Lớp 1

Tài liệu Giáo viên

Lớp 2

Lớp 2 - liên kết tri thức

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Lớp 2 - Cánh diều

Tài liệu Giáo viên

Lớp 3

Lớp 3 - kết nối tri thức

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Lớp 3 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Lớp 4

Lớp 4 - kết nối tri thức

Lớp 4 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 4 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Lớp 5

Lớp 5 - kết nối tri thức

Lớp 5 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 5 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 5

Tài liệu Giáo viên

Lớp 6

Lớp 6 - liên kết tri thức

Lớp 6 - Chân trời sáng tạo

Lớp 6 - Cánh diều

Tiếng Anh 6

Tài liệu Giáo viên

Lớp 7

Lớp 7 - liên kết tri thức

Lớp 7 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 7 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 8

Lớp 8 - kết nối tri thức

Lớp 8 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 8 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 9

Lớp 9 - kết nối tri thức

Lớp 9 - Chân trời sáng tạo

Lớp 9 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 10

Lớp 10 - liên kết tri thức

Lớp 10 - Chân trời sáng tạo

Lớp 10 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 11

Lớp 11 - kết nối tri thức

Lớp 11 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 11 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 12

Lớp 12 - liên kết tri thức

Lớp 12 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 12 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

gia sư

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12


Bạn đang xem: Toán 11 5.1

1). Mang lại hàm số xác định trên khoảng chừng

*
với
*
. Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số
*
khi
*
được hotline là đạo hàm của hàm số đã mang lại tại , kí hiệu
*
giỏi
*
. Bởi vậy ta tất cả
*
.

Nhận xét:

Nếu để

*
cùng thì ta có
*
. Trong số ấy được hotline là số gia của biến đổi số trên với gọi là số gia của hàm số ứng cùng với số gia tại .

Nếu hàm số f(x) bao gồm đạo hàm tại điểm thì f(x) liên tiếp tại . Tuy nhiên điều trái lại chưa chắc chắn đúng.

2). Cho đường cong (C), điểm cố định thuộc (C) và

*
. Hotline
*
là thông số góc của cát tuyến
*
. đưa sử tồn tại số lượng giới hạn hữu hạn
*
. Lúc đó đường thẳng
*
qua có hệ số góc
*
được call là tiếp đường của (C) tại . Điểm gọi là tiếp điểm.

3). Đạo hàm của hàm số trên điểm là hệ số góc của tiếp đường của thứ thị hàm số tại đó tại điểm .

Hệ quả:

Nếu hàm số tất cả đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến đường của đồ dùng thị hàm số trên điểm tất cả phương trình:

*
.

4). Khí hiệu D là 1 trong những khoảng tuyệt là hợp của rất nhiều khoảng như thế nào đó. Nếu như hàm số f(x) bao gồm đạo hàm trên tại số đông điểm

*
thì ta nói hàm số gồm đạo hàm trên D. Khi ấy đạo hàm của hàm số f(x) trên điểm x tùy ý của D được kí hiệu hay . Ta nói tốt là đạo hàm của hàm số bên trên tập D.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: search số gia của hàm số.

PHƯƠNG PHÁP

Để tính số gia của hàm số trên điểm khớp ứng với số gia

*
đến trước ta áp dụng công thức: .


Ví dụ 1: tìm số gia của hàm số

*
, biết rằng:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Ta bao gồm

*

b). Ta gồm

*

*


Xem thêm: Giải toán 12 trang 78 sgk giải tích 12, giải bài tập 5 trang 78 sgk giải tích 12 (toán 12

Ví dụ 2: Tính và

*
của những hàm số sau theo x với

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*


LỜI GIẢI

a). Ta bao gồm

*
. Suy ra
*

b). Ta tất cả

*

*
.

Suy ra

*
.

c). Ta có

*

*
.

Suy ra

*
.

d). Ta có

*

*

*

Suy ra

*

*
.

DẠNG 2: tìm kiếm đạo hàm bằng định nghĩa

PHƯƠNG PHÁP

Để tìm đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa ta có thể sử dụng một trong các hai bí quyết sau đây:

Cách 1:

mang đến một số trong những gia

*
. Lập tỉ số
*
.

Tìm giới hạn

Kết luận:

+ trường hợp trường tồn hữu hạn thì trên hàm số có đaọ hàm là:

*

+ ví như không tồn trên hữu hạn thì tại hàm số không tồn tại đạo hàm.

Cách 2:

Tính cực hiếm của .

Kết luận:

+ trường hợp tồn tại hữu hạn bằng L thì tại , ta tất cả

*

+ ví như ko tồn trên hữu hạn thì tại hàm số không có đạo hàm.


Ví dụ : Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của từng hàm số sau tại những điểm đang chỉ ra:

a).

*
trên b). trên

c). tại d). trên


LỜI GIẢI

a). Bí quyết 1: mang đến một trong những gia . Lúc ấy hàm số nhận một số trong những gia tương ứng:

*

Ta có

*
.

Cách 2:

*

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm trên với

*
.

b). tại

Cách 1: cho một trong những gia . Lúc ấy hàm số nhận một số gia tương ứng:

*

*

Ta bao gồm

*
.

Cách 2:

*

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại và

*
.

c). trên

Cách 1: cho một vài gia . Khi ấy hàm số nhận một số gia tương ứng:

*

Ta bao gồm

*
.

Cách 2:

*

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số gồm đạo hàm tại với

*
.

d). trên

Cách 1: đến một số gia . Khi ấy hàm số nhận một số trong những gia tương ứng:

*

Ta bao gồm

*
.

Cách 2:

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số gồm đạo hàm tại và

*
.

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

TÓM TẮT GIÁO KHOA

1). Định lý 1: cho các hàm số bao gồm đạo hàm trên (a;b) thì tổng với hiệu của chúng cũng đều có đạo hàm trên khoảng (a;b) cùng

*
*

Chú ý: Định lý 1 rất có thể mở rộng mang lại tổng giỏi hiệu của hữu hạn các hàm số.

2). Định lý 2: cho các hàm số có đạo hàm bên trên (a;b) thì tích của chúng cũng đều có đạo hàm trên khoảng chừng (a;b) và

*
.

Đặc biệt :

*
( a là hằng số),

Chú ý: Định lý 2 rất có thể mở rộng mang lại tích của hữu hạn các hàm số. Chẳng hạn:

*

3). Định lý 3: cho những hàm số tất cả đạo hàm bên trên (a;b) với

*
trên (a;b) thì yêu đương
*
cũng có thể có đạo hàm trên khoảng (a;b) với

*

Hệ quả:

*

4). đến hai hàm số cùng . Ta call hàm số

*
là hàm số thích hợp của hai hàm số với . Tập xác định của hàm số là tập hợp toàn bộ các giá trị của x tạo nên biểu thức tất cả nghĩa.

5). Định lý 4: ví như hàm số

*
có đạo hàm trên điểm và hàm số tất cả đạo hàm tại điểm
*
thì hàm số phù hợp
*
cũng có đạo hàm tại điểm và
*
tốt
*
.

Hệ quả:

*
cùng
*
*

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM


Giả sử

*
là những hàm số bao gồm đạo hàm, lúc đó:

1). (u + u - w)" = u" + v" - w"; 2). (uv)" = u"v + v"u; 3) (k.u)" = k.u" (

*
)