Bài viết gợi ý giải những bài tập trong phần thắc mắc và bài xích tập với phần rèn luyện của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Ôn tập chương II.
Bạn đang xem: Toán 12 ôn tập chương 2 hình học
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Cho tía điểm $A$, $B$, $C$ cùng thuộc một mặt mong và cho biết thêm $widehat ACB = 90^0.$ vào các xác minh sau xác minh nào là đúng?a) Đường tròn qua ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm xung quanh cầu.b) $AB$ là 2 lần bán kính của mặt cầu đã cho.c) $AB$ không hẳn là đường kính của mặt cầu.d) $AB$ là đường kính của đường tròn giao tuyến đường tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng $(ABC).$
Lời giải:Khẳng định a “Đường tròn qua cha điểm $A$, $B$, $C$ nằm ở mặt cầu là xác minh đúng”.Khẳng định d là khẳng định đúng.
Bài 2. Mang đến tứ diện $ABCD$ gồm cạnh $AD$ vuông góc với phương diện phẳng $(ABC)$ với cạnh $BD$ vuông góc cùng với $BC.$ Biết $AB = AD = a.$ Tính diện tích s xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được chế tạo ra thành lúc quay mặt đường gấp khúc $BDA$ xung quanh $AB.$
Lời giải:
Khi quay đường gấp khúc $BDA$ xung quanh cạnh $AB$ ta được phương diện nón tất cả đỉnh $B$, con đường sinh $BD.$Ta có: $left{ eginarray*20lAD ot (ABC)\BC ot BDendarray ight..$$ Rightarrow left{ eginarray*20lBC ot AD\BC ot BDendarray ight.$ $ Rightarrow BC ot BA.$Do vậy tam giác $ABC$ vuông trên $B$ yêu cầu $widehat BAC Ta có: $BD = sqrt AB^2 + AD^2 = asqrt 2 $ (do tam giác $ABD$ vuông trên $A$).Diện tích bao quanh của phương diện nón là: $S_xq = pi r.l$ $ = pi .AD.BD = pi a^2sqrt 2 .$Thể tích của khối nón tạo vì chưng mặt nón nói trên là:$V = frac13pi .r^2.h$ $ = frac13pi .AD^2.AB = fracpi a^33.$
Bài 3. Chứng tỏ một hình chóp có toàn bộ các mặt bên cân nhau nội tiếp được trong một khía cạnh cầu.
Lời giải:
Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy. Vì chưng các ở bên cạnh của hình chóp đều bằng nhau nên $O$ biện pháp đều những đỉnh của nhiều giác đáy. Vậy nên đáy của hình chóp là 1 trong đa giác nội tiếp đường tròn trọng điểm $O$ cùng nhận $SO$ có tác dụng trục.Gọi $I$ là giao điểm của $SO$ với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, ta bao gồm $I$ phương pháp đều toàn bộ các đỉnh của hình chóp một đoạn $r = SI.$Vậy hình chóp luôn nội tiếp một mặt cầu $S(I;r).$
bài xích 4. Hình chóp $SABC$ tất cả một mặt mong tiếp xúc cùng với các bên cạnh $SA$, $SB$, $SC$ và tiếp xúc với ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$ trên trung điểm của mỗi cạnh. Chứng tỏ rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Lời giải:
Giả sử mặt mong $(S)$ xúc tiếp với các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ tại $Q$, $R$, $L$ với tiếp xúc với $AB$, $BC$, $CA$ tại những trung điểm $M$, $N$, $P$, ta có: $SQ$, $SR$, $SL$ là tiếp tuyến đường của $(S)$ kẻ từ bỏ $S$ nên: $SQ = SR = SL = a.$Tương tự, ta có:$AQ = AM = AP = b.$$BM = BR = BN = c.$$CN = CP = CL = d.$Mặt khác bởi $M$, $N$, $P$ là trung điểm của $AB$, $BC$, $CA$, suy ra:$AP = PC Rightarrow b = d.$$AM = BM Rightarrow b = c.$$ Rightarrow AB = BC = CA$ $ = 2b = 2c = 2d.$Hay $Delta ABC$ là tam giác hầu như $(1).$Ta có: $SA = a + b$, $SB = a + c$, $SC = a + d.$Suy ra $SA = SB = SC$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ ta gồm $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều.
Bài 5. đến tứ diện rất nhiều $ABCD$ cạnh $a.$ hotline $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(BCD).$a) chứng minh rằng $H$ là chổ chính giữa đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD.$ Tính độ dài $AH.$b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn lòng ngoại tiếp tam giác $BCD$ và chiều cao $AH.$
Lời giải:
a) Xét tía tam giác $AHB$, $AHC$, $AHD$ gồm chung cạnh $AH$ và $AB = AC = AD = a$ $ Rightarrow Delta AHB = Delta AHC = Delta AHD.$$ Rightarrow HB = HC = HD$ xuất xắc $H$ là vai trung phong đường tròn ngoại tiếp $Delta BCD.$Do $Delta BCD$ là tam giác rất nhiều và $BM$ là trung trực của $Delta BCD$ bắt buộc $BM$ cũng là trung tuyến.$ Rightarrow BM = fracasqrt 3 2$ $ Rightarrow bảo hành = frac23BM = fracasqrt 3 3.$Xét tam giác vuông $ABH$, ta có:$AH = sqrt AB^2 – BH^2 = fracasqrt 6 3.$b) Hình trụ tất cả đường tròn đáy ngoại tiếp $Delta BCD$ và độ cao $AH$ thì bán kính hình trụ là:$r = bảo hành = fracasqrt 3 3$ $ Rightarrow S_xq = 2pi .r.AH$ $ = 2pi .fracasqrt 6 3.fracasqrt 3 3$ $ = frac2pi a^2sqrt 2 3.$Thể tích của khối trụ là: $V = pi .r^2.AH$ $ = pi left( fracasqrt 3 3 ight)^2.fracasqrt 6 3$ $ Rightarrow V = fracpi a^3sqrt 6 9.$
Bài 6. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Từ vai trung phong $O$ của hình vuông dựng mặt đường thẳng $Delta $ vuông góc với phương diện phẳng $(ABCD).$ trên $Delta $ lấy điểm $S$ làm sao cho $OS = fraca2.$ Xác định vai trung phong và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$ Tính diện tích của mặt mong và thể tích của khối ước được làm cho bởi mặt mong đó.
Lời giải:
Do $O$ là trọng tâm của hình vuông $ABCD$ cũng là vai trung phong của mặt đường tròn nước ngoài tiếp hình vuông $ABCD$ yêu cầu đường thẳng $Delta $ là trục của đường tròn đó.Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $Delta $ với mặt phẳng trung trực của cạnh $SA$, khi đó $IS = IA = IB = IC = ID = r$ tốt mặt mong $S(I;r)$ là mặt mong ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$Ta bao gồm $Delta SMI$ đồng dạng $Delta SOA.$$ Rightarrow fracSISA = fracSMSO$ $ Leftrightarrow đắm say = fracSA.SMSO = fracSA^22SO$ (trong kia $SA^2 = OA^2 + SO^2$ $ = left( fracasqrt 2 2 ight)^2 + fraca^24$ $ = frac3a^24$).Suy ra nửa đường kính $r = ham = fracfrac3a^242.fraca2 = frac3a4.$Diện tích mặt cầu $S(I;r)$ là: $S = 4pi r^2 = frac9pi a^24.$Thể tích của khối ước là: $V = frac43pi r^3 = frac9pi a^316.$
Bài 7. Cho hình trụ có nửa đường kính $r$, trục $OO’ = 2r$ cùng mặt cầu đường kính $OO’.$a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và mặc tích bao phủ của phương diện trụ.b) Hãy đối chiếu thể tích khối trụ với thể tích khối cầu khiến cho bởi hình trụ với mặt ước đã cho.
Lời giải:a) Ta có: diện tích s xung quanh của hình tròn trụ là $S_xq = 2pi .r.h = 4pi r^2.$Diện tích phương diện cầu bán kính $r$ là: $S = 4pi .r^2.$Vậy diện tích mặt cầu và ăn diện tích xung quanh của hình tròn nói trên là bởi nhau.b) Thể tích của khối trụ là: $V_T = pi .r^2.h = 2pi r^3.$Thể tích của khối cầu là: $V_C = frac43pi r^3$ $ Rightarrow fracV_TV_C = frac2pi r^3frac43pi r^3 = frac32.$
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM1. Mang đến hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ gồm cạnh bằng $a.$ gọi $S$ là diện tích xung xung quanh của hình tròn có hai đường tròn lòng ngoại tiếp hai hình vuông $ABCD$ cùng $A’B’C’D’.$ diện tích $S$ là:(A) $pi a^2.$(B) $pi a^2sqrt 2 .$(C) $pi a^2sqrt 3 .$(D) $fracpi a^2sqrt 2 2.$
2. điện thoại tư vấn $S$ là diện tích s xung quanh của hình nón tròn luân chuyển được sinh bởi đoạn thẳng $AC’$ của hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả cạnh $b$ lúc quay xung quanh trục $AA’.$ diện tích $S$ là:(A) $pi b^2.$(B) $pi b^2sqrt 2 .$(C) $pi b^2sqrt 3 .$(D) $pi b^2sqrt 6 .$
3. Hình chóp $S.ABC$ tất cả đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$, tất cả $SA$ vuông góc với phương diện phẳng $(ABC)$ và có $SA = a$, $AB = b$, $AC = c.$ Mặt cầu đi qua những đỉnh $S$, $A$, $B$, $C$ có bán kính $r$ bằng:(A) $frac2(a + b + c)3.$(B) $2sqrt a^2 + b^2 + c^2 .$(C) $frac12sqrt a^2 + b^2 + c^2 .$(D) $sqrt a^2 + b^2 + c^2 .$
4. đến hai điểm cố định $A$, $B$ cùng một điểm $M$ di động cầm tay trong không gian nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện $widehat MAB = alpha $ với $0^0 (A) phương diện nón.(B) mặt trụ.(C) mặt cầu.(D) khía cạnh phẳng.
5. Số mặt cầu cất một đường tròn cho trước là:(A) $0.$(B) $1.$(C) $2.$(D) Vô số.
6. Trong số đa diện dưới đây đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:(A) Hình chóp tam giác (tứ diện).(B) Hình chóp ngũ giác đều.(C) Hình chóp tứ giác.(D) Hình vỏ hộp chữ nhật.
7. Mang lại tứ diện $ABCD$ bao gồm cạnh $AD$ vuông góc với phương diện phẳng $(ABC)$ cùng cạnh $BD$ vuông góc cùng với $BC.$ khi quay những cạnh của tứ diện đó bao phủ trục là cạnh $AB$ tất cả bao nhiêu hình nón được tạo nên thành?(A) $1.$(B) $2.$(C) $3.$(D) $4.$
8. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả cạnh bằng $a.$ Một hình nón tất cả đỉnh là trung tâm của hình vuông $ABCD$ và bao gồm đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông $A’B’C’D’.$ diện tích s xung quanh của hình nón đó là:(A) $fracpi a^2sqrt 3 3.$(B) $fracpi a^2sqrt 2 2.$(C) $fracpi a^2sqrt 3 2.$(D) $fracpi a^2sqrt 6 2.$
9. Mang đến tam giác đông đảo $ABC$ cạnh $a$ quay bao bọc đường cao $AH$ tạo cho một hình nón. Diện tích s xung quanh của hình nón đó là:(A) $pi a^2.$(B) $2pi a^2.$(C) $frac12pi a^2.$(D) $frac34pi a^2.$
10. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?(A) mặt trụ và mặt nón gồm chứa những đường thẳng.(B) đầy đủ hình chóp luôn luôn luôn nội tiếp trong khía cạnh cầu.(C) có vô số mặt phẳng giảm mặt cầu theo đa số đường tròn bởi nhau.(D) luôn luôn có hai đường tròn có cung cấp kính khác biệt cùng vị trí một mặt nón.
11. đến hình trụ có nửa đường kính đáy bằng $r.$ gọi $O$ với $O’$ là tâm của hai đáy với $OO’ = 2r.$ Một mặt ước $(S)$ tiếp xúc với hai đáy của hình tròn tại $O$ với $O’.$ trong những mệnh đề dưới đây mệnh đề như thế nào sai?(A) diện tích s mặt ước bằng diện tích xung quanh của hình trụ.(B) diện tích s mặt cầu bởi $frac23$ diện tích toàn phần của hình trụ.(C) Thể tích khối cầu bởi $frac34$ thể tích của khối trụ.(D) Thể tích khối cầu bởi $frac23$ thể tích của khối trụ.
12. Một hình vỏ hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và bao gồm ba size là $a$, $b$, $c.$ khi đó nửa đường kính $r$ của mặt mong bằng:(A) $frac12sqrt a^2 + b^2 + c^2 .$(B) $sqrt a^2 + b^2 + c^2 .$(C) $sqrt 2left( a^2 + b^2 + c^2 ight) .$(D) $fracsqrt a^2 + b^2 + c^2 3.$
13. Một hình trụ tất cả hai đáy là hai hình tròn trụ nội tiếp nhị mặt của hình lập phương cạnh $a.$ Thể tích của khối trụ là:(A) $frac12a^3pi .$(B) $frac14a^3pi .$(C) $frac13a^3pi .$(D) $a^3pi .$
14. Một hình tứ diện phần nhiều cạnh $a$ gồm một đỉnh trùng cùng với đỉnh của hình nón, tía đỉnh sót lại nằm trên phố tròn lòng của hình nón. Khi đó diện tích s xung quanh của hình nón là:(A) $frac12pi a^2sqrt 3 .$(B) $frac13pi a^2sqrt 2 .$(C) $frac13pi a^2sqrt 3 .$(D) $pi a^2sqrt 3 .$
15. Trong số mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?(A) tất cả một mặt ước ngoại tiếp một tứ diện bất kì.(B) gồm một mặt ước ngoại tiếp một hình chóp đều.(C) tất cả một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.(D) bao gồm một mặt ước ngoại tiếp một hình vỏ hộp chữ nhật.
16. Fan ta bỏ tía quả láng bàn cùng form size vào trong một cái hộp hình trụ gồm đáy bằng hình trụ lớn của trái bóng bàn và chiều cao bằng $3$ lần đường kính quả trơn bàn. Hotline $S_1$ là tổng diện tích của $3$ trái bóng bàn, $S_2$ là diện tích s xung xung quanh của hình trụ. Tỉ số $fracS_1S_2$ bằng:(A) $1.$(B) $2.$(C) $1,5.$(D) $1,2.$
17. Bạn ta xếp $7$ viên bi có cùng bán kính vào một cái lọ hình trụ làm sao để cho tất cả các viên bi hầu như tiếp xúc cùng với đáy, viên bi nằm ở chính giữa tiếp xúc cùng với $6$ viên bi bao quanh và từng viên bi bao phủ đều tiếp xúc với những đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của lọ hình trụ là:(A) $16pi r^2.$(B) $18pi r^2.$(C) $9pi r^2.$(D) $36pi ^2.$
18. Cho tía điểm $A$, $B$, $C$ nằm tại một phương diện cầu, biết rằng góc $ACB = 90^0.$ vào các xác minh sau, xác định nào là đúng?(A) $AB$ là một đường kính của mặt cầu.(B) luôn luôn bao gồm một đường tròn nằm ở mặt cầu ngoại tiếp tam giác $ABC.$(C) Tam giác $ABC$ vuông cân nặng tại $C.$(D) phương diện phẳng $(ABC)$ cắt mặt cầu theo một giao đường là đường tròn lớn.
Nội dung chương Mặt Nón, khía cạnh Trụ, Mặt mong xoay quanh vấn đề tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ với hình cầu, hồ hết vật thể không còn xa lạ và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài xích ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kỹ năng và kiến thức đã học, rèn luyện tài năng giải bài tập, giúp cải thiện chất lượng, kết quả học tập.
1. đoạn clip bài giảng
2. Cầm tắt lý thuyết
2.1. Các khái niệm bắt buộc nhớ
2.2. Những công thức tính thể tích và ăn mặc tích nên nhớ
3. Bài xích tập minh hoạ
4. Luyện tập Bài 3 Chương 2 Toán 12
4.1. Trắc nghiệm
4.2. Bài xích tập SGK
5. Hỏi đáp về bài bác 3 Chương 2 Toán 12
-Mặt nón, hình nón, khối nón.
-Mặt trụ, hình trụ, khối trụ.
-Mặt cầu, khối cầu, vị trí tương đối giữa mặt cầu với con đường thẳng, mặt phẳng.
Xem thêm: Các Dạng Toán Hình Lớp 11 Chương 1, Phân Dạng Và Bài Tập Hình Học 11 Học Kỳ I
a) công thức tính diện tích và thể tích liên quan đến hình nón, khối nón
-Cho hình nón bao gồm đường sinh(l), nửa đường kính đáy(R), chiều cao(h), ta có các công thức sau:
+ Thể tích khối nón:(V_Khoi , , non=frac13.S.h=frac13.pi .R^2.h).
+ diện tích s xung xung quanh hình nón:(S_xq=pi Rl).
+ diện tích s toàn phần hình nón:(S_tp=pi Rl+pi R^2).
b) các công thức đo lường và tính toán liên quan tiền đển hình trụ, khối trụ
- Thể tích khối trụ:(V=pi .R^2.h)(=Sđáy.h).
- diện tích s xung xung quanh hình trụ:(S_xq=2pi .R.h).
- diện tích s toàn phân hình trụ:(S_tp=2pi .R.h+2pi R^2).
- trong đó:
+ R: bán kính đáy.
+ h: chiều cao (k/c giữa hai đáy = OO").
c) Công thức đo lường và tính toán liên qua cho mặt cầu, khối cầu
- cách làm tính thể tích khối cầu bán kính R:(V=frac43pi .R^3).
- công thức tính diện tích s mặt cầu bán kính R:(S = 4pi R^2.)
Bài tập minh họa
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC vuông trên A tất cả AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn luân phiên thu được.
Lời giải:
Kẻ mặt đường cao AH của ∆ABC
Khi con quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC hình thành hai khối nón bình thường đáy có bán kính đáy là R = AH và độ cao lần lượt là HB cùng HC.
Ta có:(frac1AH^2 = frac1AB^2 + frac1AC^2 = frac116a^2 + frac19a^2 = frac25144a^2.)
Suy ra(AH^2 = frac25144a^2.)
Mặt khác:(HB + HC = BC = sqrt AB^2 + AC^2 = 5a.)
Thể tích khối tròn xoay xuất hiện là:
(V = V_1 + V_2 = frac13pi AH^2.left( HB + HC ight) = frac13pi .frac144a^225.5a = frac144pi a^215.)
Bài tập 2:
Cho một cái bể nước hình vỏ hộp chữ nhật bao gồm ba kích cỡ 2m, 3m, 2m thứu tự là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Mỗi ngày nước làm việc trong bể được mang ra bởi một chiếc gáo hình trụ có độ cao là 5 cm bà bán kính đường tròn lòng là 4 cm. Mức độ vừa phải một ngày được múc ra 170 gáo nước để thực hiện (Biết các lần múc là múc đầy gáo). Hỏi cho ngày thứ từng nào bể đã hết nước?
Lời giải:
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể tà tà thể tích của hình vỏ hộp chữ nhật:(V = 2.3.2 = 12left( m^3 ight).)
Thể tích nước đựng đầy vào một gáo là:(V_g = pi 4^2.5 = 80pi left( cm^3 ight) = fracpi 12500left( m^3 ight).)
Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức vào một ngày lượng được được lôi ra là:(V_m = 170.V_g = frac171250pi left( m^3 ight)).
Ta có:(fracVV_m = frac12frac171250pi simeq 280,8616643)
Vậy mang đến ngày đồ vật 281 bể sẽ hết nước.
Bài tập 3:
Một quả bóng bàn cùng một chiếc bát hình trụ tất cả cùng chiều cao. Fan ta để quả trơn lên chiếc chén thấy phần ở xung quanh của trái bóng có độ cao bằng(frac34)chiều cao của nó. Tìm kiếm V1, V2lần lượt là thể tích của trái bóng và loại chén.
Lời giải:
Gọi độ cao của chiếc bát hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Gọi O là vai trung phong của quả bóng bàn, lúc đó khoảng cách từ O mang lại mặt phẳng thiết diện bằng(frach2)
Bán kính con đường tròn đáy hình trụ là(AI = sqrt OA^2 - OI^2 = frachsqrt 3 2.)
Thể tích của trái bóng bàn là (V_1 = frac43pi R^3 = frac43pi h^3 = frac4pi h^33.)
Thể tích của chiếc chén bát là:(V_2 = pi r^2h_c = pi left( frachsqrt 3 2 ight)^2.2h = frac3pi h^32.)
Bài tập 4:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, BC=2a. SA vuông góc (ABC) và (SA = 2asqrt 2). Tính thể tích V của khối mong ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên:(AB = AC = fracBCsqrt 2 = asqrt 2 ;AM = fracBC2 = a)
Dựng đường thẳng qua M tuy nhiên song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại 0.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do ABCD là hình chữ nhật nên:(OM=AE=a sqrt 2.)
Mặc khác:(R = OA = sqrt OM^2 + MA^2 = sqrt left( asqrt 2 ight)^2 + a^2 = asqrt 3)
Vậy thể tích khối ước ngoại tiếp hình chóp là:(V = frac43pi R^3 = 4pi a^3sqrt 3 .)
