Hình 2 biểu diễn các số hạng của hàng số (left( u_n right),) với (u_n = frac1n) bên trên hệ trục tọa độ.
Bạn đang xem: Toán 11 giới hạn của dãy số cánh diều
Xem giải thuật
Giải mục 2 trang 62
Cho hai hàng số (left( u_n ight),left( v_n ight)) cùng với (u_n = 8 + frac1n;v_n = 4 - frac2n.)a) Tính (lim u_n,lim v_n.)b) Tính (lim left( u_n + v_n ight)) và so sánh giá trị đó với tổng (lim u_n + lim v_n.)c) Tính (lim left( u_n.v_n ight)) và so sánh giá trị kia với tổng (left( lim u_n ight).left( lim v_n ight).)
Xem giải mã
Giải mục 3 trang 63
Cho cung cấp số nhân (left( u_n right),) với (u_1 = 1) cùng công bội (q = frac12.)a) đối chiếu (left| q right|) với 1.b) Tính (S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n.) từ bỏ đó, hãy tính (lim S_n.)
Xem giải thuật
bài bác 1 trang 64
Cho hai dãy số (left( u_n ight),left( v_n ight)) cùng với (u_n = 3 + frac1n;v_n = 5 - frac2n^2.) Tính những giới hạn sau:a) (lim u_n,lim v_n.)b) (lim left( u_n + v_n ight),lim left( u_n - v_n ight),lim left( u_n.v_n ight),lim fracu_nv_n.)
Xem giải thuật
bài xích 2 trang 65
Tính những giới hạn sau:a) (lim frac5n + 12n;)b) (lim frac6n^2 + 8n + 15n^2 + 3;)c) (lim fracsqrt n^2 + 5n + 3 6n + 2;)d) (lim left( 2 - frac13^n right);)e) (lim frac3^n + 2^n4.3^n;)g) (lim frac2 + frac1n3^n.)
Xem giải thuật
bài xích 3 trang 65
a) Tính tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn (left( u_n right),) với (u_1 = frac23,q = - frac14.)b) trình diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Xem lời giải
bài xích 4 trang 65
Từ hình vuông có độ dài cạnh bởi 1, bạn ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông vắn để sản xuất ra hình vuông mới như Hình 3. Liên tục quá trình này cho vô hạn. A) Tính diện tích Sn của hình vuông vắn được chế tạo thành ở bước thứ n;b) Tính tổng diện tích s của tất cả các hình vuông được sinh sản thành.
Xem giải thuật
bài bác 5 trang 65
Xem giải mã
bài xích 6 trang 65
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường có hai nửa đường tròn đường kính (fracAB2,) C2 là đường tất cả bốn nửa đường tròn 2 lần bán kính (fracAB4,...) công nhân là đường có 2n nửa đường tròn đường kính (fracAB2^n,...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cn và đoạn thẳng AB. A) Tính pn, Sn. B) tìm giới hạn của những dãy số (pn) và (Sn).
Xem lời giải
Đăng ký kết để nhận giải mã hay cùng tài liệu miễn phí
Cho phép loigiaihay.com gởi các thông tin đến các bạn để nhận ra các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.
Trong lịch trình toán học tập lớp 11, giới hạn của hàng số là một trong những phần kiến thức nặng nề và dễ sai, bởi vì vậy nội dung bài viết mang mang lại kiến thức bao gồm lý thuyết về giới hạn dãy số và các dạng bài bác tập từ cơ bản đến nâng cấp như: Tính số lượng giới hạn của hàng số hữu tỉ; tính số lượng giới hạn dãy số cho vày công thức, bởi vì hệ thức truy nã hồi; tính giới hạn của hàng số chứa căn thức, lũy vượt - mũ.
1. Triết lý giới hạn của hàng số
1.1. Dãy số có số lượng giới hạn 0
Định nghĩa: đối với mỗi số dương bé dại tùy ý những số hạng của hàng số, kể từ một số hạng nào kia trở đi, đều phải sở hữu giá trị xuất xắc đối nhỏ dại hơn số dương kia thì dãy số (un) đó có giới hạn 0.
Tính chất:
$lim frac1n=0; limfrac1n^alpha=0(alpha>0); limq^n=0(left | q ight |
Định lý:
$u_n,vn:left{eginmatrix left | u_n ight | leq v_n\lim(v_n)=0 endmatrix ight. Rightarrow lim , u_n=0$
1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: dãy số có giới hạn hữu hạn là hàng số lim (un – L) = 0(L là số thực)
Tính chất:
$u_n=c$, có giới hạn là c;
$lim ,u_n=L Leftrightarrow left | u_n-L ight |$ bên trên trục số từ thực điểm $u_n$ đến L trở nên nhỏ tuổi bao nhiêu cũng khá được miễn là n đủ lớn
Nói một phương pháp hình ảnh khi N tăng thì những điểm $u_n$ “chụm lại”
Không cần dãy số nào cũng đều có giới hạn hữu hạn
Định lý:
Với $lim(u_n)=L$ thì ta tất cả định lý:
$limleft | u_n ight |=left | L ight |$ cùng $limsqrt<3>u_n=sqrt<3>L$.
Nếu $u_ngeq 0$ với $forall n$ thì $Lgeq 0$ và $limsqrtu_n=sqrtL$
Nếu $lim, u_n=L, lim, v_n=M$ cùng c là một trong những hằng số thì ta rất có thể suy ra
$lim(u_n+v_n)=L+M$
$lim(u_n-v_n)=L-M$
$lim(u_n,v_n)=LM$
$lim(cu_n)=c
L$
$limfracu_nv_n=fracLM$(nếu $M eq 0$)
1.3. Hàng số có số lượng giới hạn vô cực
1.3.1. Hàng số có số lượng giới hạn $+infty$Định nghĩa: đối với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, gần như số hạng của dãy số, tính từ lúc một số hạng nào đó trở đi, đều to hơn số dương kia thì ta hotline đó là hàng số $(u_n)$ có số lượng giới hạn $+infty$
Hay ta rất có thể hiểu, $lim , u_n=+infty$ trong trường đúng theo $u_n$ rất có thể lớn hơn một vài dương phệ tuỳ ý, tính từ lúc số hạng nào đó trở đi
Tính chất:
$limsqrtu_n=+infty$
$limsqrt<3>u_n=+infty$
$lim,n^k=+infty$với một vài nguyên dương k mang đến trước
Trường hợp quánh biệt: $lim , q^n=+infty$
$lim , q^n=+infty$nếu q > 1
1.3.2. Dãy số có giới hạn $-infty$Định nghĩa: nếu như với mỗi số âm tuỳ ý mang đến trước, hầu như số hạng của hàng số, tính từ lúc một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ tuổi hơn số âm kia thì ta nói đó là dãy số có giới hạn $-infty$
Ký hiệu: $lim , u_n=-infty$
Hay t rất có thể hiểu, $lim , u_n=-infty$nếu un gồm thể bé dại hơn một vài âm nhỏ tùy ý.
Xem thêm: Thầy quang toán 10 - cách thầy cô 'triệu view' thu hút học sinh
Tính chất:
$lim, u_n=-infty Leftrightarrow lim(-u_n)=+infty$
Nếu $limleft | u_n ight |=+infty$thì un trở đề nghị lớn bao nhiêu cũng rất được miễn n đủ lớn. Vì vậy $left | frac1u_n ight |=frac1left < u_n ight >$ trở nên nhỏ dại bao nhiêu cũng được, miễn n đầy đủ lớn. Nói cách khác, ví như limun=+ thì lim 1un=0
Định lý: ví như $limleft | u_n ight |=+infty$ thì $limfrac1u_n=0$
Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và kỹ năng và tổng hợp phương pháp giải đầy đủ dạng bài xích tập vào đề thi Toán trung học phổ thông Quốc gia
2. Các dạng toán về số lượng giới hạn của hàng số với ví dụ
2.1. Dạng 1: Tính số lượng giới hạn dãy số được cho vày công thức.
Ví dụ 1: search $lim(n^3-2n+1)$?
Lời giải:
Ta có: $n^3-2n+1=n^3(1-frac2n^2+frac1n^3$
Vì $lim, n^3=+infty$ với $lim(1-frac2n^2+frac1n^3=1>0$ phải theo phép tắc 2, $lim(n^3-2n+1)=+infty$
Ví dụ 2: tìm $limsqrt<3>frac8n^2-3nn^2$
Lời giải:
$limsqrt<3>frac8n^2-3nn^2=limsqrt<3>8-frac3n=sqrt<3>8=2$
Ví dụ 3:
a. Tra cứu $A=limfrac2n^2+3n+13n^2-n+2$
b. Kiếm tìm $B=fracn^3-3n^2+2n^4+4n^3+1$
Lời giải:
2.2. Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức tầm nã hồi
Ví dụ 1: đến dãy số $(u_n)$ được xác minh bởi $u_1=1, u_n+1=frac2(2u_n+1)u_n+3$ với mọi n ≥ 1. Biết hàng số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn, tính $lim, u_n$
Lời giải:
Đặt $lim, u_n=L Rightarrow
L=limfrac2(2u_n+1)u_n+3$
$Rightarrow L^2-L-2=0Rightarrow L=2$ hoặc L = -1( loại)
Vậy $lim,u_n=2$
Ví dụ 2: mang lại $(u_n)$ bao gồm $u_1=1, u_n+1=frac12(u_n+frac2u_n)$ cùng với $forall ngeq 1$. Search $lim , u_n$?
Lời giải:
Sử dụng phương thức quy nạp ta minh chứng được $u_n>0 forall n$
Tuy đề bài bác không hỗ trợ dữ liệu là hàng số $(u_n)$có giới hạn hữu hạn hay không nhưng nhìn giải đáp đề bài cho đầy đủ là các giới hạn hữu hạn. Nhớ đó, ta thể xác định được dãy số $(u_n)$ có số lượng giới hạn hữu hạn.
Đặt $lim, u_n=Lgeq 0$
$lim, u_n+1=limfrac12(u_n+frac2u_n)$
Hay $L=frac12(L+frac2L)Rightarrow L=frac2LRightarrow L^2=2Rightarrow L=sqrt2$
Vậy $lim, u_n=sqrt2$
Ví dụ 3: đến dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$ với $u_n+1=2u_n+frac12$ với $forall ngeq 1$. Tìm kiếm $lim , u_n$?
Lời giải:
$v_n=u_n+frac12$. Ta có: $v_n+1=u_n+1+frac12+frac12=2u_n+frac12+frac12=2(u_n+frac12)=2v_n$
$Rightarrow (v_n)$ là cấp số nhân gồm $v_1=frac32$ với q = 2. Vậy $v_n=frac32.3^n-1=3.2^n-2$
Do kia $lim, v_n=lim(3.2^n-2)=+infty$
2.3. Dạng 3: Tính giới hạn của hàng số đựng căn thức
Ví dụ 1: Tính $limsqrtn^2+2n-n$
Lời giải:
$lim(sqrtn^2+2n-n=limfrac(sqrtn^2+2n)+(sqrtn^2+2n-n)(sqrtn^2+2n+n)=limfracn^2+2n-n^2sqrtn^2+2n+n$
$=limfrac2nsqrtn^2+2n+n=lim2sqrt1+frac2n+1=frac21+1=1$
Ví dụ 2: Tính giới hạn của $I=lim(sqrtn^2-2n+3-n)$
Lời giải:
$I=lim(sqrtn^2-2n+3-n)$$=limfrac(sqrtn^2-2n+3-n)(sqrtn^2-2n+3-n)sqrtn^2-2n+3-n$$=limfrac(n^2-2n+3)-n^2sqrtn^2-2n+3+n$$=limfrac-2n+3sqrtn^2-2n+3+n$$=limfrac-2+frac3nsqrt1-frac2n+frac3n^2+1$$=frac-2sqrt1+1=-1$
Ví dụ 3: kiếm tìm $lim(n-sqrt<3>n^3+3n^2+1$
Lời giải:
2.4 Dạng 4: Tính số lượng giới hạn của hàng số hữu tỉ
Ví dụ 1: cho a = 2.151515..., số a còn được màn trình diễn dưới dạng $a=fracmn$, (m,n là những số nguyên dương). M + n =?
Lời giải:
Ta có: $a=2,151515...=2+frac15100+frac15100^2+frac15100^3+...$
Vì $frac15100+frac15100^2+frac15100^3+...$là tổng của csn lùi vô hạn với $u_1=frac15100,q=frac1100$
$Rightarrow a=2+fracfrac151001-frac1100=frac7133$
Vậy $m=71, n=33 Rightarrow m+n=104$
Ví dụ 2: bài bác cho số thập phân vô hạn tuần hoàn tất cả dạng 0,32111... Cũng được viết bên dưới dạng phân số về tối giản là $fracab$ (a,b là các số nguyên dương). A - b =?
Lời giải:
Ta có:
$0,3211...=frac32100+frac110^3+frac110^4+frac110^5+...=frac32100+fracfrac110^31-frac110=frac289900$Vậy a = 289, b = 900 vị đó, a - b = -611
Ví dụ 3: Tính $limleft
$frac11.3+frac13.5+...+frac1(2n-1)(2n+1)=frac12(1-frac13+frac13-frac15+....+frac12n-1-frac12n+1)=frac12(1-frac12n+1)$
Vậy $limleft
2.5 Dạng 5: Tính số lượng giới hạn của hàng số chứa lũy vượt - mũ
Ví dụ 1: $limfrac4^n+1+6^n+25^n+8^n=?$
Lời giải:
$limfrac4^n+1+6^n+25^n+8^n=limfrac4(frac48)^n+36(frac68)^n(frac58)^n+1=0$
Ví dụ 2: $limfrac2^n-3^n2^n+1=?$
Lời giải:
Ví dụ 3: $lim(3.2^n-5.3^n+7n)=?$
Lời giải:$lim(3.2^n-5.3n+7n)=3^n(-5+6(frac23)^n+7)=-infty$
Đăng ký kết ngay nhằm được những thầy cô ôn tập và xây cất lộ trình ôn thi trung học phổ thông môn Toán nhanh chóng đạt 9+
3. Một số bài tập về số lượng giới hạn của hàng số tự cơ phiên bản đến nâng cao (Có lời giải)
Ví dụ 1: xác minh các giới hạn cho lưới đây:
a. $limfrac6n-13n+2$
b. $limfrac3n^2+n-52n^2+1$
Lời giải:
a. $limfrac6n-13n+2=limfracn(6-frac1n)n(3+frac2n)=limfrac6-frac1n3+frac2n=frac6-93-0=2$
b. $limfrac3n^2+n-52n^2+1=limn23+1n-5n2n23+2n=lim3+frac1n-frac5n^22+frac1n^2=frac32$
Ví dụ 2: lim(5n- 2n)
Lời giải:
Ta có: $5^n-2^n=5^n(1-(frac25^n)$
Vì $lim5^n=+infty$ và $lim(1-(frac25^n)=1>0$ buộc phải theo quy tắc 2, $lim(5^n-2^n)=+infty$
Ví dụ 3: kiếm tìm lim(3.2n+1- 5.3n+ 7n) =?
Lời giải:
$lim(3.2^n+1-5.3^n+7n)=3^n(-5+6(frac23)^n+7fracn3^n=-infty$Ví dụ 4: cho dãy số (un) khẳng định u1=0, u2=1, un+1=2un-un-1+2 với tất cả $ngeq 2$. Tìm lim un?
Lời giải:
Giả sử dãy số trên có số lượng giới hạn hữu hạn hotline là L
$Rightarrow lim,u_n=2lim,u_n-lim,u_n-1+2Leftrightarrow L=2L-L+2Leftrightarrow 0=2$ ( Vô lý)
Vậy hoàn toàn có thể dự đoán dãy số có số lượng giới hạn vô cực. Nhìn vào giải đáp ta thấy gồm hai đáp án vô rất ($-infty$ và $+infty$), vậy chưa thể đoán là câu trả lời nào. Ta coi hai phương pháp giải sau.
Ta có: u1= 0, u2= 1, u3= 4, u4= 9. Vậy ta rất có thể dự đoán un = (n - 1)2 cùng với $forall ngeq 1$. Khi đó,
un+1= 2un- un-1+2 = 2(n - 1)2- (n - 22+ 2) = n2
= <(n - 1) - 1>2
Vậy $u_n=(n-1)^2$ cùng với $forall ngeq 1$. Vị đó, $lim,u_n=lim(n-1)^2=+infty$
Ví dụ 5: mang đến dãy số (un) cùng với $u_n=frac12-frac14+frac18+...+frac(-1)^n+12$. Search lim un
Lời giải:
unlà tổng n số hạng thứ nhất của một cung cấp số nhân gồm $u_1=frac12$và $q = frac-12$
Do đó $u_n=frac12.frac1-(frac12)^n1-(frac12)=frac13(1-(frac12)^nRightarrow lim,u_n=limfrac13(1-(frac12)^n)=frac13$
Ví dụ 6: tìm $lim, u_n$, với $u_n=frac1+2+...+nn^2+1$.
Lời giải:
Ta có: $1+2+..+n=fracn(n+1)2Rightarrow frac1+2+...+nn^2+1=fracn(n+1)2(n^2+1)$
$Rightarrow lim, u_n=limfracn(n+1)2(n^2+1)=frac12$
Ví dụ 7: search $limfrac1+5+9+...+4n-32+7+12+...+5n-3$
Lời giải:
Tử thức là tổng của n số hạng trước tiên của cấp số cùng (un) với n = 1, un = 4n -3 cùng công bội d = 4
Do kia 1+ 5 + 9 +....+ 4n - 3 =
Tương từ bỏ ta cũng có thể có 2 + 7 + 12 +...+ 5n - 3 =
Như vậy
Ví dụ 8: tìm kiếm $D=limsqrtn^2+2n-sqrt<3>n^3+2n^2$
Lời giải:
Ta có:
D =
=
=
Ví dụ 9: triển khai trang trí lại ngôi nhà đất của mình, chú mèo Tom đưa ra quyết định tô màu một miếng vải hình vuông cạnh bởi 1, mèo Tom tô màu xám các hình vuông nhỏ tuổi được đánh chu kỳ lượt là 1, 2, 3,., n,.., Biết cạnh của hình vuông vắn trước gấp hai cạnh hình vuông sau nó (Giả sử tiến trình tô màu sắc của mèo Tom có thể diễn ra vô hạn).
a. Xác định u1,u2,u3 cùng un
b. Tính lim $S_n$ với Sn=u1+u2+u3+...+un
Lời giải:
a. $u_1=frac14, u_2=frac14.(frac14)=frac14^2,..., u_n=frac14^n$
b. $lim S_n=lim14+142+...+14n=141-14=13$
Ví dụ 10: tìm $lim(frac1n^2+1+frac2n^2+2+...+fracnn^2+n)$
Lời giải:
Tham khảo ngay một vài dạng bài xích tập thường chạm chán về số lượng giới hạn hàm số cùng những thầy cô toancapba.com ngay
PAS toancapba.com – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐Xây dựng lộ trình học tập từ mất gốc mang lại 27+
⭐Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐Tương tác trực tiếp hai chiều thuộc thầy cô
⭐ Học tới trường lại đến bao giờ hiểu bài bác thì thôi
⭐Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ tặng kèm full bộ tài liệu sản phẩm hiếm trong quy trình học tập
Đăng cam kết học test miễn giá thành ngay!!
Bài viết bên trên đã trình làng cho những em phần kim chỉ nan cơ phiên bản và những dạng bài xích vềgiới hạn của hàng số. Đây là một trong những phần kiến thức khó khăn và quan trọng đặc biệt trong lịch trình toán 11 phải để đạt được kết quả tốt nhất các em học rất cần được nắm rõ lý thuyết và rèn luyện thêm những dạng bài tập. Những em học tập sinh rất có thể truy cập gốc rễ toancapba.com và đăng ký tài khoản nhằm luyện đề ngay lúc này nhé!
