Cho \(AK\) và \(BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ sau \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {BM} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng tính chất của đường trung tuyến.
Bạn đang xem: Toán hình lớp 10 bài 2
+) Với 3 điểm \(A, \, \, B, \, \, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\)
Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK, BM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AK} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow u \cr & \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {BG} = - {2 \over 3}\overrightarrow {BM} = - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr} \)
Theo quy tắc \(3\) điểm đối với tổng vec tơ:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \)
\(AK\) là trung tuyến nên K là trung điểm \(BC\). Do đó,
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \)\( \Rightarrow ({2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v) + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u - \dfrac{2}{3}\overrightarrow u + \dfrac{2}{3}\overrightarrow v \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = {4 \over 3}\overrightarrow u + {2 \over 3}\overrightarrow v \)\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - {4 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \)
\(BM\) là trung tuyến nên \(M\) là trung điểm \(AC\). Do đó,
\(\eqalign{ & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \cr&\Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \cr & \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + \overrightarrow {AB} \cr &= 2\overrightarrow v + ({2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v) \cr&= {2 \over 3}\overrightarrow u + {4 \over 3}\overrightarrow v. \cr} \)
Cách khác:
+ K là trung điểm của BC nên ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \) hay \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow u \,\,\left( 1 \right)\)
+ M là trung điểm AC nên ta có: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \) hay \( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \,\,\left( 2 \right)\)
+ Lại có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \,\,\left( 3 \right)\)
Cộng (1) với (3) ta được \(2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow u \), kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow u \\ - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \end{array} \right.\)
Trừ hai vế của hai pt cho nhau ta được: \(3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v } \right) + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \\ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{4}{3}\overrightarrow v \end{array}\)
Trong hình 1.4, hãy chỉ ra các vec tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+) Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
+) Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Xem thêm: Giải bài tập toán hình lớp 12 trang 18 sgk hình học 12, giải bài 1 trang 18 sgk hình học 12
- Các vectơ cùng phương:
\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương;
\(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\), \(\overrightarrow{w}\) cùng phương;
\(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương.
- Các vectơ cùng hướng:
\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng;
\(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\) cùng hướng.
- Các vectơ ngược hướng:
\(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) ngược hướng;
\(\overrightarrow{z}\) và \(\overrightarrow{w}\) ngược hướng;
\(\overrightarrow{y}\) và \(\overrightarrow{w}\) ngược hướng;
\(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{w}\) ngược hướng.
- Các vectơ bằng nhau: \(\overrightarrow{x}\) = \(\overrightarrow{y}\).
toancapba.com
Chia sẻ
Bình chọn:
4.3 trên 64 phiếu
Bài tiếp theo
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE
Bài giải mới nhất
× Góp ý cho toancapba.com
Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi góp ý
Vấn đề em gặp phải là gì ?
Sai chính tả
Giải khó hiểu
Giải sai
Lỗi khác
Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com
Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi
Cảm ơn bạn đã sử dụng toancapba.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Gửi Hủy bỏ
Liên hệ Chính sách
Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí
Cho phép toancapba.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.
