Tài liệu Giáo viên
Lớp 2Lớp 2 - Kết nối tri thức
Lớp 2 - Chân trời sáng tạo
Lớp 2 - Cánh diều
Tài liệu Giáo viên
Lớp 3Lớp 3 - Kết nối tri thức
Lớp 3 - Chân trời sáng tạo
Lớp 3 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 3
Tài liệu Giáo viên
Lớp 4Lớp 4 - Kết nối tri thức
Lớp 4 - Chân trời sáng tạo
Lớp 4 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 4
Tài liệu Giáo viên
Lớp 5Lớp 5 - Kết nối tri thức
Lớp 5 - Chân trời sáng tạo
Lớp 5 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 5
Tài liệu Giáo viên
Lớp 6Lớp 6 - Kết nối tri thức
Lớp 6 - Chân trời sáng tạo
Lớp 6 - Cánh diều
Tiếng Anh 6
Tài liệu Giáo viên
Lớp 7Lớp 7 - Kết nối tri thức
Lớp 7 - Chân trời sáng tạo
Lớp 7 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 8Lớp 8 - Kết nối tri thức
Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
Lớp 8 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 9Lớp 9 - Kết nối tri thức
Lớp 9 - Chân trời sáng tạo
Lớp 9 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 10Lớp 10 - Kết nối tri thức
Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
Lớp 10 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 11Lớp 11 - Kết nối tri thức
Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
Lớp 11 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 12Lớp 12 - Kết nối tri thức
Lớp 12 - Chân trời sáng tạo
Lớp 12 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Giáo viênLớp 1
Lớp 2
Lớp 3
Lớp 4
Lớp 5
Lớp 6
Lớp 7
Lớp 8
Lớp 9
Lớp 10
Lớp 11
Lớp 12
Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần Đại số Giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em nắm vững kiến thức và ôn tập hiệu quả, toancapba.com Education đã tổng hợp những lý thuyết nguyên hàm toán 12 bao gồm định nghĩa, định lý, công thức nguyên hàm lớp 12 và các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản với lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây. Các em hãy cùng theo dõi và học tập nhé!
Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.
Bạn đang xem: Toán 12 nguyên hàm bài tập
Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.Định lý nguyên hàm
Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản mà các em cần nhớ là:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.Xem thêm: Toán Nâng Cao 7 Có Đáp Án - 80 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 7 Có Đáp Án Năm 2022
Kiến thức toán 12, giải bài tập toán 12
Giải bài tập SGK Toán 12 nguyên hàm
Đây là phần giải bài tập nguyên hàm SGK Toán 12 và ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tham khảo để hiểu rõ hơn về phần kiến thức nguyên hàm toán 12.
Bài 1 Giải bài tập Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK
Đề bài
Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
\begin{aligned}&a.\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\&b.\ sin2x \text{ và }sin^2x\\&c. \left( 1-\frac2x \right)^2e^x \text{ và } \left( 1-\frac4x \right) e^x\end{aligned}
\begin{aligned}&a. \text{ Ta có: }\ \begin{aligned}& \small \bold{\text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:}}\\& \small \text{a. } f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt<3>{x}}\\& \small \text{b. } f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}\\& \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}\\& \small \text{d. } f(x) = sin5x.cos3x\\& \small \text{e. } f(x) = tan^2x\\& \small \text{g. } f(x) = e^{3-2x}\\& \small \text{h. } f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)}\\& \small \bold{\text{Lời giải:}}\\& \small \text{a. } \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt<3>{x}}\\& \small = \int \left( x + x^{\frac12} + 1 \right). x^{\frac{-1}{3}}dx\\& \small = \int \left( x^{\frac23} + x^{\frac16} + x^{\frac{-1}{3}} \right)dx\\& \small = \int x^{\frac23}dx + \int x^{\frac16}dx + \int x^{\frac{-1}{3}}dx\\& \small = \frac35x^{\frac53} + \frac67x^{\frac76} + \frac32x^{\frac23} + C\\& \small = \frac35.x\sqrt<3>{x^2} + \frac67.x\sqrt<6>{x} + \frac32.\sqrt<3>{x^2} + C\\& \small \text{b. } \int \frac{2^x - 1}{e^x}\\& \small = \int \left< \left( \frac2e \right)^x - \left( \frac1e \right)^x \right>\\& \small = \int \left( \frac2e \right)^xdx - \int e^{-x}dx\\& \small = \frac{\left( \frac2e \right)^x}{ln\left( \frac2e \right)} + e^{-x} + C\\& \small = \frac{2^x}{e^x.(ln2 - 1)} + e^{-x} + C\\& \small \text{c. } \int \frac{1}{sin^2x.cos^2x}dx\\& \small = \int \frac{sin^2x + sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx\\& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x} \right)dx\\& \small = \int \frac{1}{cos^2x}dx+ \int \frac{1}{sin^2x}dx\\& \small = tanx - cotx + C\\& \small \text{d. } \int sin5x.cos3xdx\\& \small = \int \frac12(sin8x + sin2x)dx\\& \small = \int \frac12sin8xdx + \int \frac12sin2xdx\\& \small = -\frac{1}{16}cos8x - \frac14cos2x + C\\& \small \text{e. } \int tan^2xdx\\& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x - 1}\right)dx\\& \small = \int \frac{1}{cos^2x - 1}dx - \int dx\\& \small = tanx - x + C\\& \small \text{g. } \int e^{3-2x}dx\\& \small \text{Đặt t = 3-2x}\\& \small \implies dt = -2dx\\& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}\\& \small \int e^{3-2x}dx\\& \small = \int e^t.-\frac{dt}{2}\\& \small = -\frac12 \int e^t dt\\& \small = -\frac12e^t + C\\& \small = -\frac12e^{3-2x} + C\\& \small \text{h. } \int \frac{1}{(1+x)(1-2x)}dx\\& \small = \int \left< \frac{1}{3(1+x)} + \frac{2}{3(1-2x)} \right>dx\\& \small = \frac13 \int \frac{1}{1+x}dx + \frac23 \int \frac{1}{1-2x}dx (*)\\& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1+x}dx\\& \small \text{Đặt } t = 1+x\\& \small \implies dt = dx\\& \small \int \frac{1}{1+x}dx\\& \small = \int \frac{1}{t}dt\\& \small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)\\& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1-2x}dx\\& \small \text{Đặt } t = 1-2x\\& \small \implies dt = -2dx\\& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}\\& \small \int \frac{1}{1-2x}dx\\& \small = -\frac12 \int \frac{1}{t}dt\\& \small = -\frac12ln|t| + C_2 = -\frac12ln|1-2x| + C_2 (2)\\& \small \text{Từ (1) và (2)}\\& \small (*) = \frac13 ln|1+x| - \frac13ln|1-2x| + C\\& \small = \frac13 ln|\frac{1+x}{1-2x}| + C\end{aligned} \begin{aligned}& \small \text{Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính các nguyên hàm dưới đây:}\\& \small \text{a. } \int (1-x)^9dx \text{ (đặt } u = 1 - x)\\& \small \text{b. } \int x(1+x^2)^{\frac32}dx \text{ (đặt } u = 1 + x^2)\\& \small \text{c. } \int cos^3x.sinxdx \text{ (đặt } t = cosx)\\& \small \text{d. } \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} \text{ (đặt } u = e^x + 1)\\& \small \text{Lời giải:}\\& \small \text{a. Đặt } u = 1 - x \implies du = -dx \iff dx = - du\\& \small \int (1-x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1-x)^{10}}{10} + C\\& \small \text{b. Đặt } u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx \iff xdx = \frac{du}{2}\\& \small \int x(1+x^2)^{\frac32}dx = \frac12 \int u^{\frac32}du = \frac15u^{\frac52} + C = \frac15(1 + x^2)^{\frac52} + C\\& \small \text{c. Đặt } t = cosx \implies dt = -sinxdx \iff sinxdx = -dt\\& \small \int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C\\& \small \text{d. Đặt } u = e^x + 1 \implies du = e^xdx\\& \small \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1 + 2e^x}dx = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C\end{aligned} \begin{aligned}& \small \text{Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính các nguyên hàm dưới đây:}\\& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx\\& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx\\& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx\\& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx\\& \small \text{Phương pháp nguyên hàm từng phần:}\\& \small \text{Đặt }\begin{cases}u = u(x)\\dv = v"(x)dx\end{cases}\iff\begin{cases}du = u"(x)dx\\v = v(x)\end{cases}\\& \small \implies \int f(x)dx = u(x)v(x) - \int u"(x)v(x)dx\\& \small \text{Lời giải:}\\& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx\\& \small \text{Đặt }\begin{cases}u = ln(1+x)\\dv = xdx\end{cases}\iff\begin{cases}du = \frac{1}{x+1}dx\\v = \frac{x^2}{2}\end{cases}\\& \small \int xln(1+x)dx\\& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2(x+1)}dx\\& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \int \left( x-1+\frac{1}{x+1} \right)dx\\& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \left< \frac{x^2}{2} - x + ln(1+x) \right>+ C\\& \small = \frac12(x^2-1)ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C\\& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx\\& \small \text{Đặt }\begin{cases}u = x^2+2x-1\\dv = e^xdx\end{cases}\iff\begin{cases}du = (2x+2)dx\\v = e^x\end{cases}\\& \small \int (x^2+2x-1)e^xdx\\& \small = (x^2+2x-1)e^x - 2\int (x+1)e^xdx \ (*)\\& \small \text{Xét } \int (x+1)e^xdx\\& \small \text{Đặt }\begin{cases}u = x+1\\dv = e^xdx\end{cases}\iff\begin{cases}du = dx\\v = e^x\end{cases}\\& \small \int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - \int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C\\& \small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C\\& \small = (x^2-1)e^x + C\\& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx\\& \small \text{Đặt }\begin{cases}u = x\\dv = sin(2x+1)dx\end{cases}\iff\begin{cases}du = dx\\v = -\frac12cos(2x+1)\end{cases}\\& \small \int xsin(2x+1)dx\\& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac12 \int cos(2x+1)dx\\& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac14sin(2x+1)dx + C\\& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx\\& \small \text{Đặt }\begin{cases}u = 1-x\\dv = cosdx\end{cases}\iff\begin{cases}du = - dx\\v = sinx\end{cases}\\& \small \int (1-x)cosxdx\\& \small = (1-x)sinx + \int sinxdx\\& \small = (1-x)sinx - cosx + C\end{aligned} Đề bài: \begin{aligned}& \small \text{a. Cho } \int (x-1)^{10}dx. \text{ Đặt u=x-1, hãy viết } (x-1)^{10}dx \text{ theo u và du}\\& \small \text{b. Cho } \int \frac{lnx}{x}dx. \text{ Đặt } x=e^t, \text{ hãy viết } \int \frac{lnx}{x}dx \text{ theo t và dt}\\& \small \text{Lời giải}\\& \small \text{a. Theo đề bài, ta đặt } u=x-1 \implies x=u+1 \implies dx = du \implies (x-1)^{10}dx = u^{10}du\\& \small \text{b. Theo đề bài, ta đặt } x=e^t \implies dx = e^tdt \implies \frac{lnx}{x}dx = \frac{ln(e^t)}{e^t}e^tdt = tdt\\\end{aligned}
Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Căn Chi TiếtCâu Hỏi 6 Trang 99 SGK Toán 12
Câu Hỏi 7 Trang 99 SGK Toán 12
Đề bài:
Ta có: (xcosx)′ = cosx − xsinx hay −xsinx = (xcosx)′ − cosx. Hãy tính ∫(xcosx)′dx và ∫cosxdx. Từ đó tính ∫xsinxdx
Lời giải:
Ta có ∫(xcosx)′dx = xcosx + C1 và ∫cosxdx = sinx + C2
Dựa vào công thức ở đề bài, ta có
∫xsinxdx = −∫(−xsinx)dx = −∫<(xcosx)′ − cosx>dx = −∫(xcosx)dx + ∫cosxdx = −xcosx − C1 + sinx + C2 = −xcosx + sinx + C
Câu Hỏi 8 Trang 99 SGK Toán 12
Đề bài:
Cho P(x) là đa thức của x. Từ ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.
| ∫P(x)exdx | ∫P(x)cosxdx | ∫P(x)lnxdx | |
| u | P(x) | ||
| dv | exdx |
Lời giải:
| ∫P(x)exdx | ∫P(x)cosxdx | ∫P(x)lnxdx | |
| u | P(x) | P(x) | lnx |
| dv | exdx | cosxdx | P(x)dx |
Tham khảo ngay các khoá học online của toancapba.com Education
