Toán 12 khái niệm về mặt tròn xoay, khái niệm về mặt tròn xoay

Nội dung bài học kinh nghiệm sẽ trình làng đến những em sự chế tạo thành hai mặt tròn xoay thịnh hành là mặt nón với mặt trụ, những khái niệm hình nón, khối nón, hình trụ, khối trụ và những công thức tính diện tích xung quanh, diện tích s toàn phần và thể tích của các vật thể tròn chuyển phiên dạng khối nón và khối trụ.

Bạn đang xem: Toán 12 khái niệm về mặt tròn xoay

1. đoạn clip bài giảng

2. Bắt tắt lý thuyết

2.1. Khía cạnh nón - Hình nón - Khối nón

2.2. Khía cạnh trụ - hình tròn trụ - Khối trụ

3. Bài xích tập minh hoạ

4. Rèn luyện Bài 1 Chương 2 Hình học Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp bài 1 Chương 2 Hình học tập Toán 12

a) khía cạnh nón

-Trong không gian cho hai tuyến phố thẳng (Delta)và (l)cắt nhau tại O sao cho((widehatDelta ,l)=alpha , (0^circCho(l)quay quanh(Delta)ta được khía cạnh nón tròn xoay có:

+ (l)là đường sinh.

+ (Delta)trục của khía cạnh nón.

+ (O=lcap Delta)đỉnh của phương diện nón.

+ (2alpha :)góc sinh hoạt đỉnh.

b) Hình nón

-Cắt phương diện nón tròn xoay đỉnh O, trục(Delta)bởi khía cạnh phẳng (P) sao cho((P)perp Delta ,O otin (P).)

-Hình số lượng giới hạn bởi khía cạnh nón, phương diện phẳng (P) được gọi là hình nón.

c) Khối nón

-Khối nón tròn luân phiên là phần không khí giới hạn vày hình nón tròn xoay tất cả hình nón đó.

d) cách làm tính diện tích s và thể tích tương quan đến hình nón, khối nón

-Cho hình nón có đường sinh(l), bán kính đáy(R), chiều cao(h), ta có các công thức sau:

+ Thể tích khối nón:(V_Khoi , , non=frac13.S.h=frac13.pi .R^2.h).

+ diện tích s xung quanh hình nón:(S_xq=pi Rl).

+ diện tích toàn phần hình nón:(S_tp=pi Rl+pi R^2).

2.2. Phương diện trụ - hình trụ - Khối trụ

a) phương diện trụ

-Trong ko gian, mang đến đường thẳng(l)song songvà phương pháp đường thẳng(Delta)một khoảng chừng R.

-Cho(l)quay quanh(Delta)ta được một khía cạnh tròn xoay được điện thoại tư vấn là phương diện trụ tròn luân phiên có:

+ (l)là mặt đường sinh.

+ (Delta)là trục khía cạnh trụ.

+ R là nửa đường kính mặt trụ.

b) Hình trụ

-Xét hình chữ nhật OABO".

-Cho con đường gấp khúc OABO" quay quanh OO" ta được hình tròn trụ tròn xoay:

+OA: bán kính đường tròn đáy.

+AB: đường sinh.

c) Khối trụ

-Khối trụ tròn luân chuyển là phần không khí giới hạn vì hình trụ tròn xoay của cả hình trụ đó.

d) những công thức đo lường và thống kê liên quan tiền đển hình trụ, khối trụ

+Thể tích khối trụ:(V=pi .R^2.h)(=Sđáy.h).

+Diện tích bao phủ hình trụ:(S_xq=2pi .R.h).

+Diện tích toàn phân hình trụ:(S_tp=2pi .R.h+2pi R^2).

(Trong đó:R: nửa đường kính đáy, h: chiều cao (k/c giữa hai lòng = OO").​)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Trong không khí cho tam giác ABC vuông trên A bao gồm AB=a, AC = 2a. Xoay tam giác ABC bao phủ cạnh AB ta được một khối nón. Tính thể tích V của khối nón đó.

Lời giải:

Hình nón chiếm được có bán kính đáy R=AC=2a, độ cao h=AB=a.

Vậy thể tích khối nón là:(V = frac13pi r^2h = frac4pi a^33.)

Ví dụ 2:

Trong không khí cho tam giác ABC vuông trên A cócó AB=5, AC=12. Chođường vội khúc BAC xoay quanh cạnh BC ta được hình nón tròn xoay. Tính thể tích của khối nón đó.

Lời giải:

Khi quay con đường gấp khúc BAC xoay quanh cạnh BC ta được nhì hình nón:

Hình nón trước tiên có đường cao(h_1 = BH), nửa đường kính đáy(R_1 = AH).

Hình nón thiết bị hau gồm đường cao(h_2 = CH), bán kính đáy(R_2 = AH).

Ta có:(frac1AH^2 = frac1AB^2 + frac1AC^2 = frac6013)

(BC = sqrt AB^2 + AC^2 = 13)

Vậy thể tích khối tròn chuyển phiên thu được là:(V = frac13pi R_1^2h_1 + frac13pi R_2^2h_2 = frac13pi AH^2(BH + CH) = frac120013pi .)

Ví dụ 3:

Thiết diện qua trục của một hình nón là 1 trong những tam giác vuông bao gồm cạnh góc vuông bằng a.

Xem thêm: Giải Toán Xác Suất Lớp 10 Sgk Mới, Thống Kê Và Xác Suất

a)Tính diện tích s xung quanh và mặc tích toàn phần của hình nón.

b)Tính thể tích của khối nó.

c)Một tiết diện qua đỉnh tạo ra với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này.

Lời giải:

a) tiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân nặng tại S nên:(widehat A = widehat B = 45^0.)

Diện tích xung quanh hình nón là:(S_xq = pi Rl = pi .OA.SA = pi .fracasqrt 2 .a = fracpi a^2sqrt 2 .)

Diện tích toàn phần hình nón là:(S_tp = S_xq + S_day = fracpi a^2sqrt 2 + fracpi a^22 = left( frac1sqrt 2 + frac12 ight)pi a^2.)

b) Thể tích khối nón là:(V = frac13pi R^2h = frac13pi .OA^2.SO = frac13pi .fraca^22.fracasqrt 2 = fracpi a^36sqrt 2 .)

c) thiết diện (SAC) qua đỉnh sinh sản với đáy một góc 600.

Kẻ(OM ot AC Rightarrow SM ot AC Rightarrow widehat SMO = 60^0.)

Do tam giác SMO vuông trên O nên(OM = fracSO an 60 = fracasqrt 6 6.)

Tam giác OAM vuông tại M nên: (AM = sqrt OA^2 - OM^2 = fracasqrt 3 3).

Tam giác ABC vuông trên C (nội tiếp con đường tròn) suy ra(BC ot AC.)

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.

Nên(AC = 2AM = frac2asqrt 3 3.)

Ta có:(SM = SO.sin 60^0 = fracasqrt 6 3.)

Vậy diện tích s thiết diện là:(S_SAC = frac12.SM.AC = frac12.fracasqrt 6 3.frac2asqrt 3 3 = fraca^2sqrt 2 3.)

Ví dụ 4:

Cho hình chữ nhật ABCD tất cả AB = 2AD. Gọi V1là thể tích khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD xoay quanh đường trực tiếp AB và V2là thể tích khối trụ sinh ra bởi vì hình chữ nhật ABCD quay quanh đường trực tiếp AD. Tính tỉ số(fracV_2V_1).

Lời giải:

Khối trụ sinh ra vì hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AB có bán kính đáy AD, chiều cao AB:(V_1 = AB.left( pi AD^2 ight))

Khối trụ sinh ra vày hình chữ nhật ABCD quay quanh đường trực tiếp AD có nửa đường kính đáy AB, độ cao AD:(V_2 = AD.left( pi AB^2 ight))

Vậy:(fracV_2V_1 = fracAD.left( pi AB^2 ight)AB.left( pi AD^2 ight) = fracABAD = 2.)

Ví dụ 5:

Cho hình lăng trụ tam giác mọi ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích xung xung quanh S của hình tròn tròn luân phiên ngoại tiếp lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức(S_xq = 2pi .R.l).

Gọi R là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp(Delta ABC).

(Rightarrow R = frac23.fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3);(l =AA"=a).

Vậy diện tích s cần tìm là(S_xq = 2pi .fracasqrt 3 3.a = 2pi fraca^2sqrt 3 3)(đvdt).

Ví dụ 6:

Một hình trụ có nửa đường kính đáy R=5 cm và khoảng cách giữa nhị đáy bởi 7 cm.

a) Tính diện tích xung quanh và mặc tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ

c) cắt khối trụ vì chưng một mặt phẳng song song với trục và giải pháp trụ 3cm. Hãy tính diện tích s của tiết diện được tạo nên nên.

Lời giải:

Hình trụ có bán kính đáy R=5 và chiều cao h=7.

a) diện tích xung quanh hình tròn là:(S_xq = 2pi Rl = 2pi .5.7 = 70pi ,,(cm^2))

Diện tích toàn phần hình tròn trụ là:(S_tp = S_xq + 2.S_day = 70pi + 2pi .5^2 = 120pi ,,(cm^2).)

b) Thể tích khối trụ là:(V = pi R^2h = pi .5^2.7 = 175pi ,,(cm^3).)

1. Trong không khí cho phương diện phẳng (P) chứa đường thẳng và con đường cong (C) phía trong (P). Ta quay mặt phẳng (P) xung quanh một góc thì mặt đường cong (C) khiến cho một hình hotline là phương diện tròn xoay.

I. Sự chế tác thành khía cạnh tròn xoay

Trong không gian cho phương diện phẳng ((P)) cất đường trực tiếp (Delta ) với một đường C . Khi quay mặt phẳng ((P)) quanh (Delta ) một góc (360^o) thì mỗi điểm (M) trên phố C vạch ra một con đường tròn tất cả tâm (O) trực thuộc (Delta ) cùng nằm xung quanh phẳng vuông góc với (Delta ). Do đó khi quay khía cạnh phẳng ((P)) quanh đường thẳng (Delta ) thì con đường C vẫn tao đề xuất một hình được goi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn luân chuyển đó. Đường thẳng (Delta ) được hotline là trục của mặt tròn xoay.

II. Mặt nón tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong phương diện phẳng ((P)) cho hai tuyến đường thẳng (d) cùng (Delta ) giảm nhau trên điểm (O) và chế tạo thành góc (eta ) với (0^o

Khi quay mặt phẳng ((P)) xung xung quanh (Delta ) thì mặt đường thẳng (d) hiện ra một phương diện tròn luân phiên được hotline là mặt nón tròn luân phiên đỉnh (O) (gọi tắt là mặt nón)

Đường trực tiếp (Delta ) là trục, con đường thẳng (d) goi là con đường sinh và góc (2eta ) goi là góc làm việc đỉnh của mặt nón đó.

2. Hình nón tròn xoay cùng khối nón tròn xoay

a) mang đến tam giác OIM vuông trên I, quay xung quanh cạnh OI thì mặt đường gấp khúc OMI chế tạo thành một hình, hotline là hình nón tròn luân phiên (hay hình nón)

Đỉnh: Điểm O

Mặt đáy: hình tròn tâm I, bán kính IM

Chiều cao của nón: Độ nhiều năm đoạn OI

Đường sinh: Đoạn OM

Mặt bao phủ của hình nón: Phần khía cạnh tròn xoay sinh ra bởi những điểm bên trên cạnh OM khi xoay quanh trục OI.

b) Khối nón (tròn xoay): là phần không gian giới hạn do môt hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.

3. Diện tích xung xung quanh của hình nón tròn xoay

(S_xq = pi rl )

Trong đó: r: nửa đường kính đáy của hình nón, l: đường sinh của hình nón

4. Thể tích khối nón tròn xoay

(V = frac13pi r^2h)

Trong đó r là nửa đường kính đáy, h là chiều cao.

III. Phương diện trụ tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong phương diện phẳng ((P)) cho hai tuyến đường thẳng (Delta ) với l song song với nhau, giải pháp nhau một khoảng bằng r. Khi quay phương diện phẳng ((P)) xung xung quanh (Delta ) thì mặt đường thẳng l có mặt một mặt tròn chuyển phiên được hotline là mặt tru tròn luân chuyển (mặt trụ). Đường thẳng (Delta ) call là trục, con đường thẳng l là con đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

2. Hình trụ tròn xoay cùng khối trụ tròn xoay

a) lúc quay hình chữ nhật ABCD quanh mặt đường thẳng đựng môt cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo ra thành một hình, goi là hình trụ tròn xoay (hình trụ)

Hai đáy: hai hình trụ vạch ra vì chưng AD với BC.

Bán kính của trụ: AD và BC

Đường sinh: CD

Mặt xung quanh: Phần khía cạnh tròn xoay xuất hiện bởi các điểm trên cạnh CD lúc quay

Chiều cao của trụ: độ dài đoạn thẳng AB

b) Khối trụ tròn xoay: phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay tất cả hình trụ đó.