Hai Mặt Phẳng Song Song (Lý Thuyết Toán 11 Hai Mặt Phẳng Song Song Song

Nội dung bài bác giảng sẽ ra mắt đến các em những vị trí tương đối của hai mặt phẳng và hồ hết dạng bài bác tập tương quan đến Hai khía cạnh phẳng tuy nhiên song. Bên cạnh đó là hầu như ví dụ minh họa được đặt theo hướng dẫn giải cụ thể sẽ giúp những em thuận tiện nắm được nội dung bài học này.

Bạn đang xem: Toán 11 hai mặt phẳng song song

1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

1.2. Điều kiện nhằm hai phương diện phẳng song song

1.3. Tính chất

1.4. Hình lăng trụ cùng hình hộp

1.5. Hình chóp cụt

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 4 chương 2 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm về
Hai khía cạnh phẳng song song

3.2 bài xích tập SGK và nâng cao về
Hai khía cạnh phẳng tuy vậy song

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 2 hình học tập 11

-Cho 2 phương diện phẳng (left( phường ight)) với (left( Q ight).) căn cứ vào số đường thẳng bình thường của 2 phương diện phẳng ta có ba trường thích hợp sau:

-Hai phương diện phẳng (left( p. ight)) với (left( Q ight)) không có đường thẳng chung, tức là:

(left( phường ight) cap left( Q ight) = emptyset Leftrightarrow left( p ight)parallel left( Q ight).)

-Hai mặt phẳng (left( p ight)) và (left( Q ight)) chỉ tất cả một con đường thẳng chung, tức là:

(left( p. ight) cap left( Q ight) = a Leftrightarrow left( phường ight)) giảm (left( Q ight),.)

-Hai phương diện phẳng (left( p. ight)) với (left( Q ight)) bao gồm 2 đường thẳng phổ biến phân biệt, tức là:

(left( phường ight) cap left( Q ight) = left a,,,b ight Leftrightarrow left( p ight) equiv left( Q ight).)

1.2. Điều kiện để hai khía cạnh phẳng tuy vậy song

-Định lí 1:Nếu khía cạnh phẳng (left( p. ight)) chứa hai tuyến phố thẳng (a,,,b) giảm nhau và cùng tuy nhiên song vớimặt phẳng (left( Q ight)) thì (left( p ight)) tuy vậy song (left( Q ight).)

-Tức là: (left{ eginarrayla,,,b in left( p ight)\a cap b = left I ight\aparallel left( phường ight),,,bparallel left( Q ight)endarray ight. Rightarrow ,,left( p ight)parallel left( Q ight).)

1.3. Tính chất

-Tính chất 1:Qua một điểm nằm bên cạnh một mặt phẳng, gồm một và có một mặt phẳng song song với phương diện phẳng đó.

-Tức là: (O otin left( p ight) Rightarrow ,,exists !,,left( Q ight):left{ eginarraylO in left( Q ight)\left( p. ight)parallel left( Q ight)endarray ight.,.)

-Cách dựng:

+ vào (left( phường ight)) dựng (a,,,b) cắt nhau.

+Qua (O) dựng (a_1parallel a,;b_1parallel b.)

+Mặt phẳng (left( a_1,,,b_1 ight)) là mặt phẳng qua (O) và tuy vậy song cùng với (left( p ight).)

- Hệ trái 1:Nếu đường thẳng (a) tuy nhiên song với mặt phẳng (left( Q ight)) thì qua (a) có một và chỉ một mặt phẳng (left( p ight)) song song cùng với (left( Q ight).)

- Hệ quả 2:Hai khía cạnh phẳng riêng biệt cùng song song cùng với một mặt phẳng thứ cha thì tuy nhiên song cùng với nhau.

- tính chất 2:Nếu hai mặt phẳng (left( phường ight)) và (left( Q ight)) tuy nhiên song thì khía cạnh phẳng (left( R ight)) đã cắt (left( p. ight)) thì bắt buộc cắt (left( Q ight)) và các giao tuyến đường của chúng tuy nhiên song.

-Tức là: (left{ eginarraylleft( p. ight)parallel left( Q ight)\a = left( p. ight) cap left( R ight)\b = left( Q ight) cap left( R ight)endarray ight. Rightarrow ,,aparallel b.)

- Định lí Ta–lét trong không gian:Ba khía cạnh phẳng song một tuy nhiên song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương xứng tỷ lệ.

-Tức là: (left{ eginarraylleft( p ight)parallel left( Q ight)parallel left( R ight)\a cap left( phường ight) = A_1;,,a cap left( Q ight) = B_1;,,a cap left( R ight) = C_1\b cap left( p ight) = A_2;,,b cap left( Q ight) = B_2;,,b cap left( phường ight) = C_2endarray ight.)

( Rightarrow ,,fracA_1B_1B_1C_1 = fracA_2B_2B_2C_2,.)

1.4. Hình lăng trụ với hình hộp

-Định nghĩa hình lăng trụ:Hình lăng trụ là 1 trong những hình nhiều diện bao gồm hai mặt bên trong hai mặt phẳng tuy vậy song điện thoại tư vấn là hai lòng và tất cả các cạnh ko thuộc nhị cạnh đáy đều song song cùng với nhau.

-Trong đó:

+Các còn mặt khác với nhị đáy điện thoại tư vấn là các mặt bên của hình lăng trụ.

+Cạnh bình thường của nhị mặt bên gọi là kề bên của hình lăng trụ.

+Tùy theo nhiều giác đáy, ta bao gồm hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

-Từ có mang của hình lăng trụ, ta thứu tự suy ra các đặc thù sau:

+ Các lân cận song tuy nhiên và bởi nhau.

+ những mặt mặt và các mặt chéo là đầy đủ hình bình hành.

+ Hai lòng là hai nhiều giác có những cạnh tương ứng tuy vậy song và bằng nhau.

-Định nghĩa hình hộp:Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành call là hình hộp.

+ Hình hộp có tất cả các mặt bên và các dưới đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình vỏ hộp chữ nhật.

+ Hình vỏ hộp có toàn bộ các mặt mặt và các mặt dưới đều là hình vuông vắn gọi là hình lập phương.

- Chú ý: những đường chéo cánh của hình hộp cắt nhau trên trung điểm từng đường.

1.5. Hình chóp cụt

- Định nghĩa:Cho hình chóp (S.A_1A_2...A_n.) Một phương diện phẳng (left( p. ight)) tuy nhiên song với khía cạnh phẳng đựng đa giác lòng cắt các cạnh (SA_1,,,SA_2,,,...,,,SA_n) theo thứ tự tại (A"_1,,,A"_2,,,...,,,A"_n,.) Hình tạo vì thiết diện (A"_1A"_2...A"_n) và đáy (A_1A_2...A_n) của hình chóp cùng với các mặt bên (A_1A_2A"_2A"_1,,,A_2A_3A"_3A"_2,,,...,,,A_nA_1A"_1A" _n) gọi là 1 trong hình chóp cụt.

- trong đó:

+Đáy của hình chóp hotline là đáy to của hình chóp cụt, còn thiết diện call là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

+Các mặt còn sót lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.

+Cạnh bình thường của nhị mặt bên kề nhau như (A_1A"_1,,,A_2A"_2,,,...,,,A_nA"_n) hotline là sát bên của hình chóp cụt.

+Tùy theo lòng là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta bao gồm hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…

- Tính chất:Với hình chóp cụt, ta gồm các tính chất sau:

+Hai lòng của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

+Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

+Các kề bên của hình chóp cụt đồng quy trên một điểm.

Bài toán 1: CHỨNG MINH nhì MẶT PHẲNG song SONG

- Phương pháp:Để chứng tỏ hai mặt phẳng tuy vậy song ta hoàn toàn có thể thực hiện nay theo 1 trong các hai hướng sau:

- chứng tỏ trong mặt phẳng này có hai mặt đường thẳng cắt nhau cùng tuy nhiên song với mặt phẳng kia.

(left{ eginarrayla subset left( alpha ight),b subset left( alpha ight)\a cap b = I\aparallel left( eta ight)\bparallel left( eta ight)endarray ight. Rightarrow left( alpha ight)parallel left( eta ight)).

Chứng minh nhị mặt phẳng kia cùng tuy vậy song cùng với măt khía cạnh phẳng sản phẩm ba.

Xem thêm: Giải bài tập toán hình lớp 11 trang 91 sgk hình học 11, bài 1 trang 91 sgk hình học 11

(left{ eginarraylleft( alpha ight)parallel left( gamma ight)\left( eta ight)parallel left( gamma ight)endarray ight. Rightarrow left( alpha ight)parallel left( eta ight)).

Cho hình chóp (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình bình hành trung tâm (O), call (M,N) theo lần lượt là trung điểm của (SA,SD). Chứng tỏ (left( OMN ight)//left( SBC ight)).

Ta tất cả (M,O) theo thứ tự là trung điểm của (SA,AC) đề xuất (OM) là mặt đường trung bình của tam giác (SAC) ứng cùng với cạnh (SC)do đó (OMparallel SC).

Vậy (left{ eginarraylOMparallel SC\SC subset left( SBC ight)endarray ight. Rightarrow OMparallel left( SBC ight) m left( 1 ight)).

Tương tự, Ta tất cả (N,O) lần lượt là trung điểm của (SD,BD) bắt buộc (ON) là mặt đường trung bình của tam giác (SBD) ứng với cạnh (SB)do kia (OM//SB).

Vậy (left{ eginarraylONparallel SB\SB subset left( SBC ight)endarray ight. Rightarrow OMparallel left( SBC ight) m left( 2 ight)). Từ (left( 1 ight)) và (left( 2 ight)) ta có (left{ eginarraylOMparallel left( SBC ight)\ONparallel left( SBC ight)\OM cap ON = Oendarray ight. Rightarrow left( OMN ight)parallel left( SBC ight)).

Bài toán 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA (left( alpha ight)) VỚI HÌNH CHÓP khi BIẾT (left( alpha ight)) tuy vậy SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG (left( eta ight))CHO TRƯỚC

- Phương pháp:Để khẳng định thiết diện trong trường hòa hợp này ta thực hiện các đặc thù sau.

- lúc (left( alpha ight)parallel left( eta ight))thì (left( alpha ight)) sẽ tuy vậy song với toàn bộ các đường thẳng trong (left( eta ight))và ta gửi về dạng thiết diện song song với mặt đường thẳng (§3)

- sử dụng (left{ eginarraylleft( alpha ight)parallel left( eta ight)\left( eta ight)parallel left( gamma ight)\left( eta ight) cap left( gamma ight) = d\M in left( alpha ight) cap left( gamma ight)endarray ight. Rightarrow left( alpha ight) cap left( gamma ight) = d"parallel d,M in d").

- Tìm con đường thẳng (d) mằn vào (left( eta ight)) và xét những mặt phẳng gồm trong hình chóp mà cất (d), khi đó (left( alpha ight)parallel d) đề xuất sẽ cắt những mặt phẳng đựng (d)( giả dụ có) theo các giao tuyến song song với (d).

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành với (M,N) theo lần lượt là trung điểm của (AB,CD). Khẳng định thiết diện của hình chóp cắt bởi (left( alpha ight)) đi qua (MN) và tuy nhiên song với phương diện phẳng (left( SAD ight)). Tiết diện là hình gì?

Ta có (left{ eginarraylM in left( SAB ight) cap left( alpha ight)\left( SAB ight) cap left( SAD ight) = SAendarray ight.)( Rightarrow left( SAB ight) cap left( alpha ight) = MKparallel SA,K in SB).

Tương tự (left{ eginarraylN in left( SCD ight) cap left( alpha ight)\left( alpha ight)parallel left( SAD ight)\left( SCD ight) cap left( SAD ight) = SDendarray ight.) ( Rightarrow left( SCD ight) cap left( alpha ight) = NHparallel SD,H in SC).

Dễ thấy (HK = left( alpha ight) cap left( SBC ight)). Thiết diện là tứ giác (MNHK)

Ba khía cạnh phẳng (left( ABCD ight),left( SBC ight)) với (left( alpha ight)) song một giảm nhau theo những giao con đường là (MN,HK,BC), mà (MNparallel BC Rightarrow MNparallel HK).

Vậy thiết diện là 1 trong những hình thang.

Bài toán 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES

Phương pháp:

Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều trong số bài toán tỉ số hay các bài toán chứng tỏ đường thẳng song song cùng với một khía cạnh phẳng gắng định.

Cho tứ diện (ABCD) cùng (M,N) là những điểm nỗ lực trên các cạnh (AB,CD) sao để cho (fracAMMB = fracCNND).

a) minh chứng (MN) luôn luôn luôn tuy vậy song với một mặt phẳng vậy định.

b) đến (fracAMMB = fracCNND > 0) với (P) là một điểm trên cạnh (AC). Search thiết diện của hình chóp cắt vì (left( MNP ight)?)

c) Tính theo (k) tỉ số diện tích tam giác (MNP) và mặc tích thiết diện.

a) do (fracAMMB = fracCNND) đề xuất theo định lí Thales thì những đường trực tiếp (MN,AC,BD) cùng song song với một phương diện phẳng (left( eta ight)).Gọi (left( alpha ight)) là phương diện phẳng đi qua (AC) và song song với (BD)thì (left( alpha ight)) cố định và thắt chặt và (left( alpha ight)parallel left( eta ight))suy ra (MN) luôn luôn song tuy vậy với (left( alpha ight)) cố gắng định.

b) Xét trường phù hợp (fracAPPC = k), bây giờ (MPparallel BC) nên (BCparallel left( MNP ight)).

Ta có:

(left{ eginarraylN in left( MNP ight) cap left( BCD ight)\BCparallel left( MNP ight)\BC subset left( BCD ight)endarray ight. Rightarrow left( BCD ight) cap left( MNP ight) = NQparallel BC,Q in BD).

Thiết diện là tứ giác (MPNQ.)c) Xét trường thích hợp (fracAPPC e k)

Trong (left( ABC ight))gọi (R = BC cap MP)

Trong (left( BCD ight)) hotline (Q = NR cap BD) thì thiết diện là tứ giác (MPNQ).

Gọi (K = MN cap PQ)

Ta bao gồm (fracS_MNPS_MPNQ = fracPKPQ).

Do (fracAMNB = fracCNND) nên theo định lí Thales đảo thì (AC,NM,BD) theo thứ tự thuộc bố mặt phẳng tuy nhiên song cùng nhau và đường thẳng (PQ) cắt tía mặt phẳng này tương ứng tại (P,K,Q) nên áp dụng định lí Thales ta được: (fracPKKQ = fracAMMB = fracCNND = k)( Rightarrow fracPKPQ = fracPKPK + KQ = fracfracPKKQfracPKKQ + 1 = frackk + 1).

Câu 3:

Cho hình chóp (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình bình hành trung tâm (O.) gọi (M,,,N,,,I) theo sản phẩm công nghệ tự là trung điểm của (SA,,,SD) cùng (AB.) khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 4-10:Mời các em singin xem tiếp ngôn từ và thi demo Online để củng cố kiến thức và kỹ năng và nắm rõ hơn về bài học này nhé!

3.2 bài bác tập SGK và cải thiện về
Hai phương diện phẳng tuy nhiên song

Bên cạnh đó các em rất có thể xem phần chỉ dẫn Giải bài tập Hình học tập 11 Chương 2 bài bác 4sẽ giúp những em nạm được các phương pháp giải bài bác tập trường đoản cú SGKhình học 11Cơ bản và Nâng cao.

bài tập 1 trang 71 SGK Hình học 11

bài bác tập 2 trang 71 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 3 trang 71 SGK Hình học 11

bài xích tập 4 trang 71 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 2.22 trang 76 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 2.23 trang 76 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 2.24 trang 77 SBT Hình học 11

bài bác tập 2.25 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 2.26 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài tập 2.27 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 2.28 trang 77 SBT Hình học 11

bài tập 2.29 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 2.30 trang 78 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 2.31 trang 78 SBT Hình học 11

bài bác tập 29 trang 67 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 30 trang 67 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 31 trang 68 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 32 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 33 trang 68 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 34 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 35 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 36 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài tập 37 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 38 trang 68 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 39 trang 68 SGK Hình học 11 NC

4. Hỏi đáp về bài xích 4 chương 2 hình học tập 11

Nếu có vướng mắc cần giải đáp các em rất có thể để lại thắc mắc trong phần
Hỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 vẫn sớm trả lời cho các em.