####### 1. TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ

Với mỗi véc tơ u 

trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số  x 0 ;y 0 sao cho u  x i 0 y j.

Bạn đang xem: Toán 10 vecto trong mặt phẳng tọa độ

   Ta nói véc tơ u  có

tọa độ  x 0 ;y 0 và viết u  x 0 ;y 0 

hay u  x 0 ;y 0 

 . Các số x 0 ,y 0 tương ứng được gọi là hoành độ, tung độcủa u.

Nhận xét. Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ    

"; "; ""x xu x y v x yy y     Ví dụ 1. Tìm toạ độ của các vecto đơn vị i ,j tương ứng của các trục Ox Oy,.Lời giải
Vì i  1 i  0 j  nên icó toạ độ là (1; 0).Vì j  0 i  1 j  nên jcó toạ độ là (0;1).

####### 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ

Cho a   x; y ,b   x"; y" ; k R,

 

+) a  b   x  x"; y y"

 

+) k .a  kx; ky

Nhận xét: bcùng phương với a  0  k  R : x" kxvàx" y"y" kyx y   (nếu x  0 , y 0 ).

Nếu điểm M có tọa độ  x y;  thì véc tơ OM



có tọa độ  x y; và độ dài OM  x 2 y 2



Với hai điểm M  x y;  và N  x "; y " thì MN   x "  x y; "y

 và khoảng cách giữa hai điểm M N, là

   

2 2MN  MN  x "  x  y "yVí dụ 2. Cho3(1; 2), ;2a b      .a) Tìm toạ độ của a  b a,  2 b   .b) Hỏi avà bcó cùng phương hay không?
Lời giảia) Vì3(1; 2), ;2a b      nên5 ;2a b      .Ta có 2 b (3;6)nên a  2 b ( 2; 4) .

Bài 10. VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

|Fan
Page: Nguyễn Bảo Vương

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/b) Do 3 3 ; 2 2 a b      nên hai vectơ avà bcùng phương.Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A(1; 2), B (3; 2), C(7; 4).a) Tìm toạ độ của các vectơ AB BC,   . So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.b) Ba điềm A B C, , có thẳng hàng hay không?c) Tìm điểm D x y( ; )đề ABCD là một hình thoi. Lời giảia) Ta có AB  (3  1; 2  ( 2))  (2; 4), BC (7  3; 4  2) (4; 2)   .Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là: AB  | AB |  22  42  2 5; BC | BC|  4 2  22  2 5.Do đó các khoảng cách này bằng nhau.b) Hai vectơ AB  (2; 4), BC(4; 2)   không củng phương (vì 2 4 4 2  ). Do đó các điểm A B C, , khôngcùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.c) Các điểm A B C, , không thẳng hàng và BA  BCnên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi AD BC .Do AD  ( x  1; y  2), BC(4; 2)   nên1 4 52 2 0.x x AD BC y y            Vậy điểm cần tìm là D (5; 0).

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm không thẳng hàng: A 1;3 ,  B  2;6 , C 5 ;1.

a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giảia) Điểm I x y( ; )là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA  IB 0   Mặt khác IA  (1  x;3  y), IB  ( 2  x; 6  y), IA  IB   ( 1 2 ;9x  2 y)     .Do đó, (*) tương đương với 11 2 09 2 0 92xxyy         . Vậy I1 9;2 2    .

b) Điểm G x y( ; ) là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC0 ** 

   Mặt khác(1 ;3 ), ( 2 ;6 ), (5 ;1 )(4 3 ;10 3 ).GA x y GB x y GC x y
GA GB GC x y                 

Do đó,  ** tương đương với

44 3 010 3 0 103xxyy           .Chú ý

Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là ;2 2 x A  x
B y A y
B  .Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là ;3 3 x A  x
B  x
C y A  y
B y
C  .

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/ a) Tìm tọa độ của vectơ d  2 a  3 b  5 c.     b) Tìm 2 số m, n sao cho ma  b  n c  0.    c) Biểu diễn vectơ ctheo a,b. 

####### DẠNG 3. TỌA ĐỘ ĐIỂM

Câu 10. Cho hai điểm A  3;  5 , B 1; 0 .

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho: OC   3 AB   .b) Tìm điểm D đối xứng với A qua C.c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k   3.

Câu 11. Cho ba điểm A  1;1 , B  1;3, C  2;0 .

a) Chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng.b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB.

Câu 12. Cho ba điểm A  1;  2 , B  0; 4, C  3; 2.

a) Tìm tọa độ các vectơ AB  , AC  , BC  .b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.c) Tìm tọa độ điểm M sao cho CM  2 AB  3 AC    .d) Tìm tọa độ điểm N sao cho AN  2 BN  4 CN 0     .

Câu 13. Cho ba điểm A  1;  2 , B  2;3, C  1;  2 .

a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua C.b) Tìm tọa độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A B C, ,.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .

Câu 14. Cho ba điểm A  1;1 , B  2;1, C  1;  3 .

a) CMR: Tồn tại tam giác ABC.b) Tính chu vi tam giác.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.e) Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều A B,.f) Tìm điểm N thuộc trục Oy sao cho N cách đều B C,.

Câu 15. Cho tam giác ABC có A  4;1, B  2; 4, C  2;  2 .

a) Tính chu vi tam giác.b) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.c) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Xác định tọa độ trực tâm H của tam giác.e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Câu 16. Cho A  1;3, B  2;5và C  4;  1 .

a) Tìm chu vi của tam giác ABC.b) Tìm tọa độ trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.e) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác.

Trang 5

f) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1. TRỤC TỌA ĐỘ

Câu 1. Trên trục x Ox" cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm thỏa mãn MA  k MB k,  1

 

.

Khi đó tọa độ của điểm M là:

A.

1

ka b

k

B.

1

kb a

k

C.

1

a kb

k

D.

1

kb a

k

Câu 2. Trên trục  O i;

cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB  5, AC 7 thì CB bằng:

A.  2 B. 2 C. 4 D. 3

Câu 3. Tên trục  O i;

cho hai điểm A, B lần lượt có tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn

2 MA  3 M B 0

  

là:

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

Câu 4. Trên trục x Ox" cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3;5; 7;9. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. AB  2 B. AC   10 C. CD   16 D. AB  AC  8

Câu 5. Trên trục x Ox" có vectơ đơn vị i

. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. x
A là tọa độ điểm A  OA x A

 

B. x B ,x
C là tọa độ của điểm B và C thì BC  x
B x
C

C. AC  CB AB

D. M là trung điểm của AB

2

OA OB

OM

 

Câu 6. Trên trục x Ox" , cho tọa độ của A, B lần lượt là 2;3. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn:

OM 2  MA MB. là:

A. 6 B. 6 C.  6 D. 4

Câu 7. Trên trục x Ox" cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A "đối xứng với A

qua B là:

A. b  a B.

2

a  b

C. 2 a  b D. 2 b a

Câu 8. Trên trục  O i;

tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA  2 MC 0

  

, với A, C có tọa độ tương ứng là

 1 và 3

A.

5

3

x  B.

2

3

x  C.

2

5

x  D.

5

2

x 

Câu 9. Trên trục  O i;

cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ lần

lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề:

I. e  f  g  h  a  b  c d

II. EG  EF EH

  

III. AE  CF 0

  

Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng?

Trang 7A.1 ;.2u    B.1 ;5.2u     

C. u   1;10 .

D. u   1; 10 .

Câu 20. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm M  1;1, N  4;  1 . Tính độ dài véctơ MN

 .A. MN  13. B. MN  5. C. MN  29. D. MN  3.

Câu 21. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2;  1 , B 4;3. Tọa độ của véctơ AB

 bằng

A. AB   8;  3 



. B. AB    2;  4 



. C. AB  2; 4



. D. AB  6; 2

 .Câu 22. Trong hệ trục toạ độ Oxy , toạ độ của vectơ a  8 j  3 i  bằng

A. a   3;8

. B. a   3;  8 

. C. a  8;3

. D. a   8;  3 

 .

Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B  1;3 và C  3;1. Độ dài vectơ BC

 bằng
A. 6. B. 2 5. C. 2. D. 5.

Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A  1;3và B  0;6. Khẳng định nào sau đây

đúng?

A. AB   5;  3 



. B. AB   1;  3 



. C. AB   3;  5 



. D. AB   1;3

 .Câu 25. Xác định tọa độ của vectơ c  a  3 b  

biết a   2; 1 ,  b 3; 4

 

A. c  11;11

B. c  11;  13 

C. c  11;13

D. c  7;13

Câu 26. Cho a   2;1 , b   3; 4 , c  7; 2

   . Tìm vectơ x  sao cho x  2 a  b  3 c     .

A. x  28; 2

B. x  13; 5

C. x  16; 4

D. x  28; 0

Câu 27. Vectơ a  5; 0

 biểu diễn dạng a  x i. y j.    được kết quả nào sau đây?
A. a  5 i j  B. a  5 i C. a  i  5 j  D. a   i 5 j  Câu 28. Xác định tọa độ vectơ c  5 a  2 b  

biết a   3; 2 ,  b 1; 4

 

A. c   2;  11 

B. c   2;11

C. c  2;11

D. c  11; 2

Câu 29. Cho a   3; 1 ,  b   0; 4 , c 5;3

   . Tìm vectơ x  sao cho x  a  2 b  3 c 0      .

A.  18; 0  B.  8;18  C.  8;18  D.  8;  18 Câu 30. Cho điểm A  2;3 và vectơ AM  3 i  2 j

   .Vectơ nào trong hình là vectơ AM  ?
A. V 1B. V 2C. V 3D. V 4

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai vectơ và . Khẳng định

nào sau đây là đúng?

A. và cùng hướng. B. và ngược hướng.

C.. D..

Câu 32. Cho    

1

3; 2 , 5; 4 , ;

3

A B C

 

      

 

  

. Tìm x

thỏa mãn AB x AC

 

.

A. x  3 B. x   3 C. x  2 D. x   4

Câu 33. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?

A. a   2;3 ; b   10;  15 

 

B. u   0;5 ; v 0;8

 

C. m   2;1 ;  n  6;3

 

D. c   3; 4 ; d 6;9

 

Câu 34. Cho A  1;1 ,  B  1;3 , C 2; 0 . Tìm x sao cho AB x
BC

 

A.

2

3

x  B.

2

3

x   C.

3

2

x  D.

3

2

x  

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , a (5; 2)

, b  (10;6 2 )x

. Tìm x để a b;

 

cùng phương?

A. 1. B. 1. C. 2. D. 2.

Câu 36. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?

A. a   2;3 , b 6;9

 

B. u   0;5 , v  0;  1 

 

C. m   2;1 ,  b 1; 2

 

D. c   3; 4 , d  6;  8 

 

Câu 37. Cho    

2 2

u  m  3; 2 m , v  5 m 3;m

 

. Vectơ u v

 

khi và chỉ khi m thuộc tập hợp:

A.   2 B.  0; 2 C.  0; 2;3 D.   3

Câu 38. Cho 2 vectơ u   2 m  1  i   3 m j

  

và v  2 i  3 j

  

. Tìm m để hai vectơ cùng phương.

A.

5

11

m  B.

11

5

m  C.

9

8

m  D.

8

9

m 

Câu 39. Trong mặt phẳng Oxy, cho A m 1; 2 ;  B  2;5  2 m  ; C  m 3; 4. Tìm m để A, B, C thẳng hàng.

A. m  3 B. m  2 C. m   2 D. m  1

Câu 40. Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm A  3; 2 ,  B  7;1 , C  0;1 , D 8;  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. AB CD,

 

đối nhau B. AB CD,

 

ngược hướng

C. AB CD,

 

cùng hướng D. A, B, C, D thẳng hàng

Câu 41. Cho a   4;  m  , v   2 m6;1

 

. Tập giá trị của m để hai vectơ a

và b

cùng phương là:

A.  1;1  B.  1; 2  C.  2;  1  D.  2;1

Câu 42. Cho 4 điểm A  1; 2 ,  B  0;3 , C 3; 4 ,  D  1;8 . Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng

hàng?

A. A, B, C B. B, C, D C. A, B, D D. A, C, D

Câu 43. Cho 2 vectơ a

và b

không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

 O i j; , 

 

a  2 i j

  

b   4; 2

a

b

a

b

a   1; 2

a  2;1

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

####### DẠNG 3. TỌA ĐỘ ĐIỂM

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M  x y; . Tìm tọa độ của điểm M 1 đối xứng với M qua

trục hoành?

A. M 1  x y; . B. M 1  x;  y. C. M 1   x y; . D. M 1   x;  y.Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC biết A  2;  3 , B  4;7 , C 1;5. Tọa độ trọng tâm G của

 ABC là

A.  7;15. B.

7 ;3   

. C.  7;9. D.

7 ;3   .

Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  2; 3 ,  B 4;7. Tìm tọa độ trung điểm I của AB.A.  3; 2. B.  2;10 . C.  6; 4. D.  8;  21 .Câu 57. Cho ABC có A  4;9, B  3;7, C  x  1;y. Để G  x y;  6 là trọng tâm ABC thì giá trị x và

y là
A. x  3, y 1. B. x  3, y  1. C. x  3, y 1. D. x  3, y  1.

Câu 58. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2; 3 ;  B 4;7. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.A. I  6; 4 B. I  2;10 C. I  3; 2 D. I  8;  21 Câu 59. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2;1, B  1;  2 , C  3; 2 . Tọa độ trọng

tâm G của tam giác ABC là
A. 2 1 ; 3 3G    . B.2 2;3 3G    . C.1 1;3 3G    . D.2 1;3 3G   .

Xem thêm: 10 de thi toán lớp 5 học kì 2, 100 đề thi toán lớp 5 năm 2024 (có đáp án)

Câu 60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh A  1; 2 , B  2;0, C  3;1 .

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là
A. 2 ; 3G    . B.2; 13G   . C.4 ;3G    . D.4; 13G    .

Câu 61. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A  4;1 ;  B  2; 4 ; C 2;  2 . Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm

 ABD

A. D  8;11 B. D 12;11  C. D  8;  11  D. D  8;  11 Câu 62. Trong hệ tọa độ Oxy, cho  ABC có A  3;5, B  1; 2 , C  5; 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam

giác.

A. G  3; 4  B. G  4; 0 C. G  2;3 D. G 3;3Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A 3;-5 ,B -3;3 ,C -1;-2 ,D 5;-10       . Hỏi

1 ;-3G   là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?
A. ABC. B. BCD. C. ACD. D. ABD.

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D  3;4 , E  6;1 , F  7;3 lần lượt là trung

điểm các cạnh AB BC CA, , .Tính tổng tung độ ba đỉnh của tam giác ABC.

Trang 11

A.

16

3

. B.

8

3

. C. 8. D. 16.

Câu 65. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho  ABC có M  2;3 , N  0; 4 , P  1; 6 lần lượt là trung điểm của

các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A.

A. A  1;5 B. A  3;7  C. A  2;  7  D. A  1;  10 

Câu 66. Cho tam giác ABC. Biết trung điểm của các cạnh BC , CA , AB có tọa độ lần lượt là M  1;  1 ,

N  3; 2, P  0;  5 . Khi đó tọa độ của điểm A là:

A.  2;  2 . B.  5;1. C.  5;0. D.  2; 2 .

Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho MNP có M 1; 1 ;  N 5;  3 và P thuộc trục Oy. Trọng tâm

G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là:

A. P  0; 4 B. P  2; 0 C. P  2; 4 D. P 0; 2

Câu 68. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M  3;  4 . Gọi M 1 ,M 2 làn lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox,

Oy. Khẳng định nào đúng?

A. OM 1   3 B. OM 2  4

C. OM 1  OM 2   3; 4

 

D. OM 1  OM 2   3;  4 

 

Câu 69. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M  2; 0 ; N  2; 2 ; P  1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB

của  ABCọa độ điểm B là:

A. B  1;1 B. B  1;  1  C. B  1;1  D. B  1;  1 

Câu 70. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M 1;  1 , N  5;  3 và P là điểm thuộc trục

Oy , trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox. Tọa độ điểm P là

A.  2; 4. B.  0; 4. C.  0; 2. D.  2; 0 .

Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  1 1 ;  ,B 1 3 ;  ,C  5 2; . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD

là hình bình hành.

A.  3 0; . B.  5 0; . C.  7 0; . D.  5 ;  2 .

Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A  2;3 ,  B  0; 4 , C 5;  4 . Tọa độ

đỉnh D là

A.  3; 2 . B.  3;7 . C.  7; 2. D.  3;  5 .

Câu 73. Trong mặt phẳng Oxy ;cho hai điểm A  1;4 , B  4;2 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua

hai điểm A B, với trục hoành là

A.  9; 0 . B.  0;9. C.  9;0. D.  0;  9 .

Câu 74. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;1 ,  B  2; 4. Tìm tọa độ điểm M để tứ giác

OBMA là một hình bình hành.

A. M ( 3; 3). B. M (3; 3). C. M (3;3). D. M ( 3;3).

Câu 75. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A  2;1 ; B  0; 3 ;  C 3;1. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình

bình hành.

Trang 13

Câu 86. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A  2;5 ; B  1;1 ; C  3;3. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng tọa độ

thỏa mãn AE  3 AB  2 AC    ?

A. E  3;  3  B. E  3;3  C. E  3;  3  D. E  2;  3 Câu 87. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A  2;1 ; B  6;  1 . Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng.A. M  2; 0 B. M  8; 0 C. M  4; 0  D. M 4; 0Câu 88. Trong hệ tọa độ Oxy, cho  ABC có A  3; 4 , B  2;1 , C  1;  2 . Tìm điểm M có tung độ dương

trên đường thẳng BC sao cho S ABC  3 SABM.

A. M  2; 2 B. M  3; 2 C. M  3; 2  D. M 3;3Câu 89. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A  1; 1 ,  B  0;1 , C 3;0. Xác định tọa độ giao điểm I của AD

và BG với D thuộc BC và 2 BD  5 DC, G là trọng tâm ABCA. 5 ; 9I   B.1;9I   C.35; 29I   D.35 ;9I   

Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh A  1; 2 , B  2;0, C  3;1 .

Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC là
A. 11 13 ;14 14I   . B.11 13;14 14I    . C.11 13;14 14I    . D.11 13;14 14I     .

Câu 91. Tam giác ABC có đỉnh A  1; 2 , trực tâm H  3;0, trung điểm của BC là M  6;1. Bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
IEI1i
RUb
T3nw
Jf
A?view_as=subscriberTải nhiều tài liệu hơn tại: nbv.edu/

####### 1. TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ

Với mỗi véc tơ u 

trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số  x 0 ;y 0 sao cho u  x i 0 y j.

   Ta nói véc tơ u  có

tọa độ  x 0 ;y 0 và viết u  x 0 ;y 0 

hay u  x 0 ;y 0 

 . Các số x 0 ,y 0 tương ứng được gọi là hoành độ, tung độcủa u.

Nhận xét. Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ    

"; "; ""x xu x y v x yy y     Ví dụ 1. Tìm toạ độ của các vecto đơn vị i ,j tương ứng của các trục Ox Oy,.Lời giải
Vì i  1 i  0 j  nên icó toạ độ là (1; 0).Vì j  0 i  1 j  nên jcó toạ độ là (0;1).

####### 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ

Cho a   x; y ,b   x"; y" ; k R,

 

+) a  b   x  x"; y y"

 

+) k .a  kx; ky

Nhận xét: bcùng phương với a  0  k  R : x" kxvàx" y"y" kyx y   (nếu x  0 , y 0 ).

Nếu điểm M có tọa độ  x y;  thì véc tơ OM



có tọa độ  x y; và độ dài OM  x 2 y 2



Với hai điểm M  x y;  và N  x "; y " thì MN   x "  x y; "y

 và khoảng cách giữa hai điểm M N, là

   

2 2MN  MN  x "  x  y "yVí dụ 2. Cho3(1; 2), ;2a b      .a) Tìm toạ độ của a  b a,  2 b   .b) Hỏi avà bcó cùng phương hay không?
Lời giảia) Vì3(1; 2), ;2a b      nên5 ;2a b      .Ta có 2 b (3;6)nên a  2 b ( 2; 4) .

Bài 10. VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

|Fan
Page: Nguyễn Bảo VươngTrang 3PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN

####### DẠNG 1. TRỤC TỌA ĐỘ

Câu 1. Trên trục x" Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5. a) Tìm tọa độ của AB  . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA  5 MB  0.    d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA  3 NB  1. Lời giảia) Tọa độ của AB :Ta có: x
A   2 ; x
B  5  AB  x
B  x
A  7  AB  7 i ( ilà vectơ đơn vị)b) Vì I là trung điểm của đoạn AB nên tọa độ của I là :2 5 3 32 2 2x I x
I    

c) M  m là điểm xác định bởi hệ thức: 2 MA  5 MB  0  MA 2 5, BM

    

 MA  2 5, .BM .i   2  m  2 5,  m  5  3 5, m  10 5,  m  3  xm 3

  

d) N  n là điểm xác định bởi hệ thức: 2 NA  3 NB    1 5 NA  3 NA  3 NB  1

22 22 125 3 1 5 1 3 7 22 25 5 5 NA  AB    NA   .    NA      n    N .Câu 2. Trên trục x" Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1.a) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 3 MA  2 MB  1.Tìm tọa độ điểm N sao cho NA  3 NB AB.Lời giải

Trên trục x" Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1  A  3 ;  B   1  AB 4

a) Tọa độ điểm M sao cho 3 MA  2 MB  1  MA  2  MA  MB 1

 MA  1  2 AB  9   3  m  9  m   12  M   12 

b) Tọa độ điểm N sao cho NA  3 NB  AB  NA  NB  4 NB 4

 4 NB  4  AB  8  NB  2  1  n  2  n   1  N   1 Câu 3. Trên trục x" Ox cho 4 điểm A   2  ,B  2  ,C   1 ,D  6 .

a) Chứng minh rằng 1 1 2 .AC AD AB b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh rằng 2IC IA.Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh rằng AC AB.Lời giải

Trên trục x" Ox cho 4 điểm A   2 ; AD  6  ,B  2  ,C   1 ,D  6  AC  3 ; AB 4

a) Ta có 1 1 1 1 1 2AC AD 3 6 2 AB    

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

b) I i  là trung điểm của

2 2

0 2; 1; 4

2

AB i IA IC ID

 

      

2 2

 IC ID.  1  2 IA

c) I  j là trung điểm của

1 4 5 9

AJ

2 2 2

CD j

    

Ta có:

. 3 18

9. .

. 4. 18

2

AC AD

AC AD AB AJ

AB AJ

  

 

 

  

Câu 4. Trên trục x" Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA  MB  MC  0.

   

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA  3 NB NC.

  

Lời giải

Trên trục x" Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a) Tọa độ trung điểm I i  cảu AB:

2

a b

i

b) Tọa độ điểm M  m  thỏa mãn:

MA  MB  MC  0  MA  BC  a  m  c  b  m  a  b c

     

c) Tọa độ điểm N  n thỏa mãn: 2 NA  3 NB  NC   2 NA  2 NB    NB  NC  2 NC

       

2 3 3

2 2

2 2 2 2

BA BC c b b a

BA BC NC NC n c a b n a

 

             

 

   

Câu 5. Trên trục x" Ox cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý.

a) Chứng minh rằng: AB  AC  DA  0.

b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng các đoạn IJ

và KL có chung trung điểm.

Lời giải

Gọi a b c d, , , lần lượt là tọa độ các điểm A B C D, , ,.

a) Ta có: AB CD.  AC DB. AD BC.

        

      0

b a d c c a b d d a c b

bd bc ad ac bc cd ab ad dc bd ac ab

        

            

b) I i  , J  j K  k  ,L l  lần lượt là trung điểm của các đoạn AC BD AB CD, , ,

; j ; k ;l

2 2 2 2

a c b d a b c d

i

   

    

Khi đó, trung điểm của IJ có tọa độ là:

1

2 2 2

 a  c b d

  

 

Trung điểm của KL có tọa độ là:

1

2 2 2

 a  b c d

  

 

Vậy hai trung điểm có cùng tọa độ bằng  

1

4

a  b  c  d nên chúng trùng nhau.

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

c) Giả sử: c  xa  yb  x y; R

   ta có:

4 .2  1 

816 .0. 2x yxx y y           Vậy c  8 a  12 b  

####### DẠNG 3. TỌA ĐỘ ĐIỂM

Câu 10. Cho hai điểm A  3;  5 , B 1;0 .

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho: OC   3 AB   .b) Tìm điểm D đối xứng với A qua C.c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k   3. Lời giải.

a) Gọi C x C ;y
C .

Theo bài OC   3 AB  

  x
C ; y
C   3  2;5    6;  15  C 6;  15 

b) D đối xứng với A qua C hay C là trung điểm của AD 2 2A DCA DCx xxy yy    

   

2 2 3 12 2 2 15 5 25D C AD C Ax x xy y y              

 D  12;  25 .

c) M chia đoạn AB theo tỉ số k   3 3 3 3 31 3 4 23 5 3 51 3 4 4A BMA BMx xxy yy              3 5;2 4M     .

Câu 11. Cho ba điểm A  1;1 , B  1;3, C  2;0 .

a) Chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng.b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB. Lời giải:a) Từ tọa độ các điểm ta có:

  

2; 2 3; 3ABBC    3.2 BC   AB nên 3 điểm A, B và C thẳng hàng.b) Ta có:+

  

2; 2 1; 1ABAC      AB  2. AC A chia đoạn BC theo tỉ số k   2.+

  

2; 2 3; 3BAAC      2.3 BA  BC B chia đoạn AC theo tỉ số23k .+

  

1; 3;CACB  1.3 CA  CB C chia đoạn AB theo tỉ số13k .

Câu 12. Cho ba điểm A  1;  2 , B  0; 4, C  3; 2.

a) Tìm tọa độ các vectơ AB  , AC  , BC  .b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Trang 7c) Tìm tọa độ điểm M sao cho CM  2 AB  3 AC  .d) Tìm tọa độ điểm N sao cho AN  2 BN  4 CN 0   .Lời giải:

a) AB   1; 6



, AC  2; 4



, BC   3;  2 

 .b) I là trung điểm của AB12 212A BIA BIx xxy yy      1;2I    .

c) Ta có: CM   x
M  3; y
M 2 



, 2 AB  3 AC 2   1; 6 3 2; 4 

 

  8;0

 CM  2 AB  3 AC    3 2 0MMxy      52MMxy    

 M 5; 2 .

d) AN  2 BN  4 CN 0    

  x
N  1; y
N  2   2  x
N ; y
N  4   4  x
N  3; y
N 2   0;0   x
N  11;  y
N 2    0;0

11 2NNxy   

 N 11; 2.Câu 13. Cho ba điểm A  1;  2 , B  2;3, C  1;  2 .

a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua C.b) Tìm tọa độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A B C, ,.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giảia) D đối xứng với A qua C hay C là trung điểm của AD 2 3 2 2D C AD C Ax x xy y y         

 D 3;  2 .

b) ABCE là hình bình hành  AE BC  

  x
E 1; y
E 2    3;  5 

1 3 2 5EExy       27EExy     

 E 2;  7 .

c) G là trọng tâm tam giác ABC 23 313 3A B CGA B CGx x xxy y yy         2 1;3 3G     .

Câu 14. Cho ba điểm A  1;1 , B  2;1, C  1;  3 .

a) CMR: Tồn tại tam giác ABC.b) Tính chu vi tam giác.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.e) Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều A B,.f) Tìm điểm N thuộc trục Oy sao cho N cách đều B C,. Lời giải.a) Ta có phương trình đường thẳng AB : y  ax b

+) Trên mặt phẳng, hệ trục gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau tại O được gọi là hệ trục tọa độ.

Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.

+) Vecto đơn vị là vecto hướng là chiều dương, có độ dài bằng 1.

Quy ước: vecto đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vecto đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.

 

*

+) Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(({x_0};{y_0})\) sao cho \(\overrightarrow u = {x_0}.\overrightarrow i + {y_0}.\overrightarrow j \)

Ta nói vecto \(\overrightarrow u \) có tọa độ \(({x_0};{y_0})\) và viết \(\overrightarrow u = ({x_0};{y_0})\) hoặc \(\overrightarrow u ({x_0};{y_0})\).

Các số \({x_0},{y_0}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).

+) Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ

\(\overrightarrow u (x;y) = \overrightarrow v (x";y") \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x"\\y = y"\end{array} \right.\)

 

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO

+) Cho hai vecto \(\overrightarrow u = (x;y)\) và \(\overrightarrow v = (x";y")\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u + \overrightarrow v = (x + x";y + y")\\\overrightarrow u - \overrightarrow v = (x - x";y - y")\\k\overrightarrow u = (kx;ky)\quad (k \in \mathbb{R})\end{array}\)

+) Vecto \(\overrightarrow v \;(x";y")\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow u \;(x;y) \ne \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \exists \;k \in \mathbb{R}:x" = kx,\;y" = ky\) hay \(\frac{{x"}}{x} = \frac{{y"}}{y}\) nếu \(xy \ne 0.\)

+) Điểm M có tọa độ \((x;y)\) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ \((x;y)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

+) Với hai điểm \(M(x;y)\) và \(N(x";y")\) thì \(\overrightarrow {MN} = (x" - x;y" - y)\)

Khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{(x" - x)}^2} + {{(y" - y)}^2}} \)

+) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)

+) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)