Cho tam giác đều có cạnh bằng (a), điện thoại tư vấn là tam giác (H_1). Nối những trung điểm của (H_1) để sản xuất thành tam giác (H_2). Tiếp theo, nối những trung điểm của (H_1), để chế tạo thành tam giác (H_3) (Hình 1).Bạn đang xem: Toán 11 chân trời sáng tạo trang 86
Đề bài
Cho tam giác đều có cạnh bởi (a), điện thoại tư vấn là tam giác (H_1). Nối các trung điểm của (H_1) để sản xuất thành tam giác (H_2). Tiếp theo, nối những trung điểm của (H_1), để chế tạo thành tam giác (H_3) (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận thấy dãy tam giác (H_1,H_2,H_3,...)
Tính tổng chu vi với tổng diện tích những tam giác của dãy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tìm cạnh của tam giác hầu hết thứ (n) dựa vào cạnh của tam giác phần đa thứ (n - 1).
Bước 2: Tính chu vi và mặc tích của tam giác số đông thứ (n).
Bước 3: Áp dụng bí quyết tính tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn tất cả số hạng đầu (u_1) và công bội (q):
(S = u_1 + u_2 + ... + u_n + ... = fracu_11 - q)
Gọi (u_n) là độ nhiều năm cạnh của tam giác rất nhiều thứ (n).
Ta có: (u_1 = a;u_2 = fracu_12;u_3 = fracu_22;...)
Từ kia ta thấy (left( u_n ight)) là một trong cấp số nhân bao gồm số hạng đầu (u_1 = a), công bội (q = frac12).
Vậy (u_n = u_1.q^n - 1 = a.left( frac12 ight)^n - 1 = fraca2^n - 1,n = 1,2,3,...)
Chu vi của tam giác hồ hết thứ (n) là: (p_n = 3u_n = frac3 ma2^n - 1,n = 1,2,3,...)
Tổng chu vi của những tam giác của dãy là:
(P_n = 3 ma + frac3 ma2 + frac3 ma2^2 + ... + frac3 ma2^n - 1 + ... = 3 maleft( 1 + frac12 + frac12^2 + ... + frac12^n - 1 + ... ight))
Tổng (1 + frac12 + frac12^2 + ... + frac12^n - 1 + ...) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn gồm số hạng đầu (u_1 = 1), công bội (q = frac12).
Vậy (1 + frac12 + frac12^2 + ... + frac12^n - 1 + ... = frac11 - frac12 = 2 Rightarrow P_n = 3 ma.2 = 6 ma).
Diện tích của hình vuông vắn thứ (n) là:
(s_n = fracu_n^2sqrt 3 4 = left( fraca2^n - 1 ight)^2.fracsqrt 3 4 = fraca^2sqrt 3 4.left( frac12^n - 1 ight)^2 = fraca^2sqrt 3 4.frac14^n - 1,n = 1,2,3,...)
Tổng diện tích của các tam giác của hàng là:
(S_n = fraca^2sqrt 3 4 + fraca^2sqrt 3 4.frac14 + fraca^2sqrt 3 4.frac14^2 + ... + fraca^2sqrt 3 4.frac14^n - 1 + ... = fraca^2sqrt 3 4left( 1 + frac14 + frac14^2 + ... + frac14^n - 1 + ... ight))
Tổng (1 + frac14 + frac14^2 + ... + frac14^n - 1 + ...) là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu (u_1 = 1), công bội (q = frac14).
Vậy (1 + frac14 + frac14^2 + ... + frac14^n - 1 + ... = frac11 - frac14 = frac43 Rightarrow S_n = fraca^2sqrt 3 4.frac43 = fraca^2sqrt 3 3)
Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo bài ôn cuối chương 8 trang 86 với 87 tập 2 đưa ra tiết, dễ nắm bắt giúp khả năng giải toán hiệu quả.
I. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. mang đến hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với khía cạnh đáy. Đường trực tiếp $CD$ vuông góc với phương diện phẳng làm sao sau đây?
A. $left( SAD ight)$.
B. $left( SAC ight)$.
C. $left( SAB ight)$.
D. $left( SBD ight)$.
Hình 1
Lời giải
Câu 2. mang đến hình chóp $S.ABCD$ tất cả đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $b,SA$ vuông góc với phương diện đáy, $SC = 2bsqrt 2 $. Số đo góc giữa ở bên cạnh $SC$ và dưới đáy là
A. $60^ circ $.
B. $30^ circ $.
C. $45^ circ $.
D. $50^ circ $.
Hình 2
Lời giải
Câu 3. mang đến hình chóp $S cdot ABCD$ tất cả các kề bên và cạnh đáy đều bằng $a$. Hotline $M$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng $left( MBD ight)$ vuông góc với khía cạnh phẳng nào bên dưới đây?
A. $left( SBC ight)$.
B. $left( SAC ight)$.
C. $left( SBD ight)$.
D. $left( ABCD ight)$.
Lời giải
Câu 4. mang đến hình chóp tam giác những $S.ABC$ tất cả cạnh đáy bởi $2a$ và độ cao bằng $asqrt 2 $. Khoảng cách từ trung ương $O$ của đáy $ABC$ cho một mặt mặt là
A. $fracasqrt 14 7$.
B. $fracasqrt 2 7$.
C. $fracasqrt 14 2$.
D. $frac2asqrt 14 7$.
Lời giải
Câu 5. Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bởi $2a$, cạnh đáy bé dại bằng $a$ và độ cao bằng $fracasqrt 6 3$ là
A. Xem thêm: Giải toán lớp 8 chân trời sáng tạo trang 11 sgk chân trời sáng tạo toán 8 tập 1
B. $fracsqrt 2 4a^3$.
C. $frac7sqrt 2 12a^3$.
D. $frac7sqrt 3 4a^3$.
Lời giải
Câu 6. đến chóp tứ giác $S.ABCD$ tất cả đáy là hình chữ nhật với $AB = 4a,AD = 3a$. Các sát bên đều bao gồm độ dài $5a$. Góc nhị diện $left< S,BC,A ight>$ gồm số đo là
A. $75^ circ 46^ ext‘$.
B. $71^ circ 21^ ext‘$.
C. $68^ circ 31^ ext‘$.
D. $65^ circ 12^ ext‘$.
Lời giải
Câu 7. ví như hình hộp chữ nhật có ba kích cỡ là 3; 4; 5 thì độ lâu năm đường chéo của nó là
A. $5sqrt 2 $.
B. 50.
C. $2sqrt 5 $.
D. 12 .
Lời giải
Câu 8. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bởi $a$ là
A. $fraca^3sqrt 3 4$.
B. $fraca^3sqrt 3 3$.
C. $fraca^3sqrt 2 3$.
D. $fraca^3sqrt 2 2$.
Lời giải
II. TỰ LUẬN
Câu 9. Cho hình vuông $ABCD$ với tam giác rất nhiều $SAB$ cạnh $a$ phía bên trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hotline $M,N$ thứu tự là trung điểm của $AB$ với $AD$.
a) chứng tỏ rằng $left( SMD ight) ot left( SNC ight)$.
b) Tính khoảng cách từ $M$ cho mặt phẳng $left( SNC ight)$.
Lời giải
Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy là hình vuông vắn cạnh $a,SA ot left( ABCD ight)$ với $SA = a$. điện thoại tư vấn $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $SB$, $SC$ và $SD$. Tính khoảng cách giữa $AM$ cùng $NP$.
Lời giải
Câu 11. mang lại hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình thang vuông trên $A$ cùng $D;AB = AD = 2a$; $CD = a$; số đo góc nhị diện $left< S,BC,A ight>$ bởi $60^ circ $. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AD$. Biết hai mặt phẳng $left( SBI ight)$ với $left( SCI ight)$ thuộc vuông góc với mặt phẳng $left( ABCD ight)$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
Lời giải
Câu 12. Một chân cột bởi gang có những thiết kế chóp cụt tứ giác đều phải có cạnh lòng lớn bằng $2a$, cạnh đáy nhỏ bằng $a$, độ cao $h = 2a$ và nửa đường kính đáy phần trụ rỗng bên phía trong bằng $fraca2$.
a) tìm góc phẳng nhị diện tạo vị mặt mặt và phương diện đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói bên trên theo $a$.
Lời giải
Câu 13. cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$ có bên cạnh $AA’ = a$, đáy $ABCD$ là hình thoi có $AB = BD = a$. Hình chiếu vuông góc của $A’$ lên dưới đáy trùng cùng với điểm $O$ là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối hộp.
