Hàm số lũy thừa là những hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Các hàm số lũy thừa tất cả tập khẳng định khác nhau, phụ thuộc vào (alpha):
- nếu (alpha) nguyên dương thì tập các định là (R).
Bạn đang xem: Toán 12 hàm số lũy thừa
- ví như (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập các định là (Rackslash left 0 ight\).
- Nếu (alpha ) không nguyên thì tập các định là (left( 0; + infty ight)).
Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập khẳng định là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác định (R), trong những khi đó các hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều có tập khẳng định ((0; +∞)). Vì chưng vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( tốt (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là những hàm số khác nhau.
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai những (x ∈ (0; +∞)) và (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)
- giả dụ hàm số (u=u(x)) nhận quý hiếm dương và gồm đạo hàm trong tầm (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x
ight)) cũng bao gồm đạo hàm trên (J) với
3. Đạo hàm của hàm số lũy vượt với số mũ nguyên dương
Trong trường phù hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy quá (y=x^n) có tập khẳng định là (R) và có đạo hàm bên trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa bao quát được mở rộng thành (forall x in R,left( x^n
ight)" = nx^n - 1) và
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy vượt (y=x^n) tất cả tập xác định là (Rackslash left 0
ight\) và gồm đạo hàm tại rất nhiều (x) không giống (0), cách làm đạo hàm hàm số lũy thừa bao quát được mở rộng thành (forall x
e 0,left( x^n
ight)" = nx^n - 1) và
nếu (u= u(x) e 0) tất cả đạo hàm trong tầm (J).
5. Đạo hàm của căn thức
Hàm số (y = sqrt
Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrt
Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:
< left( sqrt
Tóm lại, ta có ( left( sqrt
Sử dụng luật lệ đạo hàm hàm hòa hợp ta suy ra: nếu (u=u(x)) là hàm có đạo hàm trên khoảng tầm (J) và vừa lòng điều khiếu nại (u(x) > 0, ∀x ∈ J) khi (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì
6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng chừng ((0; +∞))
Chú ý: Khi điều tra hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) núm thể, đề nghị xét hàm số trên toàn tập khẳng định của nó (chứ không hẳn chỉ xét trên khoảng chừng ((0; +∞)) như trên).
Nội dung bài bác học sẽ giúp đỡ các em nuốm được các yếu tố tương quan đến hàm số lũy thừa như khái niệm, tập xác định, tính đợn điệu, cách tính đạo hàm, các dạng thiết bị thị của hàm số lũy thừa thông qua đó sẽ tạo cho tảng kiến thức giao hàng cho các em trong quá trình giải các dạng bài tập liên quan đến hàm số lũy thừa.
1. đoạn phim bài giảng
2. Cầm tắt lý thuyết
2.1. Tư tưởng hàm số luỹ thừa
2.2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
2.3. Khảo sát điều tra hàm số lũy thừa(y=x^alpha)
3. Bài xích tập minh hoạ
4. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Toán 12
4.1. Trắc nghiệm
4.2. Bài tập SGK
5. Hỏi đáp về bài bác 2 Chương 2 Toán 12
- Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng(y=x^alpha), trong đó(alpha)là một hằng số tuỳ ý.Từ định nghĩa những luỹ thừa, ta thấy:
+ Hàm số(y=x^n)với n nguyên dương, xác minh với mọi(x in mathbbR).
+Hàm số (y=x^n), với n nguyên âm hoặc n = 0,xác định với mọi(x in mathbbRackslash left 0 ight\).
+Hàm số(y=x^alpha), cùng với (alpha)không nguyên, gồm tập xác định là tập hợp những số thực dương(left( 0; + infty ight))
- người ta chứng tỏ được rằng hàm số lũy thừa thường xuyên trên tập xác định của nó.
-Chú ý:Theo định nghĩa, đẳng thức(sqrt
2.2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
a) Định lý
- Hàm số luỹ quá (y = x^alpha (alpha in mathbbR))có đạo hàm tại gần như điểm (x>0)và(left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1).
- trường hợp hàm số(u=u(x))nhận cực hiếm dương và gồm đạo hàm trên (J)thì hàm số (y = u^alpha (x).)cũng tất cả đạo hàm bên trên (J)và(left( u^alpha left( x ight) ight)" = alpha .u^alpha - 1(x).u"(x)).
b) Chú ý:
- Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng tỏ công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây:(left( sqrt
- nếu (u=u(x))là hàm số bao gồm đạo hàm trên (J)và toại nguyện điều kiện(u(x)>0)với rất nhiều (x in J)khi n chẵn,(u(x) e0)với mọi(x in J)khi n lẻ thì:
(left( sqrt
-Nhận xét:Do(1^alpha =1)với mọi(alpha)nên thiết bị thị của gần như hàm số lũy thừa đều trải qua điểm(1;1).
2.3. điều tra hàm số lũy thừa(y=x^alpha)
- Tập xác minh của hàm số lũy thừa luôn luôn chưa khoảng(left( 0; + infty ight))với mọi(alpha in mathbbR).
- trong trường hợp bao quát ta điều tra hàm số(y=x^alpha)trên khoảng chừng này, ta được bảng cầm tắt sau:
- mẫu mã của đồ dùng thị hàm số lũy thừa trong những trường phù hợp xét bên trên tập(left( 0; + infty ight)):
-Chú ý:Khi điều tra hàm số lũy quá với số mũ cầm thể, ta nên xét hàm số kia trên tổng thể tập xác minh của nó.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm tập xác định của những hàm số sau:
a)(y=x^6)
b)(y=(1-x)^sqrt2)
c)(y=(x+2)^-3)
Lời giải:
a) Hàm số(y=x^6)xác định với mọi(xinmathbbR).
Vậy tập xác minh của hàm số là(D=mathbbR.)
b) Hàm số(y=(1-x)^sqrt2)xác định khi(1 - x > 0 Leftrightarrow x Ví dụ 2:
Tính đạo hàm các hàm số
a)(y = x^sqrt 2 + 1)
b)(y = x^3pi )
c)(y=x^-0,9)
Lời giải:
a)(y" = - frac12x^ - frac12 - 1 = - frac12x^ - frac32 = - frac12sqrt x^3 .)
b)(y" = 3pi .x^3pi - 1).
c)(y" = - 0,9x^ - 0,9 - 1 = - 0,9x^ - 1,9.)
Ví dụ 3:
Tính đạo hàm những hàm số sau:
a)(y = (2x + 1)^pi )
b)(y = (3x^2 - 1)^ - sqrt 2 )
c)(y = left( 2x^2 + x - 1 ight)^frac23)
Lời giải:
a)(y" = pi (2x + 1)^pi - 1(2x + 1)" = 2pi (2x + 1)^pi - 1.)
b)(y" = - sqrt 2 left( 3x^2 - 1 ight)^ - sqrt 2 - 1(3x^2 - 1)" = - 6sqrt 2 x(3x^2 - 1)^ - sqrt 2 - 1.)
