Giải Toán Hình Bài 3 Lớp 12, Giải Bài 3 Trang 12 Sgk Hình Học 12

Tính thể tích khối đa diện là dạng toán đặc trưng nhất sống chương này, để hoàn toàn có thể giải được những bài tập dạng này yên cầu khả năng vân dụng, tổng hợp những kiến thức hình học không gian đã được học và ghi ghi nhớ được những công thức tính thể tích các khối nhiều diện rất gần gũi như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh kia thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.

1. Video clip bài giảng

2. Cầm tắt lý thuyết

2.1. Tính chất của thể tích khối đa diện

2.2. Thể tích khối vỏ hộp chữ nhật

2.3. Thể tích khối chóp

2.4. Thể tích khối lăng trụ

3. Bài tập minh hoạ

4. Rèn luyện bài 3 Hình học tập 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài bác tập SGK

5. Hỏi đáp về tính chất tính thể tích khối đa diện

-Hai khối nhiều diện đều nhau thì có thể tích bởi nhau.

-Nếu 1 khối đa diện được phân chia thành các khối đa diện bé dại thì thể tích của chính nó bằng tổng thể tích của những khối nhiều diện nhỏ.

-Khối lập phương bao gồm cạnh bằng 1 thì có thể tích bởi 1.

-Giả sử có một khối vỏ hộp chữ nhật với 3 form size a, b, c đông đảo là hầu như số dương. Khi ấy thể tích của chính nó là:(V=a.b.c).

-Thể tích của 1 khối chóp bắng 1 phần ba tích số của dưới đáy và độ cao khối chóp đó:(V=frac13S_day.h.)

(V_S.ABCD=frac13S_ABC.SH)

-Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:

-Trên những đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta rước lần lượt những điểm A", B", C". Ta có:(V_S.A"B"C" = fracSA;.SB".SC"SA.SB.SCV_S.ABC).

-Thể tích của khối lăng trụ bởi tích số của diện tích dưới đáy với độ cao của khối lăng trụ đó:(V=S_day.h.)

(V_ABC.A"B"C"=S_ABC.C"H)

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông trên B, (AB=a sqrt 2, AC=a sqrt 3), cạnh bên SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy và (SB=a sqrt 3.)Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại B buộc phải (BC = sqrt AC^2 - AB^2 = a.)

Suy ra:( mS_Delta mABC = frac12BA.BC = frac12.asqrt 2 .a = fraca^2.sqrt 2 2)

Tam giác SAB vuông trên A bao gồm (SA = sqrt SB^2 - AB^2 = a.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: (V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^2.sqrt 2 2.a = fraca^3.sqrt 2 6.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh (asqrt2), lân cận SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy cùng (SC=a sqrt5). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Diện tích ABCD: ( mS_ mABCD = left( asqrt 2 ight)^2 = 2a^2.)

Ta có: (AC = AB.sqrt 2 = asqrt 2 .sqrt 2 = 2a.)

Tam giác SAC vuông tại A nên: (SA = sqrt SC^2 - AC^2 = a).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.2a^2.a = frac2a^33.)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp tam giác phần đông S.ABC có cạnh đáy bằng (asqrt3), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

O là trung tâm tam giác ABC suy ra (SO ot (ABC).)

Tam giác ABC phần đông cạnh (asqrt3)suy ra:

(AM=asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a2.)

( mAO = frac m2 m3.AM = frac23.frac3a2 = a).

( mS_Delta mABC = frac12AB.AC.sin 60^0 = frac12.asqrt 3 .asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a^2.sqrt 3 4).

Tam giác SAO vuông trên A đề xuất ta có(SO = sqrt SA^2 - AO^2 = a.sqrt 3.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.frac3a^2sqrt 3 4.a = fraca^3.sqrt 3 4.)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình vuông cạnh a, lân cận SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC chế tác với dưới đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem thêm: Vietlott 11/4, kết quả xổ số điện toán ngày 11 tháng 04 /2024

Lời giải:

(SA ot (ABCD))nên AC là hình chiếu của SC lên khía cạnh mặt phẳng (ABCD).

Do đó: (widehat (SC,(ABCD)) = widehat (SC,AC) = widehat SCA = 60^o.)

Diện tích đáy là: ( mS_ mABCD = a^2.)

Tam giác SAC vuông tại A tất cả (AC=a sqrt2, widehat SCA = 60^0 Rightarrow SA = AC. an 60^o = asqrt 6.)

Vậy thể tích khối chóp là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.a^2.asqrt 6 = fraca^3.sqrt 6 3.)

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh (BC=asqrt2,)cạnh mặt SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy; mặt bên (SBC) chế tác với mặt đáy (ABC) một góc bởi 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: (AM ot BC).

Mặt khác: (SA ot BC)do (SA ot left( ABC ight).)

Nên: (BC ot (SAM) Rightarrow SM ot BC.)

Suy ra: (widehat ((SBC),(ABC)) = widehat (SM,AM) = widehat SMA = 45^o).

Tam giác ABC vuông cận tại A có (BC=asqrt2)suy ra:

(AB = BC = a)và (AM = fracasqrt 2 2)(Rightarrow mS_Delta mABC = frac12AB.AC = frac12.a.a = fraca^22)

Tam giác SAM vuông trên A có(AM = fracasqrt 2 2)và(widehat SMA = 45^o)

Suy ra: (SA = AB. an 45^o = fracasqrt 2 2.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^22.fracasqrt 2 2 = fraca^3.sqrt 2 12).

Ví dụ 6:

Cho lăng trụ đứng ABC.A"B"C"có lòng ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, (AC=asqrt3), cạnh A"B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

Tam giác ABC vuông trên B phải (BC=sqrt AC^2 - AB^2 = asqrt 2.)

Suy ra: (S_ABC = frac12AB.BC = fraca^2sqrt 2 2.)

Tam giác A"AB vuông trên A nên: (A"A = sqrt A"B^2 - AB^2 = asqrt 3 .)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = fraca^3sqrt 6 2.)

Ví dụ 7:

Cho lăng trụ ABC.A"B"C"có đáy ABC là tam giác số đông cạnh (2asqrt3), hình chiếu vuông góc của A"lên khía cạnh phẳng (ABC) trùng với giữa trung tâm của tam giác ABC, cạnh A"A phù hợp với dưới đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

G là trung tâm tam giác ABC suy ra: (A"G ot (ABC)).

Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA" lên phương diện phẳng (ABC).

Suy ra: (left( widehat A^/A,(ABC) ight) = widehat A^/AG = 30^0.)

Tam giác ABC các cạnh (2asqrt3)nên: (S_ABC = left( 2asqrt 3 ight)^2.fracsqrt 3 4 = 3a^2sqrt 3.)

Tam giác A"AG vuông trên G có (widehat A = 30^0,AG = frac23AM = frac23.2asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = 2a.)

Suy ra: (A"G = AG. an 30^0 = frac2asqrt 3 3.)

Vậy: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = 6a^3.)

Ví dụ 8:

Cho hình chóp S.ABC bao gồm tam giác ABC gần như cạnh 2a, ở kề bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy với (SA=asqrt3.)Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN cùng A.BCNM.

Lời giải:

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S cùng góc làm việc đỉnh S.

Do kia theo phương pháp tỷ số thể tích, ta có:

(fracV_S.AMNV_S.ABC = frac mSA mSA.fracSMSB.fracSNSC = 1.frac12.frac12 = frac14)

Suy ra:(V_S.AMN = fracV_S.ABC4 = fracfrac13.a^2sqrt 3 .asqrt 3 4 = fraca^34)

Và:(V_A.BCNM = frac34.V_S.ABC = frac3a4^3.)

Ví dụ 9:

Cho hình chóp(S.ABCD)có đáy(ABCD)là hình bình hành, M với N theo vật dụng tự là trung điểm của SA với SB. Tính tỉ số thể tích(fracV_S.CDMNV_S.CDAB).

Lời giải:

Ta có:

(V_S.MNCD = V_S.MCD + V_S.MNC)và(V_S.ABCD = V_S.ACD + V_S.ABC).

Khi đó:(fracV_S.MCDV_S.ACD = fracSMSA = frac12 Leftrightarrow V_S.MCD = frac14V_S.ABCD)

Mặt khác:(fracV_S.MNCV_S.ABC = fracSMSA.fracSNSB = frac14 Rightarrow V_S.MNC = frac18V_S.ABCD)

Từ bên trên suy ra(V_S.MNCD = left( frac14 + frac18 ight)V_S.ABCD = frac38V_S.ABCD).