Phương trình tất cả dạng (a^x = bleft( {0 0) ta tất cả (a^x = b Leftrightarrow x = log _ab).

Bạn đang xem: Toán 12 phương trình mũ và logarit

+) cùng với (b le 0) phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình (5^x = 125).

Ta có:

(eginarrayl5^x = 125\ Leftrightarrow x = log _5125\ Leftrightarrow x = 3endarray)

2. Phương pháp giải một trong những phương trình mũ solo giản

a) Đưa về thuộc cơ số

Ví dụ: Giải phương trình (left( frac12 ight)^2x - 1 = 2^3x)

Ta có:

(eginarraylleft( frac12 ight)^2x - 1 = 2^3x\ Leftrightarrow 2^ - 2x + 1 = 2^3x\ Leftrightarrow - 2x + 1 = 3x\ Leftrightarrow 1 = 5x\ Leftrightarrow x = dfrac15endarray)

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình (4^x - 2^x + 1 + 1 = 0).

Ta có:

(eginarrayl4^x - 2^x + 1 + 1 = 0\ Leftrightarrow left( 2^x ight)^2 - 2.2^x + 1 = 0endarray)

Đặt (t = 2^x > 0) ta được:

(eginarraylt^2 - 2t + 1 = 0\ Leftrightarrow left( t - 1 ight)^2 = 0\ Leftrightarrow t - 1 = 0\ Leftrightarrow t = 1endarray)

(eginarrayl Rightarrow 2^x = 1\ Leftrightarrow x = log _21\ Leftrightarrow x = 0endarray)

c) Logarit hóa

Ví dụ: Giải phương trình (3^x.2^x^2 = 1).

Logarit nhì vế cơ số (3) ta được:

(eginarrayllog _3left( 3^x.2^x^2 ight) = log _31\ Leftrightarrow log _33^x + log _32^x^2 = 0\ Leftrightarrow x + x^2log _32 = 0\ Leftrightarrow xleft( 1 + xlog _32 ight) = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylx = 0\1 + xlog _32 = 0endarray ight.\ Leftrightarrow left< eginarraylx = 0\x = - dfrac1log _32 = - log_23endarray ight.endarray)


d) Đưa về phương trình tích.

Phương pháp:

- cách 1: Tìm điều kiện khẳng định (nếu có)

- bước 2: Biến thay đổi phương trình về dạng tích (AB = 0 Leftrightarrow left< eginarraylA = 0\B = 0endarray ight.)

- bước 3: Giải các phương trình (A = 0,B = 0) tìm nghiệm.

- cách 4: Kiểm tra đk và kết luận nghiệm.


e) sử dụng bất đẳng thức, tính solo điệu của hàm số.

Phương pháp:

- cách 1: Tìm đk xác định.

- bước 2: Có thể làm 1 trong các hai biện pháp sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình làm sao để cho một vế là hàm số đối kháng điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

Cách 2: Biến thay đổi phương trình về dạng (fleft( u ight) = fleft( v ight)) cùng với (f) là hàm số đối kháng điệu.

- cách 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

- cách 4: Kết luận nghiệm tốt nhất của phương trình.


II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình bao gồm dạng (log _ax = b) (left( {0 2. Cách giải một vài phương trình logarit

a) Đưa về thuộc cơ số

Ví dụ: Giải phương trình (log _2x + log _4x = 1)

Ta có:

(eginarrayllog _2x + log _4x = 1\ Leftrightarrow log _2x + dfrac12log _2x = 1\ Leftrightarrow dfrac32log _2x = 1\ Leftrightarrow log _2x = dfrac23\ Leftrightarrow x = 2^frac23\ Leftrightarrow x = sqrt<3>4endarray)

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình (dfrac1ln x + dfrac1ln x - 1 = dfrac56).

ĐK: (left{ eginarraylx > 0\ln x e 0\ln x e 1endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx > 0\x e 1\x e eendarray ight.)

Đặt (t = ln xleft( t e 0,t e 1 ight)) ta được:

(eginarrayldfrac1t + dfrac1t - 1 = dfrac56\ Leftrightarrow dfrac6t - 6 + 6t6tleft( t - 1 ight) = dfrac5tleft( t - 1 ight)6tleft( t - 1 ight)\ Rightarrow 12t - 6 = 5t^2 - 5t\ Leftrightarrow 5t^2 - 17t + 6 = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylt = 3\t = dfrac25endarray ight.left( TM ight)\ Rightarrow left< eginarraylln x = 3\ln x = dfrac25endarray ight.\ Leftrightarrow left< eginarraylx = e^3\x = e^frac25endarray ight.left( TM ight)endarray)

Vậy phương trình tất cả tập nghiệm (S = left e^3;e^frac25 ight\).

các dạng bài bác tập phương trình mũ với logarit chắc hẳn rằng đã làm khó khăn không ít các bạn học sinh với sát 10 phương thức giải không giống nhau. Bởi thế, nội dung bài viết này sẽ tổng hợp và phân loại cho các em những bài tập phương trình mũ với logarit siêu không hề thiếu và khôn xiết dễ nhớ.



Trước khi đi vào chi tiết bài viết, các em cùng đọc bảng tiếp sau đây để nhận định độ khó cũng giống như vùng kỹ năng và kiến thức cần ôn khi bắt tay vào làm bài xích tập phương trình mũ với logarit nhé!

Dưới đấy là file tổng hợp triết lý áp dụng cho bài xích tập phương trình mũ cùng logarit. Những em nhớ cài đặt về để ôn tập cấp tốc hơn nhé!

Tải xuống tệp tin tổng hợplý thuyết phương trình mũ cùng logarit

1. Ôn tập kim chỉ nan về phương trình mũ với logarit

1.1. Triết lý phương trình mũ

Về định nghĩa:

Hiểu solo giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có cất biểu thức mũ.

Theo định nghĩađã được học trong cácbài tập phương trình mũ và logarit,ta bao gồm định nghĩa cùng dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ cùng với a,b mang đến trước và $0

Phương trình mũ gồm nghiệm khi:

Với $b>0$: $a^x=bRightarrowx=log_ab$

Với $bleq0$: phương trình mũ vô nghiệm

Các phương pháp phương trình mũ cơ bản cần nhớ:

Để giải phương trình mũ áp dụng trong những bài tập phương trình mũ và logarit, các em bắt buộc ghi nhớ những công thức cơ bản của số mũ ship hàng áp dụng trong công việc biến đổi. Bí quyết mũ cơ phiên bản được tổng hòa hợp trong bảng sau:

*

Ngoài ra, các đặc thù của số mũ trong bài xích tập phương trình mũ với logaritcũng là 1 phần kiến thức yêu cầu nhớ. Tổng hợp đặc thù của số nón được toancapba.com liệt kê theo bảng bên dưới đây:

*

1.2. Kim chỉ nan phương trình logarit

Về định nghĩa:

Với cơ số $a$dương với khác 1 thì phương trình tất cả dạng như sau được call là phương trình logarit cơ bản: $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu tất cả miền cực hiếm là $mathbbR$. Vế buộc phải phương trình là 1 hàm hằng. Vị vậy phương trình logarit cơ bạn dạng luôn có nghiệm duy nhất. Theo quan niệm của logarit ta thuận lợi suy ra nghiệm sẽ là $x=a^b$

Với đk 0

*

2. Những dạng bài bác tập phương trình mũ cùng logarit hay gặp

2.1. Các dạng bài xích tập phương trình mũ kèm lấy ví dụ minh hoạ

Dạng 1: Dạng toán đem đến cùng cơ số

Ở phương thức giải phương trình nón này, ta cần thay đổi theo cách làm sau để đưa về thuộc cơ số:

Với $a>0$ cùng a ≠ 1 ta bao gồm $a^f(x)=a^g(x)Rightarrowf(x)=g(x)$

Ta cùng xét ví dụ tiếp sau đây để làm rõ cách giải bài tập phương trình mũ cùng logaritđưa về cùng cơ số này:

*

Dạng 2: Dạng toán đặt ẩn phụ

Đây là phương thức giải bài bác tập phương trình mũ và logarit thường gặp mặt trong những đề thi. Chúng ta thường áp dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban sơ thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộcBước 2: Đặt ẩn phụ phù hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụBước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ bắt đầu và tìm nghiệm thỏa mãn nhu cầu điều kiệnBước 4: cầm giá trị t tìm kiếm được vào giải phương trình nón cơ bảnBước 5: Kết luận

Các phép ẩn phụ giải bài tập phương trình mũ với logaritthường chạm mặt như sau:

Dạng 1: các số hạn trong phương trình mũ rất có thể biểu diễn qua $a^f(x)$ yêu cầu ta để $t=a^f(x)$

Lưu ý trong một số loại này ta còn chạm chán một số bài xích mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình vẫn chứa x. Lúc đó, ta gọi đó là những bài toán để ẩn phụ không hoàn toàn.

Dạng 2: Phương trình mũ phong cách bậc $n$ so với $a^nf(x)$ với $b^nf(x)$

Với cách thức giải bài tập phương trình mũ cùng logaritnày, ta đang chia cả 2 vế của phương trình mũ cho$a^nf(x)$ hoặc $b^nf(x)$ với n là số tự nhiên và thoải mái lớn nhất bao gồm trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.

Dạng 3: trong phương trình bao gồm chứa 2 cơ số nghịch đảo

Loại 1: $A.a^f(x)+B.b^f(x)+C=0$ cùng với $a.b=1$

=> Đặt ẩn phụ $t=a^f(x)Rightarrowb^f(x)=frac1t$

Loại 2: $A.a^f(x)+B.b^f(x)+C=0$ cùng với $a.b=c^2$

=> chia 2 vế của phương trình mũ cho c^f(x) và đưa về dạng 1.

Xem thêm: Bài 11 toán 8 tập 2 trang 40, bài 11 trang 40 sgk toán 8 tập 2

Ta cùng xét những ví dụ sau để hiểu rõ hơn về phong thái đặt ẩn phụ giải phương trình mũ nhé!

*

*

Dạng 3: Logarit hoá

Trong một vài trường hợp, chúng ta không thể giải bài tậpphương trình mũ với logarit bằng cách đem lại cùng cơ số hoặc cần sử dụng ẩn phụ được. Lúc đó, những em buộc phải lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số tương thích nào đó để mang về dạng phương trình nón cơ bản. Phương thức giải bài tập phương trình mũ cùng logarit này được gọi là logarit hoá.

Dấu hiệu phân biệt bài toán phương trình nón áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình nhiều loại này thường sẽ có dạng $a^f(x).b^g(x).c^h(x)=d$ (tức là trong phương trình có chứa được nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng không giống nhau). Khi đó, những em có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số $a$ (hoặc $b$, hoặc $c$).

Các cách làm logarit hoá phương trình mũ như sau:

*

Sau đây, những em cùng theo dõi lấy một ví dụ minh hoạ:

*

*

Dạng 4: áp dụng tính 1-1 điệu của hàm số giải phương trình mũ

Để thực hiện tính 1-1 điệu vào trong cách giải bài tập phương trình mũ và logarit, ta cần nắm rõ cách điều tra khảo sát hàm số mũ như sau:

Tập khẳng định của hàm số mũ $y=a^x (0

Chiều trở thành thiên:

$a>1$: Hàm số luôn đồng biến

$0

Tiệm cận: Trục hoành $Ox$ là mặt đường tiệm cận ngang

Đồ thị: Đi qua điểm $(0;1), (1;a)$ với nằm phía bên trên trục hoành.

Để giải theo phương pháp giải phương trình mũ này, ta buộc phải làm theo các bước sau đây:

Hướng 1:

• cách 1. Gửi phương trình về dạng $f(x)=k$.

• bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D. Xác định hàm số đối chọi điệu

• cách 3. Nhấn xét:

+ cùng với $x=x_0$ ⇔ $f(x)=f(x_0)=k$ vì vậy $x=x_0$ là nghiệm.

+ với $x>x_0$ ⇔ $f(x)>f(x_0)=k$ cho nên phương trình vô nghiệm.

+ với $x

• cách 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

• bước 1. đưa phương trình về dạng $f(x)=g(x)$.

• cách 2. điều tra khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$ cùng $y=g(x)$. Xác định hàm số $y=f(x)$ là hàm số đồng trở nên còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hóa hoặc là hàm hằng.

• cách 3. Xác minh $x_0$ làm sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ .

• cách 4. Kết luận vậy $x=x_0$là nghiệm nhất của phương trình.

Hướng 3:

• bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(u)=f(v)$.

• cách 2. điều tra khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$. Xác minh hàm số đơn điệu.

• bước 3. Khi ấy $f(u)=f(v)$ ⇔ $u=v$.

Ta xét những ví dụ sau giải bài xích tậpphương trình mũ với logaritsử dụng tính solo điệu:

*

Dạng 5: Giải phương trình mũ bao gồm chứa tham số

Với phương trình tất cả chứa tham số: $f(x;m)=g(m)$, bọn họ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của thiết bị thị hàm số (C): $y=f(x;m)$ và mặt đường thẳng (d): $y=g(m)$

Bước 2: Xét hàm số $y=f(x;m)$

Tìm miền khẳng định D

Tính đạo hàm $y’$ rồi giải phương trình $y’=0$

Lập bảng phát triển thành thiên của hàm số

Bước 3: Kết luận:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi minf(x;m) nhỏ hơn hoặc bằng g(m) nhỏ hơn hoặc bằng $maxf(x;m)$ $(xin mathbbR)$

Phương trình tất cả k nghiệm tách biệt khi và chỉ khi (d) giảm (C) tại K điểm phân biệt.

Phương trình vô nghiệm khi còn chỉ khi (d) giao (C) bởi rỗng

Ta cùng xét ví dụ sau đây:

*

*

2.2. Các dạng bài tập phương trình logarit kèm lấy ví dụ minh hoạ

Dạng 1: phương thức đưa về cùng cơ số

Một lưu ý bé dại cho những em đó là trong quá trình thay đổi để kiếm tìm ra phương pháp giải bài tập phương trình mũ và logarit, bọn họ thường quên việc kiểm soát điều hành miền xác minh của phương trình. Bởi vậy để cho bình an thì kế bên phương trình logarit cũng tương tự các bài tập phương trình mũ với logaritcơ bản, các bạn nên để điều kiện xác minh cho phương trình trước khi biến đổi.

Phương pháp giải dạng toán này như sau:

Trường đúng theo 1: $log_af(x)=bRightarrow f(x)=a^b$.Trường hợp 2: $log_af(x)=log_ag(x)Rightarrow f(x)=g(x)$.

Ta thuộc xét ví dụ sau nhằm rõ hơn về kiểu cách giải bài tập phương trình mũ và logaritbằng cách đưa về cùng cơ số:

*

Dạng 2: phương thức đặt ẩn phụ

Ở cách giải phương trình logaritnày, khi để ẩn phụ, bọn họ cần chú ý xem miền cực hiếm của ẩn phụ nhằm đặt đk cho ẩn phụ hoặc không. Ta tất cả công thức tổng quát như sau:

Phương trình dạng: $Q=0 -> Đặt t=log_ax (xin mathbbR)$

Các em cùng toancapba.com xét ví dụ như sau đây:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hoá

Bản chất của vấn đề giải phương trình logarit cơ phiên bản (ở trên) cũng chính là mũ hóa 2 vế cùng với cơ số a. Trong một số trường hợp, phương trình gồm cả loga bao gồm cả mũ thì ta rất có thể thử vận dụng mũ hóa 2 vế để giải.

Phương trình $log_af(x)=log_bg(x) (0

Ta đặt $log_af(x)=log_bg(x)=t$ => Hoặc $f(x)=a^t$ hoặc $g(x)=b^t$

=> Đưa về dạng phương trình ẩn t.

*

Dạng 4: dùng đồ thị giải phương trình logarit

Giải phương trình: $log_ax=f(x) (0

Bước 1: Vẽ đồ vật thị các hàm số: $y=log_ax$ $(0

Bước 2: kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị

Ta gồm ví dụ minh hoạ về phương thức giải bài tập phương trình mũ với logaritnày như sau:

*

*

3. Bài xích tập phương trình mũ và logarit luyện tập

Để thành thạo tất cả các dạng bài xích tập phương trình mũ với logarit, toancapba.com gửi bộ quà tặng kèm theo các em file tổng phù hợp bài tập phương trình mũ cùng logarit chọn thanh lọc từ hầu hết đề luyện thi đại học được thầy cô toancapba.com review cao chất lượng. Đừng quên tải về nhé!

Tải xuống file bài tập phương trình mũ với logarit bao gồm giải đưa ra tiết

Các em đã cùng toancapba.com tổng kết lại toàn bộ lý thuyết và những dạng bài tập phương trình mũ cùng logarit. Chúc các em luôn luôn đạt điểm cao nhé!