Giải bài xích 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 79 SGK Toán lớp 11 Chân trời trí tuệ sáng tạo tập 1. Tìm các giới hạn sau. Vào hồ gồm chứa 6000 lít nước ngọt. Fan ta bơm nước biển có nồng độ muối bột là 30 gam/lít vào hồ nước với vận tốc 15 lít/phút.Bạn đang xem: Toán 11 chân trời sáng tạo trang 79
Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm những giới hạn sau:
a) (mathop lim limits_x o - 2 left( x^2 - 7x + 4 ight))
b) (mathop lim limits_x o 3 fracx - 3x^2 - 9)
c) (mathop lim limits_x o 1 frac3 - sqrt x + 8 x - 1)
Phương pháp:
a) Áp dụng định lý số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số.
b) Bước 1: Phân tích tử và mẫu mã thành tích các nhân tử.
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử thông thường của tử và mẫu.
Bước 3: Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.
c) Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với phối hợp của tử.
Bước 2: Phân tích tử và chủng loại thành tích các nhân tử.
Bước 3: Chia cả tử cùng mẫu mang lại nhân tử thông thường của tử với mẫu.
Bước 4: Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.
Lời giải:
a) (mathop lim limits_x o - 2 left( x^2 - 7x + 4 ight) = mathop lim limits_x o - 2 left( x^2 ight) - mathop lim limits_x o - 2 left( 7x ight) + mathop lim limits_x o - 2 4)
( = mathop lim limits_x o - 2 left( x^2 ight) - 7mathop lim limits_x o - 2 x + mathop lim limits_x o - 2 4 = left( - 2 ight)^2 - 7.left( - 2 ight) + 4 = 22)
b) (mathop lim limits_x o 3 fracx - 3x^2 - 9 = mathop lim limits_x o 3 fracx - 3left( x - 3 ight)left( x + 3 ight) = mathop lim limits_x o 3 frac1x + 3 = fracmathop lim limits_x o 3 1mathop lim limits_x o 3 x + mathop lim limits_x o 3 3 = frac13 + 3 = frac16)
c) (mathop lim limits_x o 1 frac3 - sqrt x + 8 x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( 3 - sqrt x + 8 ight)left( 3 + sqrt x + 8 ight)left( x - 1 ight)left( 3 + sqrt x + 8 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac3^2 - left( x + 8 ight)left( x - 1 ight)left( 3 + sqrt x + 8 ight))
( = mathop lim limits_x o 1 frac1 - xleft( x - 1 ight)left( 3 + sqrt x + 8 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac - left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( 3 + sqrt x + 8 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac - 13 + sqrt x + 8 )
( = fracmathop lim limits_x o 1 left( - 1 ight)mathop lim limits_x o 1 3 + mathop lim limits_x o 1 sqrt x + 8 = frac - 13 + sqrt 1 + 8 = - frac16)
Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng sủa tạo
Cho hàm số (fleft( x ight) = left{ {eginarray*20c - x^2&{khi,,x Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm những giới hạn sau:
a) (mathop lim limits_x o + infty frac4x + 32x);
b) (mathop lim limits_x o - infty frac23x + 1);
c) (mathop lim limits_x o + infty fracsqrt x^2 + 1 x + 1).
Phương pháp:
Bước 1: Chia cả tử với mẫu đến lũy vượt bậc tối đa của tử với mẫu.
Bước 2: Tính những giới hạn của tử và mẫu mã rồi áp dụng những quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn.
Lời giải:
a) (mathop lim limits_x o + infty frac4x + 32x = mathop lim limits_x o + infty fracxleft( 4 + frac3x ight)2x = mathop lim limits_x o + infty frac4 + frac3x2 = fracmathop lim limits_x o + infty 4 + mathop lim limits_x o + infty frac3xmathop lim limits_x o + infty 2 = frac4 + 02 = 2)
b) (mathop lim limits_x o - infty frac23x + 1 = mathop lim limits_x o - infty frac2xleft( 3 + frac1x ight) = mathop lim limits_x o - infty frac1x.mathop lim limits_x o - infty frac23 + frac1x = mathop lim limits_x o - infty frac1x.fracmathop lim limits_x o - infty 2mathop lim limits_x o - infty 3 + mathop lim limits_x o - infty frac1x = 0.frac23 + 0 = 0).
c) (mathop lim limits_x o + infty fracsqrt x^2 + 1 x + 1 = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt x^2left( 1 + frac1x^2 ight) xleft( 1 + frac1x ight) = mathop lim limits_x o + infty fracxsqrt 1 + frac1x^2 xleft( 1 + frac1x ight))
( = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 1 + frac1x^2 1 + frac1x = fracmathop lim limits_x o + infty sqrt 1 + frac1x^2 mathop lim limits_x o + infty 1 + mathop lim limits_x o + infty frac1x = fracsqrt 1 + 0 1 + 0 = 1)
Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm những giới hạn sau:
a) (mathop lim limits_x o - 1^ + frac1x + 1);
b) (mathop lim limits_x o - infty left( 1 - x^2 ight));
c) (mathop lim limits_x o 3^ - fracx3 - x).
Phương pháp:
Bước 1: Đưa hàm số (fleft( x ight)) về tích của hai hàm số, trong số đó một hàm số có số lượng giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có số lượng giới hạn vô cực.
Bước 2: Áp dụng luật lệ xét lốt để tính giới hạn của tích.
Lời giải:
Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng sủa tạo
Trong hồ gồm chứa 6000 lít nước ngọt. Fan ta bơm nước biển gồm nồng độ muối bột là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.
a) chứng tỏ rằng nồng độ muối bột của nước trong hồ sau (t) phút kể từ khi ban đầu bơm là (Cleft( t ight) = frac30t400 + t)(gam/lít).
b) Nồng độ muối bột trong hồ như thế nào nếu (t o + infty ).
Xem thêm: Toán 11, giải bài tập toán 11 cánh diều tập 1, sách giáo khoa toán 11 (tập 1) (cánh diều)
Phương pháp:
a) dựa vào dữ khiếu nại của đề bài, biểu lộ mối tương tác giữa các đại lượng trọng lượng muối, số lượng nước trong hồ và nồng độ muối để viết biểu thức (Cleft( t ight)).
b) Vận dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số trên vô cực:
Bước 1: Chia cả tử với mẫu cho lũy thừa bậc tối đa của tử và mẫu.
Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu mã rồi áp dụng những quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn.
Lời giải:
a) Lượng nước biển lớn bơm vào hồ nước sau (t) phút là: (15t) (lít).
Khối lượng muối tất cả trong hồ sau (t) phút là: (30.15t) (gam).
Sau (t) phút tính từ lúc khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: (6000 + 15t) (lít).
Nồng độ muối tại thời khắc (t) phút tính từ lúc khi ban đầu bơm là: (Cleft( t ight) = frac30.15t6000 + 15t = frac30.15t15left( 400 + t ight) = frac30t400 + t)(gam/lít).
b) (mathop lim limits_t o + infty Cleft( t ight) = mathop lim limits_t o + infty frac30t400 + t = mathop lim limits_t o + infty frac30ttleft( frac400t + 1 ight) = mathop lim limits_t o + infty frac30frac400t + 1 = frac300 + 1 = 30) (gam/lít).
Vậy nồng độ muối hạt trong hồ nước càng dần về 30 gam/lít, tức là nước vào hồ gần như là là nước biển, khi (t o + infty ).
Bài 6 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng sủa tạo
Một thấu kính quy tụ có tiêu cự là (f > 0) ko đổi. Hotline (d) với (d") theo lần lượt là khoảng cách từ thứ thật và ảnh của nó cho tới quang vai trung phong (O) của thấu kính (Hình 5). Ta bao gồm công thức: (frac1d + frac1d" = frac1f) xuất xắc (d" = fracdfd - f).
Xét hàm số (gleft( d ight) = fracdfd - f). Tìm những giới hạn tiếp sau đây và phân tích và lý giải ý nghĩa.
a) (mathop lim limits_d o f^ + gleft( d ight));
b) (mathop lim limits_d o + infty gleft( d ight)).
Phương pháp:
a) Bước 1: Đưa hàm số (fleft( x ight)) về tích của nhị hàm số, trong các số đó một hàm số có số lượng giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có số lượng giới hạn vô cực.
Bước 2: Áp dụng phép tắc xét vệt để tính giới hạn của tích.
b) Bước 1: Chia cả tử và mẫu đến lũy vượt bậc tối đa của tử với mẫu.
Bước 2: Tính những giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng những quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn.
Phương pháp giải - Xem bỏ ra tiết
Bước 1: Đưa hàm số (fleft( x ight)) về tích của nhì hàm số, trong đó một hàm số có giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có giới hạn vô cực.
Bước 2: Áp dụng quy tắc xét lốt để tính giới hạn của tích.
a) Áp dụng số lượng giới hạn một mặt thường dùng,
Ta có : (left{ eginarrayl1 > 0\x - left( - 1 ight) > 0,x o - 1^ + endarray ight. Rightarrow mathop lim limits_x o - 1^ + frac1x + 1 = mathop lim limits_x o - 1^ + frac1x - left( - 1 ight) = + infty )
b) (mathop lim limits_x o - infty left( 1 - x^2 ight) = mathop lim limits_x o - infty x^2left( frac1x^2 - 1 ight) = mathop lim limits_x o - infty x^2.mathop lim limits_x o - infty left( frac1x^2 - 1 ight))
Ta có: (mathop lim limits_x o - infty x^2 = + infty ;mathop lim limits_x o - infty left( frac1x^2 - 1 ight) = mathop lim limits_x o - infty frac1x^2 - mathop lim limits_x o - infty 1 = 0 - 1 = - 1)
( Rightarrow mathop lim limits_x o - infty left( 1 - x^2 ight) = - infty )
c) (mathop lim limits_x o 3^ - fracx3 - x = mathop lim limits_x o 3^ - frac - xx - 3 = mathop lim limits_x o 3^ - left( - x ight).mathop lim limits_x o 3^ - frac1x - 3)
Ta có: (mathop lim limits_x o 3^ - left( - x ight) = - mathop lim limits_x o 3^ - x = - 3;mathop lim limits_x o 3^ - frac1x - 3 = - infty )
( Rightarrow mathop lim limits_x o 3^ - fracx3 - x = + infty )
