Toán hình 11 bài 4 hai mặt phẳng vuông góc (toán 11, toán học lớp 11

Nội dung bài bác học sẽ giúp đỡ các em thế được khái niệm, cách xác minh góc giữa hai mặt phẳng, mối liên hệ của diện tích đa giác cùng hình chiếu của nó, những điều khiếu nại để nhì mặt phẳng vuông góc nhau. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp đỡ các em ra đời các kỹ năng giải bài tập liên quan đến xác minh góc giữa hai phương diện phẳng, chứng minh hai phương diện phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: Toán hình 11 bài 4 hai mặt phẳng vuông góc

1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Góc giữa hai mặt phẳng

1.2. Nhị mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp mọi và hình chóp cụt đều

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 4 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm về
Hai mặt phẳng vuông góc

3.2 bài bác tập SGK và nâng cấp về
Hai mặt phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học tập 11

a) Định nghĩa

-Góc thân hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng theo lần lượt vuông góc với nhị mặt phẳng đó.

-Nhận xét:Nếu nhì mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa hai phương diện phẳng đó bằng 0o.

b) Cách xác định góc thân hai mặt phẳng cắt nhau:

-Cho nhị mặt phẳng (P) cùng (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

-Lấy I bất kì thuộc c.

-Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

-Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

-Khi đó góc thân hai khía cạnh phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

c) diện tích s hình chiếu của một đa giác

-Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích s hình chiếu vuông góc của nhiều giác kia trên (Q),(varphi)là góc thân (P) với (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).

1.2. Nhị mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa

-Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu như góc giữa chúng bởi 90o.

b) những định lý

-Định lý 1:Nếu một phương diện phẳng đựng một mặt đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì nhì mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

-Hệ trái 1:Nếu nhì mặt phẳng (P) với (Q) vuông góc cùng nhau thì bất cứ đường trực tiếp a nào bên trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với khía cạnh phẳng (Q).

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

-Hệ quả 2:Nếu nhị mặt phẳng (P) với (Q) vuông góc với nhau với A là một trong điểm trong (P) thì con đường thẳng a trải qua điểm A và vuông góc cùng với (Q) sẽ nằm trong (P).

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

-Hệ trái 3:Nếu nhì mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với khía cạnh phẳng thứ cha thì giao tuyến đường của bọn chúng vuông góc với mặt phẳng sản phẩm ba.

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

a) Hình lăng trụ đứng

-Định nghĩa:Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có kề bên vuông góc với đáy.

-Nhận xét:Các mặt mặt của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật cùng vuông góc với mặt đáy.

b) Hình lăng trụ đều

-Định nghĩa:Hình lăng trụ phần đông là hình lăng trụ đứng tất cả đáy là nhiều giác đều.

-Nhận xét:Các mặt bên của hình lăng trụ hầu như là các hình chữ nhật cân nhau và vuông góc với khía cạnh đáy.

c) Hình vỏ hộp đứng

-Định nghĩa:Hình vỏ hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

-Nhận xét:Trong hình hộp đứng tư mặt mặt đều là hình chữ nhật.

d) Hình vỏ hộp chữ nhật

-Định nghĩa:Hình hộp chữ nhật là hình vỏ hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

-Nhận xét:Tất cả 6 phương diện của hình vỏ hộp chữ nhật mọi là hình chữ nhật.

Xem thêm: Giải Bài 6 Trang 10 Toán 7 Tập 2, Giải Bài 6 Trang 10 Sgk Toán 7 Tập 2

e) Hình lập phương

-Định nghĩa:Hình lập phương là hình vỏ hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

1.4. Hình chóp đầy đủ và hình chóp cụt đều

a) Hình chóp đều

-Định nghĩa:Một hình chóp được điện thoại tư vấn là hình chóp số đông nếu đáy của chính nó là nhiều giác hồ hết và các sát bên bằng nhau.

-Nhận xét:

+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ tự đỉnh hotline là mặt đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp hầu hết đáy của chính nó là nhiều giác gần như và chân con đường cao của hình chóp trùng với trọng điểm của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp mọi đáy của chính nó là nhiều giác hầu như và các cạnh bên tạo voéi dưới đáy các góc bởi nhau.

b) Hình chóp cụt

-Định nghĩa:Khi cắt hình chóp các bởi 1 mặt phẳng tuy nhiên song với lòng để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt này được gọi là hình chóp cụt đều.

-Nhận xét:

+ Hai đáy của hình chóp cụt các là 2 đa giác đầy đủ đồng dạng với nhau.

+Đoạn nối trọng tâm 2 lòng được hotline là con đường cao của hình chóp cụt đều.

+Trong hình chóp cụt đều những mặt bên là hồ hết hình thang thăng bằng nhau.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bao gồm cạnh bởi a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) với (DA’C).

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bảo hành = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân nặng AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) cùng (AB’I).

Theo bí quyết hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông trên A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Minh chứng rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân nặng tại A và O là trung điểm của AC yêu cầu SO là mặt đường cao của tam giác).

Từ (1) cùng (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC với BM. Chứng tỏ rằng:((SAC) ot (SMB).)

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ từ bỏ (1) và (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)