Nhận xét & Phương pháp giải:

Với những hàm số dễ dàng xét dấu của đạo hàm để lập bảng biến thiên ta thường dùng quy tắc I. Tuy nhiên trong quá trình tìm cực trị của hàm số các em sẽ gặp những hàm số mà việc xác định dấu của đạo hàm rất phức tạp thì chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc II để tìm cực trị.

Bạn đang xem: Toán 12 bài 2 trang 18

Trước khi giải bài 2, các em cần nắm được các bước đề tìm cực trị bằng quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính\(f"(x)\). Tìm các nghiệm

*
của phương trình\(f"(x)=0\).

Bước 3: Tính\(f""(x)\)và\(f""(x_i)\)suy ra tính chất cực trị của các điểm

*
.

Chú ý:nếu\(f""(x_i)=0\)thì ta phải dùng quytắc 1 để xét cực trị tại

*
.

Lời giải:

Áp dụng các bước trên, ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

Xét hàm số\(y = x^4 - 2x^2 + 1\)

Tập xác định\(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:

\(\begin{array}{l} y" = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y" = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

\(y"" = 12{x^2} - 4\)

Ta có:

+ Với x = 0:\(y""(0) = -4 CĐ= y(0) = 1.

+ Với x = -1 và x = 1:

\(y""(-1)=y""(1)=8>0\)nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu

\(y_{CT}=y(-1)=y(1)=0.\)

Câu b:

Xét hàm số\(y = sin2x – x\)

Tập xác định\(D=\mathbb{R}\).

\(y" = 2cos2x - 1\).\(y"=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi , k \in \mathbb{Z}.\)

Đạo hàm cấp hai:\(y"" = -4sin2x .\)

Ta có:

+ Với \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\):

\(y""\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) \)

\(= - 2\sqrt 3 0\)

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực tiểu:

\({y_{ct}} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) + \frac{\pi }{6} - k\pi \)

\(= - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in\mathbb{Z}.\)

Câu c:

Xét hàm số\(y = sinx + cosx\)

Tập xác định\(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:\(y" = \cos x - \sin x\).

\(\begin{array}{l} y" = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}. \end{array}\)

Đạo hàm cấp 2:\(y""=-sinx-cosx.\)

+ Với\(k=2m \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\)ta có:

\(y""\left( {\frac{\pi }{4} + 2m\pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4}\)

\(= - \sqrt 2 0.\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

\(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

Câu d:

Xét hàm số\(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\)

Tập xác định\(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:\(y" = 5{x^4} - 3{x^2} - 2\)

\(y" = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)

(Đặt\(t=x^2>0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\)).

Đạo hàm cấp hai:\(y""=20x^3-6x.\)

Với x = 1 ta có: y""(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu yct= y(1) = -1.

Bước 2: Tính \(f"\left( x \right)\). Giải phương trình \(f"\left( x \right) =0\) và kí hiệu \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính \(f""\left( x \right)\) và \(f""\left( {{x_i}} \right)\).

Xem thêm: Học toán với thầy nguyễn tiến lâm dạy toán học, lịch khai giảng các lớp năm học 2023

Bước 4: Dựa vào dấu của \(f""\left( {{x_i}} \right)\) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R.\)

\(y"{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)\) ;

\(y" = 0\) \(⇔ 4x(x^2- 1) = 0\) \( ⇔ x = 0, x = \pm 1\).

\( y"" = 12x^2-4\).

\(y""(0) = -4 CĐ = \( y(0) = 1\).

\(y""(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\),

\(y\)CT = \(y(\pm1)\) = 0.


LG b

\( y = \sin 2x – x\);

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R.\)

\(y" = 2\cos 2x - 1\) ;\(y"=0\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi .\)

\(y"" = -4\sin 2x\).

\(y""\left ( \dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left ( \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )\)

\(=-2\sqrt{3}CĐ = \( \sin (\dfrac{\pi }{3}+ k2π) - \dfrac{\pi }{6} - kπ\) = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi }{6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

\(y""\left ( -\dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left (- \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )\)

\(=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x =-\dfrac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)CT = \(\sin (-\dfrac{\pi }{3}+ k2π) + \dfrac{\pi }{6} - kπ\) =\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi }{6} - kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).


LG c

\(y = \sin x + \cos x\);

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R.\)

\(y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )\);

\( y" =\sqrt{2}\cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )\) ;

 \(y"=0\Leftrightarrow \cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi .\)

\(y""=-\sqrt{2}\sin \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ).\)

\(y""\left ( \dfrac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{4}+k\pi +\dfrac{\pi }{4} \right )\)

\(=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{2} +k\pi \right )\)

\(=\left\{ \matrix{- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr \sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi\),

đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\dfrac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\)


LG d

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\).

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R.\)

\(y"{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)\); \(y"{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1\).

\(y""{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\).

\(y""(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\),

\(y\)CT = \( y(1) = -1\).

\(y""(-1) = -14 CĐ = \(y(-1) = 3\).

toancapba.com


*
Bình luận
*
Chia sẻ
Chia sẻ
Bình chọn:
4.3 trên 85 phiếu
Bài tiếp theo
*


Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay


Báo lỗi - Góp ý
*
*
*
*
*
*
*
*


TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE



Bài giải mới nhất


× Góp ý cho toancapba.com

Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!


Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi góp ý

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Sai chính tả

Giải khó hiểu

Giải sai

Lỗi khác

Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com


Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi

Cảm ơn bạn đã sử dụng toancapba.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!


Họ và tên:


Gửi Hủy bỏ
Liên hệ Chính sách
*
*


*

*

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép toancapba.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.