

*
*

Dạng 3 : minh chứng Đẳng thức véctơ

Phương pháp: sử dụng quy tắc tía điểm, luật lệ hình bình hành, trung điểm để đổi khác vế này thành vế cơ của đẳng thức hoặc đổi khác cả nhì vế và để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần minh chứng đó tương tự với một đẳng thức véctơ đã được công nhận là đúng.

*

Dạng 4 : Tính độ dài véctơ

Phương pháp: Đưa tổng hoặc hiệu của những véctơ về một véctơ gồm độ dài là một trong những cạnh của nhiều giác

*

Phần 3. Tích của vecto với 1 số

Dạng 1: chứng minh đẳng thức véctơ

*
*
*

Dạng 2: kiếm tìm một điểm bằng lòng một đẳng thức véctơ mang đến trước

Phương pháp giải toán:

*
*
*

Dạng 3: đối chiếu một véctơ theo nhì véctơ không thuộc phương

Phương pháp giải toán:

*

Ví dụ:

*

Dạng 4: minh chứng ba điểm thẳng hàng

*
*
*

Dạng 5: chứng minh hai điểm trùng nhau

*
*
*

Dạng 6: Quỹ tích điểm

*
*

Bài tập trắc nghiệm vecto gồm đáp án

Dạng 1: Xác đinh véctơ

*

Dạng 2: Tổng – Hiệu hai véc tơ

*

Dạng 3: Tích véctơ với cùng một số

Không luân chuyển quanh các lý thuyết của tích vecto với một số. Ở dạng 3 này, đa phần vận dụng các hệ quả, đặc điểm từ phần đa lý thuyết. Các đặc điểm vận dụng bao gồm: đặc điểm phân phối của phép cộng vecto, tính chất phân phối phép cộng với các số, tính chất phối hợp trong vecto. Các dạng bài xích thường gặp bao gồm: Điều kiện nhằm 2 vecto thuộc phương, so với một vecto thành 2 vecto không thuộc phương.

*

Tải tài liệu để xem chi tiết 34 trang với vừa đủ ví dụ, bài bác tập và lời giải.Tải Xuống

Trên phía trên là toàn cục các dạng bài tập vecto trong công tác toán lớp 10. Các dạng bài bác tập trình diễn theo lắp thêm tự từ khó đến dễ và phân chia theo chuyên đề rõ ràng. Mong muốn rằng với tài liệu trên sẽ giúp chúng ta học sinh vậy chắc được chủ đề vecto – Một nhà đề đặc trưng trong chương trình toán học.