####### 1. TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ
Với mỗi véc tơ u
trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số x 0 ;y 0 sao cho u x i 0 y j.Bạn đang xem: Toán 10 vecto trong mặt phẳng tọa độ
Ta nói véc tơ u có
tọa độ x 0 ;y 0 và viết u x 0 ;y 0
hay u x 0 ;y 0 . Các số x 0 ,y 0 tương ứng được gọi là hoành độ, tung độcủa u.
Nhận xét. Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ "; "; ""x xu x y v x yy y Ví dụ 1. Tìm toạ độ của các vecto đơn vị i ,j tương ứng của các trục Ox Oy,.Lời giải
Vì i 1 i 0 j nên icó toạ độ là (1; 0).Vì j 0 i 1 j nên jcó toạ độ là (0;1).
####### 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ
Cho a x; y ,b x"; y" ; k R,
+) a b x x"; y y"
+) k .a kx; kyNhận xét: bcùng phương với a 0 k R : x" kxvàx" y"y" kyx y (nếu x 0 , y 0 ).
Nếu điểm M có tọa độ x y; thì véc tơ OM
có tọa độ x y; và độ dài OM x 2 y 2
Với hai điểm M x y; và N x "; y " thì MN x " x y; "y và khoảng cách giữa hai điểm M N, là
2 2MN MN x " x y "yVí dụ 2. Cho3(1; 2), ;2a b .a) Tìm toạ độ của a b a, 2 b .b) Hỏi avà bcó cùng phương hay không?
Lời giảia) Vì3(1; 2), ;2a b nên5 ;2a b .Ta có 2 b (3;6)nên a 2 b ( 2; 4) .
Bài 10. VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/b) Do 3 3 ; 2 2 a b nên hai vectơ avà bcùng phương.Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A(1; 2), B (3; 2), C(7; 4).a) Tìm toạ độ của các vectơ AB BC, . So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.b) Ba điềm A B C, , có thẳng hàng hay không?c) Tìm điểm D x y( ; )đề ABCD là một hình thoi. Lời giảia) Ta có AB (3 1; 2 ( 2)) (2; 4), BC (7 3; 4 2) (4; 2) .Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là: AB | AB | 22 42 2 5; BC | BC| 4 2 22 2 5.Do đó các khoảng cách này bằng nhau.b) Hai vectơ AB (2; 4), BC(4; 2) không củng phương (vì 2 4 4 2 ). Do đó các điểm A B C, , khôngcùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.c) Các điểm A B C, , không thẳng hàng và BA BCnên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi AD BC .Do AD ( x 1; y 2), BC(4; 2) nên1 4 52 2 0.x x AD BC y y Vậy điểm cần tìm là D (5; 0).
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm không thẳng hàng: A 1;3 , B 2;6 , C 5 ;1.a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giảia) Điểm I x y( ; )là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0 Mặt khác IA (1 x;3 y), IB ( 2 x; 6 y), IA IB ( 1 2 ;9x 2 y) .Do đó, (*) tương đương với 11 2 09 2 0 92xxyy . Vậy I1 9;2 2 .
b) Điểm G x y( ; ) là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC0 ** Mặt khác(1 ;3 ), ( 2 ;6 ), (5 ;1 )(4 3 ;10 3 ).GA x y GB x y GC x y
GA GB GC x y
44 3 010 3 0 103xxyy .Chú ý
Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là ;2 2 x A xB y A y
B .Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là ;3 3 x A x
B x
C y A y
B y
C .
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ a) Tìm tọa độ của vectơ d 2 a 3 b 5 c. b) Tìm 2 số m, n sao cho ma b n c 0. c) Biểu diễn vectơ ctheo a,b.
####### DẠNG 3. TỌA ĐỘ ĐIỂM
Câu 10. Cho hai điểm A 3; 5 , B 1; 0 .a) Tìm tọa độ điểm C sao cho: OC 3 AB .b) Tìm điểm D đối xứng với A qua C.c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 3.
Câu 11. Cho ba điểm A 1;1 , B 1;3, C 2;0 .a) Chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng.b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB.
Câu 12. Cho ba điểm A 1; 2 , B 0; 4, C 3; 2.a) Tìm tọa độ các vectơ AB , AC , BC .b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.c) Tìm tọa độ điểm M sao cho CM 2 AB 3 AC .d) Tìm tọa độ điểm N sao cho AN 2 BN 4 CN 0 .
Câu 13. Cho ba điểm A 1; 2 , B 2;3, C 1; 2 .a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua C.b) Tìm tọa độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A B C, ,.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
Câu 14. Cho ba điểm A 1;1 , B 2;1, C 1; 3 .a) CMR: Tồn tại tam giác ABC.b) Tính chu vi tam giác.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.e) Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều A B,.f) Tìm điểm N thuộc trục Oy sao cho N cách đều B C,.
Câu 15. Cho tam giác ABC có A 4;1, B 2; 4, C 2; 2 .a) Tính chu vi tam giác.b) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.c) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Xác định tọa độ trực tâm H của tam giác.e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Câu 16. Cho A 1;3, B 2;5và C 4; 1 .a) Tìm chu vi của tam giác ABC.b) Tìm tọa độ trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.e) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác.
Trang 5f) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. TRỤC TỌA ĐỘ
Câu 1. Trên trục x Ox" cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm thỏa mãn MA k MB k, 1
.
Khi đó tọa độ của điểm M là:
A.
1
ka b
k
B.
1
kb a
k
C.
1
a kb
k
D.
1
kb a
k
Câu 2. Trên trục O i;
cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB 5, AC 7 thì CB bằng:
A. 2 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 3. Tên trục O i;
cho hai điểm A, B lần lượt có tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn
2 MA 3 M B 0
là:
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
Câu 4. Trên trục x Ox" cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3;5; 7;9. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. AB 2 B. AC 10 C. CD 16 D. AB AC 8
Câu 5. Trên trục x Ox" có vectơ đơn vị i
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. x
A là tọa độ điểm A OA x A
B. x B ,x
C là tọa độ của điểm B và C thì BC x
B x
C
C. AC CB AB
D. M là trung điểm của AB
2
OA OB
OM
Câu 6. Trên trục x Ox" , cho tọa độ của A, B lần lượt là 2;3. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn:
OM 2 MA MB. là:
A. 6 B. 6 C. 6 D. 4
Câu 7. Trên trục x Ox" cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A "đối xứng với A
qua B là:
A. b a B.
2
a b
C. 2 a b D. 2 b a
Câu 8. Trên trục O i;
tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA 2 MC 0
, với A, C có tọa độ tương ứng là
1 và 3
A.
5
3
x B.
2
3
x C.
2
5
x D.
5
2
x
Câu 9. Trên trục O i;
cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ lần
lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề:
I. e f g h a b c d
II. EG EF EH
III. AE CF 0
Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng?
Trang 7A.1 ;.2u B.1 ;5.2u C. u 1;10 .
D. u 1; 10 .
Câu 20. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm M 1;1, N 4; 1 . Tính độ dài véctơ MN .A. MN 13. B. MN 5. C. MN 29. D. MN 3.
Câu 21. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; 1 , B 4;3. Tọa độ của véctơ AB bằng
A. AB 8; 3
. B. AB 2; 4
. C. AB 2; 4
. D. AB 6; 2 .Câu 22. Trong hệ trục toạ độ Oxy , toạ độ của vectơ a 8 j 3 i bằng
A. a 3;8
. B. a 3; 8
. C. a 8;3
. D. a 8; 3 .
Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B 1;3 và C 3;1. Độ dài vectơ BC bằng
A. 6. B. 2 5. C. 2. D. 5.
đúng?
A. AB 5; 3
. B. AB 1; 3
. C. AB 3; 5
. D. AB 1;3 .Câu 25. Xác định tọa độ của vectơ c a 3 b
biết a 2; 1 , b 3; 4
A. c 11;11
B. c 11; 13
C. c 11;13
D. c 7;13
Câu 26. Cho a 2;1 , b 3; 4 , c 7; 2 . Tìm vectơ x sao cho x 2 a b 3 c .
A. x 28; 2
B. x 13; 5
C. x 16; 4
D. x 28; 0
Câu 27. Vectơ a 5; 0 biểu diễn dạng a x i. y j. được kết quả nào sau đây?
A. a 5 i j B. a 5 i C. a i 5 j D. a i 5 j Câu 28. Xác định tọa độ vectơ c 5 a 2 b
A. c 2; 11
B. c 2;11
C. c 2;11
D. c 11; 2
Câu 29. Cho a 3; 1 , b 0; 4 , c 5;3 . Tìm vectơ x sao cho x a 2 b 3 c 0 .
A. 18; 0 B. 8;18 C. 8;18 D. 8; 18 Câu 30. Cho điểm A 2;3 và vectơ AM 3 i 2 j .Vectơ nào trong hình là vectơ AM ?
A. V 1B. V 2C. V 3D. V 4
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai vectơ và . Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A. và cùng hướng. B. và ngược hướng.
C.. D..
Câu 32. Cho
1
3; 2 , 5; 4 , ;
3
A B C
. Tìm x
thỏa mãn AB x AC
.
A. x 3 B. x 3 C. x 2 D. x 4
Câu 33. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
A. a 2;3 ; b 10; 15
B. u 0;5 ; v 0;8
C. m 2;1 ; n 6;3
D. c 3; 4 ; d 6;9
Câu 34. Cho A 1;1 , B 1;3 , C 2; 0 . Tìm x sao cho AB x
BC
A.
2
3
x B.
2
3
x C.
3
2
x D.
3
2
x
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , a (5; 2)
, b (10;6 2 )x
. Tìm x để a b;
cùng phương?
A. 1. B. 1. C. 2. D. 2.
Câu 36. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
A. a 2;3 , b 6;9
B. u 0;5 , v 0; 1
C. m 2;1 , b 1; 2
D. c 3; 4 , d 6; 8
Câu 37. Cho
2 2
u m 3; 2 m , v 5 m 3;m
. Vectơ u v
khi và chỉ khi m thuộc tập hợp:
A. 2 B. 0; 2 C. 0; 2;3 D. 3
Câu 38. Cho 2 vectơ u 2 m 1 i 3 m j
và v 2 i 3 j
. Tìm m để hai vectơ cùng phương.
A.
5
11
m B.
11
5
m C.
9
8
m D.
8
9
m
Câu 39. Trong mặt phẳng Oxy, cho A m 1; 2 ; B 2;5 2 m ; C m 3; 4. Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
A. m 3 B. m 2 C. m 2 D. m 1
Câu 40. Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm A 3; 2 , B 7;1 , C 0;1 , D 8; 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB CD,
đối nhau B. AB CD,
ngược hướng
C. AB CD,
cùng hướng D. A, B, C, D thẳng hàng
Câu 41. Cho a 4; m , v 2 m6;1
. Tập giá trị của m để hai vectơ a
và b
cùng phương là:
A. 1;1 B. 1; 2 C. 2; 1 D. 2;1
Câu 42. Cho 4 điểm A 1; 2 , B 0;3 , C 3; 4 , D 1;8 . Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng
hàng?
A. A, B, C B. B, C, D C. A, B, D D. A, C, D
Câu 43. Cho 2 vectơ a
và b
không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
O i j; ,
a 2 i j
b 4; 2
a
b
a
b
a 1; 2
a 2;1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
####### DẠNG 3. TỌA ĐỘ ĐIỂM
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M x y; . Tìm tọa độ của điểm M 1 đối xứng với M quatrục hoành?
A. M 1 x y; . B. M 1 x; y. C. M 1 x y; . D. M 1 x; y.Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC biết A 2; 3 , B 4;7 , C 1;5. Tọa độ trọng tâm G của ABC là
A. 7;15. B.7 ;3
. C. 7;9. D.7 ;3 .
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 2; 3 , B 4;7. Tìm tọa độ trung điểm I của AB.A. 3; 2. B. 2;10 . C. 6; 4. D. 8; 21 .Câu 57. Cho ABC có A 4;9, B 3;7, C x 1;y. Để G x y; 6 là trọng tâm ABC thì giá trị x vày là
A. x 3, y 1. B. x 3, y 1. C. x 3, y 1. D. x 3, y 1.
tâm G của tam giác ABC là
A. 2 1 ; 3 3G . B.2 2;3 3G . C.1 1;3 3G . D.2 1;3 3G .
Xem thêm: 10 de thi toán lớp 5 học kì 2, 100 đề thi toán lớp 5 năm 2024 (có đáp án)
Câu 60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh A 1; 2 , B 2;0, C 3;1 .Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là
A. 2 ; 3G . B.2; 13G . C.4 ;3G . D.4; 13G .
ABD
A. D 8;11 B. D 12;11 C. D 8; 11 D. D 8; 11 Câu 62. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có A 3;5, B 1; 2 , C 5; 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tamgiác.
A. G 3; 4 B. G 4; 0 C. G 2;3 D. G 3;3Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A 3;-5 ,B -3;3 ,C -1;-2 ,D 5;-10 . Hỏi1 ;-3G là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?
A. ABC. B. BCD. C. ACD. D. ABD.
điểm các cạnh AB BC CA, , .Tính tổng tung độ ba đỉnh của tam giác ABC.
Trang 11A.
16
3
. B.
8
3
. C. 8. D. 16.
Câu 65. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có M 2;3 , N 0; 4 , P 1; 6 lần lượt là trung điểm của
các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A.
A. A 1;5 B. A 3;7 C. A 2; 7 D. A 1; 10
Câu 66. Cho tam giác ABC. Biết trung điểm của các cạnh BC , CA , AB có tọa độ lần lượt là M 1; 1 ,
N 3; 2, P 0; 5 . Khi đó tọa độ của điểm A là:
A. 2; 2 . B. 5;1. C. 5;0. D. 2; 2 .
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho MNP có M 1; 1 ; N 5; 3 và P thuộc trục Oy. Trọng tâm
G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là:
A. P 0; 4 B. P 2; 0 C. P 2; 4 D. P 0; 2
Câu 68. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 3; 4 . Gọi M 1 ,M 2 làn lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox,
Oy. Khẳng định nào đúng?
A. OM 1 3 B. OM 2 4
C. OM 1 OM 2 3; 4
D. OM 1 OM 2 3; 4
Câu 69. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M 2; 0 ; N 2; 2 ; P 1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB
của ABCọa độ điểm B là:
A. B 1;1 B. B 1; 1 C. B 1;1 D. B 1; 1
Câu 70. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N 5; 3 và P là điểm thuộc trục
Oy , trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox. Tọa độ điểm P là
A. 2; 4. B. 0; 4. C. 0; 2. D. 2; 0 .
Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 1 1 ; ,B 1 3 ; ,C 5 2; . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD
là hình bình hành.
A. 3 0; . B. 5 0; . C. 7 0; . D. 5 ; 2 .
Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A 2;3 , B 0; 4 , C 5; 4 . Tọa độ
đỉnh D là
A. 3; 2 . B. 3;7 . C. 7; 2. D. 3; 5 .
Câu 73. Trong mặt phẳng Oxy ;cho hai điểm A 1;4 , B 4;2 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua
hai điểm A B, với trục hoành là
A. 9; 0 . B. 0;9. C. 9;0. D. 0; 9 .
Câu 74. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;1 , B 2; 4. Tìm tọa độ điểm M để tứ giác
OBMA là một hình bình hành.
A. M ( 3; 3). B. M (3; 3). C. M (3;3). D. M ( 3;3).
Câu 75. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 2;1 ; B 0; 3 ; C 3;1. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình
bình hành.
Trang 13Câu 86. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 2;5 ; B 1;1 ; C 3;3. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng tọa độthỏa mãn AE 3 AB 2 AC ?
A. E 3; 3 B. E 3;3 C. E 3; 3 D. E 2; 3 Câu 87. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 2;1 ; B 6; 1 . Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng.A. M 2; 0 B. M 8; 0 C. M 4; 0 D. M 4; 0Câu 88. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có A 3; 4 , B 2;1 , C 1; 2 . Tìm điểm M có tung độ dươngtrên đường thẳng BC sao cho S ABC 3 SABM.
A. M 2; 2 B. M 3; 2 C. M 3; 2 D. M 3;3Câu 89. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A 1; 1 , B 0;1 , C 3;0. Xác định tọa độ giao điểm I của ADvà BG với D thuộc BC và 2 BD 5 DC, G là trọng tâm ABCA. 5 ; 9I B.1;9I C.35; 29I D.35 ;9I
Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh A 1; 2 , B 2;0, C 3;1 .Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC là
A. 11 13 ;14 14I . B.11 13;14 14I . C.11 13;14 14I . D.11 13;14 14I .
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
IEI1i
RUb
T3nw
Jf
A?view_as=subscriberTải nhiều tài liệu hơn tại: nbv.edu/
####### 1. TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ
Với mỗi véc tơ u
trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số x 0 ;y 0 sao cho u x i 0 y j. Ta nói véc tơ u có
tọa độ x 0 ;y 0 và viết u x 0 ;y 0
hay u x 0 ;y 0 . Các số x 0 ,y 0 tương ứng được gọi là hoành độ, tung độcủa u.
Nhận xét. Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ "; "; ""x xu x y v x yy y Ví dụ 1. Tìm toạ độ của các vecto đơn vị i ,j tương ứng của các trục Ox Oy,.Lời giải
Vì i 1 i 0 j nên icó toạ độ là (1; 0).Vì j 0 i 1 j nên jcó toạ độ là (0;1).
####### 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ
Cho a x; y ,b x"; y" ; k R,
+) a b x x"; y y"
+) k .a kx; kyNhận xét: bcùng phương với a 0 k R : x" kxvàx" y"y" kyx y (nếu x 0 , y 0 ).
Nếu điểm M có tọa độ x y; thì véc tơ OM
có tọa độ x y; và độ dài OM x 2 y 2
Với hai điểm M x y; và N x "; y " thì MN x " x y; "y và khoảng cách giữa hai điểm M N, là
2 2MN MN x " x y "yVí dụ 2. Cho3(1; 2), ;2a b .a) Tìm toạ độ của a b a, 2 b .b) Hỏi avà bcó cùng phương hay không?
Lời giảia) Vì3(1; 2), ;2a b nên5 ;2a b .Ta có 2 b (3;6)nên a 2 b ( 2; 4) .
Bài 10. VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
|FanPage: Nguyễn Bảo VươngTrang 3PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
####### DẠNG 1. TRỤC TỌA ĐỘ
Câu 1. Trên trục x" Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5. a) Tìm tọa độ của AB . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA 5 MB 0. d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA 3 NB 1. Lời giảia) Tọa độ của AB :Ta có: x
A 2 ; x
B 5 AB x
B x
A 7 AB 7 i ( ilà vectơ đơn vị)b) Vì I là trung điểm của đoạn AB nên tọa độ của I là :2 5 3 32 2 2x I x
I
MA 2 5, .BM .i 2 m 2 5, m 5 3 5, m 10 5, m 3 xm 3
d) N n là điểm xác định bởi hệ thức: 2 NA 3 NB 1 5 NA 3 NA 3 NB 122 22 125 3 1 5 1 3 7 22 25 5 5 NA AB NA . NA n N .Câu 2. Trên trục x" Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1.a) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 3 MA 2 MB 1.Tìm tọa độ điểm N sao cho NA 3 NB AB.Lời giải
Trên trục x" Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1 A 3 ; B 1 AB 4a) Tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB 1 MA 2 MA MB 1
MA 1 2 AB 9 3 m 9 m 12 M 12 b) Tọa độ điểm N sao cho NA 3 NB AB NA NB 4 NB 4
4 NB 4 AB 8 NB 2 1 n 2 n 1 N 1 Câu 3. Trên trục x" Ox cho 4 điểm A 2 ,B 2 ,C 1 ,D 6 .a) Chứng minh rằng 1 1 2 .AC AD AB b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh rằng 2IC IA.Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh rằng AC AB.Lời giải
Trên trục x" Ox cho 4 điểm A 2 ; AD 6 ,B 2 ,C 1 ,D 6 AC 3 ; AB 4
a) Ta có 1 1 1 1 1 2AC AD 3 6 2 AB
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
b) I i là trung điểm của
2 2
0 2; 1; 4
2
AB i IA IC ID
2 2
IC ID. 1 2 IA
c) I j là trung điểm của
1 4 5 9
AJ
2 2 2
CD j
Ta có:
. 3 18
9. .
. 4. 18
2
AC AD
AC AD AB AJ
AB AJ
Câu 4. Trên trục x" Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC 0.
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA 3 NB NC.
Lời giải
Trên trục x" Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c
a) Tọa độ trung điểm I i cảu AB:
2
a b
i
b) Tọa độ điểm M m thỏa mãn:
MA MB MC 0 MA BC a m c b m a b c
c) Tọa độ điểm N n thỏa mãn: 2 NA 3 NB NC 2 NA 2 NB NB NC 2 NC
2 3 3
2 2
2 2 2 2
BA BC c b b a
BA BC NC NC n c a b n a
Câu 5. Trên trục x" Ox cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý.
a) Chứng minh rằng: AB AC DA 0.
b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng các đoạn IJ
và KL có chung trung điểm.
Lời giải
Gọi a b c d, , , lần lượt là tọa độ các điểm A B C D, , ,.
a) Ta có: AB CD. AC DB. AD BC.
0
b a d c c a b d d a c b
bd bc ad ac bc cd ab ad dc bd ac ab
b) I i , J j K k ,L l lần lượt là trung điểm của các đoạn AC BD AB CD, , ,
; j ; k ;l
2 2 2 2
a c b d a b c d
i
Khi đó, trung điểm của IJ có tọa độ là:
1
2 2 2
a c b d
Trung điểm của KL có tọa độ là:
1
2 2 2
a b c d
Vậy hai trung điểm có cùng tọa độ bằng
1
4
a b c d nên chúng trùng nhau.
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
c) Giả sử: c xa yb x y; R ta có:
4 .2 1 816 .0. 2x yxx y y Vậy c 8 a 12 b
####### DẠNG 3. TỌA ĐỘ ĐIỂM
Câu 10. Cho hai điểm A 3; 5 , B 1;0 .a) Tìm tọa độ điểm C sao cho: OC 3 AB .b) Tìm điểm D đối xứng với A qua C.c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 3. Lời giải.
a) Gọi C x C ;yC .
Theo bài OC 3 AB
xC ; y
C 3 2;5 6; 15 C 6; 15
b) D đối xứng với A qua C hay C là trung điểm của AD 2 2A DCA DCx xxy yy
2 2 3 12 2 2 15 5 25D C AD C Ax x xy y y
D 12; 25 .c) M chia đoạn AB theo tỉ số k 3 3 3 3 31 3 4 23 5 3 51 3 4 4A BMA BMx xxy yy 3 5;2 4M .
Câu 11. Cho ba điểm A 1;1 , B 1;3, C 2;0 .a) Chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng.b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB. Lời giải:a) Từ tọa độ các điểm ta có:
2; 2 3; 3ABBC 3.2 BC AB nên 3 điểm A, B và C thẳng hàng.b) Ta có:+
2; 2 1; 1ABAC AB 2. AC A chia đoạn BC theo tỉ số k 2.+
2; 2 3; 3BAAC 2.3 BA BC B chia đoạn AC theo tỉ số23k .+
1; 3;CACB 1.3 CA CB C chia đoạn AB theo tỉ số13k .
Câu 12. Cho ba điểm A 1; 2 , B 0; 4, C 3; 2.a) Tìm tọa độ các vectơ AB , AC , BC .b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Trang 7c) Tìm tọa độ điểm M sao cho CM 2 AB 3 AC .d) Tìm tọa độ điểm N sao cho AN 2 BN 4 CN 0 .Lời giải:a) AB 1; 6
, AC 2; 4
, BC 3; 2 .b) I là trung điểm của AB12 212A BIA BIx xxy yy 1;2I .
c) Ta có: CM xM 3; y
M 2
, 2 AB 3 AC 2 1; 6 3 2; 4
8;0 CM 2 AB 3 AC 3 2 0MMxy 52MMxy
M 5; 2 .d) AN 2 BN 4 CN 0
xN 1; y
N 2 2 x
N ; y
N 4 4 x
N 3; y
N 2 0;0 x
N 11; y
N 2 0;0
11 2NNxy
N 11; 2.Câu 13. Cho ba điểm A 1; 2 , B 2;3, C 1; 2 .a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua C.b) Tìm tọa độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A B C, ,.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giảia) D đối xứng với A qua C hay C là trung điểm của AD 2 3 2 2D C AD C Ax x xy y y
D 3; 2 .b) ABCE là hình bình hành AE BC
xE 1; y
E 2 3; 5
1 3 2 5EExy 27EExy
E 2; 7 .c) G là trọng tâm tam giác ABC 23 313 3A B CGA B CGx x xxy y yy 2 1;3 3G .
Câu 14. Cho ba điểm A 1;1 , B 2;1, C 1; 3 .a) CMR: Tồn tại tam giác ABC.b) Tính chu vi tam giác.c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.d) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.e) Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều A B,.f) Tìm điểm N thuộc trục Oy sao cho N cách đều B C,. Lời giải.a) Ta có phương trình đường thẳng AB : y ax b
+) Trên mặt phẳng, hệ trục gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau tại O được gọi là hệ trục tọa độ.
Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.
+) Vecto đơn vị là vecto hướng là chiều dương, có độ dài bằng 1.
Quy ước: vecto đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vecto đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+) Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(({x_0};{y_0})\) sao cho \(\overrightarrow u = {x_0}.\overrightarrow i + {y_0}.\overrightarrow j \)
Ta nói vecto \(\overrightarrow u \) có tọa độ \(({x_0};{y_0})\) và viết \(\overrightarrow u = ({x_0};{y_0})\) hoặc \(\overrightarrow u ({x_0};{y_0})\).
Các số \({x_0},{y_0}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).
+) Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ
\(\overrightarrow u (x;y) = \overrightarrow v (x";y") \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x"\\y = y"\end{array} \right.\)
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO
+) Cho hai vecto \(\overrightarrow u = (x;y)\) và \(\overrightarrow v = (x";y")\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u + \overrightarrow v = (x + x";y + y")\\\overrightarrow u - \overrightarrow v = (x - x";y - y")\\k\overrightarrow u = (kx;ky)\quad (k \in \mathbb{R})\end{array}\)
+) Vecto \(\overrightarrow v \;(x";y")\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow u \;(x;y) \ne \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \exists \;k \in \mathbb{R}:x" = kx,\;y" = ky\) hay \(\frac{{x"}}{x} = \frac{{y"}}{y}\) nếu \(xy \ne 0.\)
+) Điểm M có tọa độ \((x;y)\) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ \((x;y)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
+) Với hai điểm \(M(x;y)\) và \(N(x";y")\) thì \(\overrightarrow {MN} = (x" - x;y" - y)\)
Khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{(x" - x)}^2} + {{(y" - y)}^2}} \)
+) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
+) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)