Lớp 1

Tài liệu Giáo viên

Lớp 2

Lớp 2 - kết nối tri thức

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Lớp 2 - Cánh diều

Tài liệu Giáo viên

Lớp 3

Lớp 3 - liên kết tri thức

Lớp 3 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 3 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Lớp 4

Lớp 4 - liên kết tri thức

Lớp 4 - Chân trời sáng tạo

Lớp 4 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Lớp 5

Lớp 5 - kết nối tri thức

Lớp 5 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 5 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 5

Tài liệu Giáo viên

Lớp 6

Lớp 6 - kết nối tri thức

Lớp 6 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 6 - Cánh diều

Tiếng Anh 6

Tài liệu Giáo viên

Lớp 7

Lớp 7 - kết nối tri thức

Lớp 7 - Chân trời sáng tạo

Lớp 7 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 8

Lớp 8 - kết nối tri thức

Lớp 8 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 8 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 9

Lớp 9 - liên kết tri thức

Lớp 9 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 9 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 10

Lớp 10 - kết nối tri thức

Lớp 10 - Chân trời sáng sủa tạo

Lớp 10 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 11

Lớp 11 - liên kết tri thức

Lớp 11 - Chân trời sáng tạo

Lớp 11 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 12

Lớp 12 - liên kết tri thức

Lớp 12 - Chân trời sáng tạo

Lớp 12 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

cô giáo

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12


Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần Đại số Giải tích lớp 12 cùng ôn thi đại học. Để giúp các em nắm vững kiến thức và ôn tập hiệu quả, toancapba.com Education vẫn tổng hợp đầy đủ lý thuyết nguyên hàm toán 12 bao gồm định nghĩa, định lý, cách làm nguyên hàm lớp 12 và những dạng bài xích tập nguyên hàm cơ phiên bản với lời giải chi tiết trong nội dung bài viết dưới đây. Những em hãy thuộc theo dõi với học tập nhé!


*

Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để những em núm rõ bản chất, trường đoản cú đó vận dụng linh hoạt trong câu hỏi giải bài tập.

Bạn đang xem: Toán 12 nguyên hàm bài tập

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác minh trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lý nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 2 định lý cơ bản mà các em phải nhớ là:

Nếu F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong những nguyên hàm của f(x) trên K.Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì phần đông nguyên hàm của f(x) trên K đều phải sở hữu dạng F(x) + C, cùng với C là 1 trong hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) bên trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

Xem thêm: Toán Nâng Cao 7 Có Đáp Án - 80 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 7 Có Đáp Án Năm 2022

*


*

Kiến thức toán 12, giải bài bác tập toán 12

Giải bài tập SGK Toán 12 nguyên hàm 

Đây là phần giải bài tập nguyên hàm SGK Toán 12 và áp dụng cho phần định hướng phía trên, những em xem thêm để nắm rõ hơn về phần kiến thức nguyên hàm toán 12.

Bài 1 Giải bài tập Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK

Đề bài

Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?


eginaligned&a. e^-x ext cùng -e^-x\&b. sin2x ext cùng sin^2x\&c. left( 1-frac2x ight)^2e^x ext và left( 1-frac4x ight) e^xendaligned

eginaligned&a. ext Ta có: "= -e^-x\& extVậy e^-x ext là nguyên hàm của -e^-x\&b. ext Ta có: "= 2xinxcosx=sin2x\& extVậy sin^2x ext là nguyên hàm của sin2x\&c. ext Ta có: \& left"\&=left( 1-frac4x ight)"e^x+left( 1-frac4x ight)(e^x)"\&=e^xleft< 1-frac4x+frac4x^2 ight>=left( 1-frac2x ight)^2e^x\& extVậy left( 1-frac4x ight)e^x ext là nguyên hàm của left( 1-frac2x ight)^2e^x\endaligned

eginaligned& small old extTìm nguyên hàm của các hàm số sau:\& small exta. f(x) = fracx + sqrtx + 1sqrt<3>x\& small extb. f(x) = frac2^x - 1e^x\& small extc. f(x) = frac1sin^2x.cos^2x\& small extd. f(x) = sin5x.cos3x\& small exte. f(x) = tan^2x\& small extg. f(x) = e^3-2x\& small exth. f(x) = frac1(1+x)(1-2x)\& small old extLời giải:\& small exta. int fracx + sqrtx + 1sqrt<3>x\& small = int left( x + x^frac12 + 1 ight). X^frac-13dx\& small = int left( x^frac23 + x^frac16 + x^frac-13 ight)dx\& small = int x^frac23dx + int x^frac16dx + int x^frac-13dx\& small = frac35x^frac53 + frac67x^frac76 + frac32x^frac23 + C\& small = frac35.xsqrt<3>x^2 + frac67.xsqrt<6>x + frac32.sqrt<3>x^2 + C\& small extb. int frac2^x - 1e^x\& small = int left< left( frac2e ight)^x - left( frac1e ight)^x ight>\& small = int left( frac2e ight)^xdx - int e^-xdx\& small = fracleft( frac2e ight)^xlnleft( frac2e ight) + e^-x + C\& small = frac2^xe^x.(ln2 - 1) + e^-x + C\& small extc. int frac1sin^2x.cos^2xdx\& small = int fracsin^2x + sin^2xsin^2x.cos^2xdx\& small = int left( frac1cos^2x + frac1sin^2x ight)dx\& small = int frac1cos^2xdx+ int frac1sin^2xdx\& small = tanx - cotx + C\& small extd. int sin5x.cos3xdx\& small = int frac12(sin8x + sin2x)dx\& small = int frac12sin8xdx + int frac12sin2xdx\& small = -frac116cos8x - frac14cos2x + C\& small exte. int tan^2xdx\& small = int left( frac1cos^2x - 1 ight)dx\& small = int frac1cos^2x - 1dx - int dx\& small = tanx - x + C\& small extg. int e^3-2xdx\& small extĐặt t = 3-2x\& small implies dt = -2dx\& small iff dx = -fracdt2\& small int e^3-2xdx\& small = int e^t.-fracdt2\& small = -frac12 int e^t dt\& small = -frac12e^t + C\& small = -frac12e^3-2x + C\& small exth. int frac1(1+x)(1-2x)dx\& small = int left< frac13(1+x) + frac23(1-2x) ight>dx\& small = frac13 int frac11+xdx + frac23 int frac11-2xdx (*)\& small extXét int frac11+xdx\& small extĐặt t = 1+x\& small implies dt = dx\& small int frac11+xdx\& small = int frac1tdt\& small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)\& small extXét int frac11-2xdx\& small extĐặt t = 1-2x\& small implies dt = -2dx\& small iff dx = -fracdt2\& small int frac11-2xdx\& small = -frac12 int frac1tdt\& small = -frac12ln|t| + C_2 = -frac12ln|1-2x| + C_2 (2)\& small extTừ (1) và (2)\& small (*) = frac13 ln|1+x| - frac13ln|1-2x| + C\& small = frac13 ln|frac1+x1-2x| + Cendaligned

eginaligned& small extSử dụng phương thức đổi biến số, tính những nguyên hàm bên dưới đây:\& small exta. int (1-x)^9dx ext (đặt u = 1 - x)\& small extb. int x(1+x^2)^frac32dx ext (đặt u = 1 + x^2)\& small extc. int cos^3x.sinxdx ext (đặt t = cosx)\& small extd. int fracdxe^x + e^-x + 2 ext (đặt u = e^x + 1)\& small extLời giải:\& small exta. Đặt u = 1 - x implies du = -dx iff dx = - du\& small int (1-x)^9dx = -int u^9du = -fracu^1010 + C = -frac(1-x)^1010 + C\& small extb. Đặt u = 1 + x^2 implies du = 2xdx iff xdx = fracdu2\& small int x(1+x^2)^frac32dx = frac12 int u^frac32du = frac15u^frac52 + C = frac15(1 + x^2)^frac52 + C\& small extc. Đặt t = cosx implies dt = -sinxdx iff sinxdx = -dt\& small int cos^3x.sinxdx = -int t^3dt = -fract^44 + C = -fraccos^4x4 + C\& small extd. Đặt u = e^x + 1 implies du = e^xdx\& small int fracdxe^x + e^-x + 2 = int frace^xe^2x + 1 + 2e^xdx = frace^x(e^x + 1)^2dx = int frac1u^2du = -frac1u + C = -frac1e^x + 1 + Cendaligned

eginaligned& small extSử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nhằm tính những nguyên hàm bên dưới đây:\& small exta. int xln(1+x)dx\& small extb. int (x^2+2x-1)e^xdx\& small extc. int xsin(2x+1)dx\& small extd. int (1-x)cosxdx\& small extPhương pháp nguyên hàm từng phần:\& small extĐặt egincasesu = u(x)\dv = v"(x)dxendcasesiffegincasesdu = u"(x)dx\v = v(x)endcases\& small implies int f(x)dx = u(x)v(x) - int u"(x)v(x)dx\& small extLời giải:\& small exta. int xln(1+x)dx\& small extĐặt egincasesu = ln(1+x)\dv = xdxendcasesiffegincasesdu = frac1x+1dx\v = fracx^22endcases\& small int xln(1+x)dx\& small = fracx^22ln(1+x) - int fracx^22(x+1)dx\& small = fracx^22ln(1+x) - frac12 int left( x-1+frac1x+1 ight)dx\& small = fracx^22ln(1+x) - frac12 left< fracx^22 - x + ln(1+x) ight>+ C\& small = frac12(x^2-1)ln(1+x) - fracx^24 + fracx2 + C\& small extb. int (x^2+2x-1)e^xdx\& small extĐặt egincasesu = x^2+2x-1\dv = e^xdxendcasesiffegincasesdu = (2x+2)dx\v = e^xendcases\& small int (x^2+2x-1)e^xdx\& small = (x^2+2x-1)e^x - 2int (x+1)e^xdx (*)\& small extXét int (x+1)e^xdx\& small extĐặt egincasesu = x+1\dv = e^xdxendcasesiffegincasesdu = dx\v = e^xendcases\& small int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C\& small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C\& small = (x^2-1)e^x + C\& small extc. int xsin(2x+1)dx\& small extĐặt egincasesu = x\dv = sin(2x+1)dxendcasesiffegincasesdu = dx\v = -frac12cos(2x+1)endcases\& small int xsin(2x+1)dx\& small = -frac12xcos(2x+1) + frac12 int cos(2x+1)dx\& small = -frac12xcos(2x+1) + frac14sin(2x+1)dx + C\& small extd. int (1-x)cosxdx\& small extĐặt egincasesu = 1-x\dv = cosdxendcasesiffegincasesdu = - dx\v = sinxendcases\& small int (1-x)cosxdx\& small = (1-x)sinx + int sinxdx\& small = (1-x)sinx - cosx + Cendaligned

cách thức Giải Bất Phương Trình chứa Căn chi Tiết

Câu Hỏi 6 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:


eginaligned& small exta. Mang lại int (x-1)^10dx. ext Đặt u=x-1, hãy viết (x-1)^10dx ext theo u cùng du\& small extb. Mang đến int fraclnxxdx. ext Đặt x=e^t, ext hãy viết int fraclnxxdx ext theo t và dt\& small extLời giải\& small exta. Theo đề bài, ta để u=x-1 implies x=u+1 implies dx = du implies (x-1)^10dx = u^10du\& small extb. Theo đề bài, ta đặt x=e^t implies dx = e^tdt implies fraclnxxdx = fracln(e^t)e^te^tdt = tdt\endaligned

Câu Hỏi 7 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:

Ta có: (xcosx)′ = cosx − xsinx hay −xsinx = (xcosx)′ − cosx. Hãy tính ∫(xcosx)′dx và ∫cosxdx. Từ kia tính ∫xsinxdx

Lời giải:

Ta có ∫(xcosx)′dx = xcosx + C1 và ∫cos⁡xdx = sin⁡x + C2

Dựa vào bí quyết ở đề bài, ta có

∫xsinxdx = −∫(−xsinx)dx = −∫<(xcosx)′ − cosx>dx = −∫(xcosx)dx + ∫cosxdx = −xcos⁡x − C1 + sin⁡x + C2 = −xcosx + sinx + C

Câu Hỏi 8 Trang 99 SGK Toán 12

Đề bài:

Cho P(x) là đa thức của x. Từ lấy một ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích phù hợp vào chỗ trống theo phương thức nguyên phân hàm từng phần.

 ∫P(x)exdx∫P(x)cosxdx∫P(x)lnxdx
uP(x)  
dvexdx  

Lời giải:

 ∫P(x)exdx∫P(x)cosxdx∫P(x)lnxdx
uP(x) P(x)lnx
dvexdx cosxdxP(x)dx

Tham khảo ngay những khoá học online của toancapba.com Education