Hướng dẫn giải toán 12 bài xích phương trình mặt phẳng - Hãy cùng shop chúng tôi tìm hiểu cách giải những bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 80 và 81 trong sách giáo khoa.

Bạn đang xem: Toán hình lớp 12 bài 2 phương trình mặt phẳng


Bài 1 (trang 80 SGK Hình học tập 12):

Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) cùng nhận làm vec tơ pháp con đường

b) Đi qua A(0; -1; 2) và tuy nhiên song với giá của từng vec tơ với

c) Đi qua bố điểm A(-3; 0; 0); B(0; -2; 0) và C(0; 0; -1).


Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 12):

Viết phương trình khía cạnh phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)


Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 12):

a) Lập phương trình của những mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx

b) Lập phương trình của những mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.


Bài 4 (trang 80 SGK Hình học tập 12):

Lập phương trình khía cạnh phẳng:

a) chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2)

b) đựng trục Oy với điểm Q(1; 4; -3)

c) đựng trục Oz với điểm R(3; -4; 7)


Bài 5 (trang 80 SGK Hình học tập 12):

Cho tứ diện có những đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) với (BCD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song cùng với cạnh CD.


Bài 6 (trang 80 SGK Hình học tập 12):

Hãy viết phương trình phương diện phẳng (α) trải qua điểm M(2; -1; 2) và tuy vậy song với khía cạnh phẳng (β) : 2x – y + 3z + 4 = 0


Bài 7 (trang 80 SGK Hình học 12):

Lập phương trình mặt phẳng (α) qua nhì điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) cùng vuông góc với phương diện phẳng ( β) : 2x – y + z – 7 = 0


Bài 8 (trang 81 SGK Hình học 12):

Xác định các giá trị của m cùng n để mỗi cặp khía cạnh phẳng sau đó là một cặp phương diện phẳng tuy nhiên song với nhau;

a) 2x + my + 3z – 5 = 0 với nx – 8y – 6z + 2 =0

b) 3x – 5y + mz – 3 = 0 với 2x + ny – 3z + 1 = 0


Bài 9 (trang 81 SGK Hình học tập 12):

Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; –3) theo lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) 2x – y + 2z – 9 = 0;

b) 12x – 5z + 5 = 0;

c) x = 0.


Bài 10 (trang 81 SGK Hình học tập 12):

Giải bài toán dưới đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A"B"C"D" gồm cạnh bằng 1.

a) minh chứng hai khía cạnh phẳng (AB"D") và (BC"D) song song.

b) Tính khoảng cách giữa nhì mặt phẳng nói trên.


*

Nội dung bài học sẽ reviews đến những em dạng của phương trình khía cạnh phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một khía cạnh phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai phương diện phẳng, khoảng giải pháp từ một điểm đến mặt phẳng, cách thức xác định vị trí kha khá của phương diện phẳng. Trong khi trong bài học này các em còn được khám phá khái niệm hoàn toàn mới là tích bao gồm hướng thân hai vectơ và phần lớn ứng dụng.


1. đoạn clip bài giảng

2. Cầm tắt lý thuyết

2.1. Tích có hướng giữa hai Vectơ

2.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2.3. Vị trí tương đối giữa các mặt phẳng

2.4. Khoảng cách từ một điểm đến lựa chọn mặt phẳng

2.5. Góc giữa hai mặt phẳng

3. Bài tập minh hoạ

4. Rèn luyện Bài 2 Chương 3 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài xích tập SGK

5. Hỏi đáp về bài xích 2 Chương 3 Toán 12


*

a) Biểu thức tọa độ tích bao gồm hướng

Cho nhì vectơ(veca=(x_1;y_1;z_1))và(vecb=(x_2;y_2;z_2)), vectơ(overrightarrow n = left< overrightarrow a ;overrightarrow b ight>)được hotline là tích có vị trí hướng của hai vectơ(overrightarrow a)và(overrightarrow b)được xác minh như sau:

(eginarraylleft< vec a,vec b ight> = left( eginarray*20cy_1;;;z_1\y_2;;;z_2endarray ight ight)\= (y_1z_2 - y_2z_1;z_1x_2 - z_2x_1;x_1y_2 - x_2y_1)endarray)

b) Tính chất

Vectơ(overrightarrow n)vuông góc với tất cả hai vectơ(overrightarrow a)và(overrightarrow b.)

c) Ứng dụng của tích bao gồm hướng

- chứng minh tính đồng phẳng của vectơ:

+ (veca,vecb,vecc)không đồng phẳng khi và chỉ khi(left < veca,vecb ight >.vecc eq 0.)Suy ra 4 điểm A, B, C, D ko đồng phẳng khi và chỉ còn khi(left < overrightarrowAB,overrightarrowAC ight >.overrightarrowAD eq 0).

+ (veca,vecb,vecc)đồng phẳng khi và chỉ khi(left < veca,vecb ight >.vecc= 0). Suy ra
A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ còn khi(left < overrightarrowAB;overrightarrowAC ight >.overrightarrowAD=0).

- Tính diện tích s tam giác và hình bình hành:

+ diện tích hình bình hành ABCD:(S_ABCD=left | left < overrightarrowAB;overrightarrowAC ight > ight |).

+ diện tích tam giác(Delta ABC):(S_Delta ABC=frac12left | left < overrightarrowAB;overrightarrowAC ight > ight |).


2.2. Phương trình bao quát của phương diện phẳng


a) Vectơ pháp tuyến của phương diện phẳng

-Cho phương diện phẳng (P). Trường hợp vectơ(vec n)khác(vec 0)có giá bán vuông góc với (P) thì(vec n)được gọi là Vectơ pháp tuyến củacủa (P).

b) Phương trình bao quát của khía cạnh phẳng

-Phương trình tổng thể của khía cạnh phẳng có dạng:(Ax+By+Cz+D=0, ,, A^2+B^2+C^2 eq 0)).Với(overrightarrown=(A;B;C))là Vectơ pháp đường (VTPT).

*

c) Viết phương trình khía cạnh phẳng lúc biết Vectơ pháp đường và một điểm thuộc khía cạnh phẳng đó

-Mặt phẳng (P) đi qua điểm(M_0(x_0;y_0;z_0)), dìm vectơ(vec n = (A;B;C))làm VTPT bao gồm phương trình tổng quát là:

(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0)

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

-Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) tất cả phương trình tổng quát là:(fracxa+fracyb+fraczc=1).

e) một trong những cách xác định Vectơ pháp tuyến đường của phương diện phẳng

- Gọi(vec n)là VTPT của phương diện phẳng (P), giải sử tồn tại(vec u_1)và(vec u_2)sao cho(left.eginmatrix vecnperp overrightarrowu_1\ vecnperp overrightarrowu_2 endmatrix ight})thì(vecn=left < overrightarrowu_1; overrightarrowu_2 ight >)là một VTPT của phương diện phẳng (P).

- mặt phẳng (ABC) tất cả một VTPT(vecn=left < overrightarrowAB;overrightarrowAC ight >).

*

- phương diện phẳng (P) tuy nhiên song với mặt phẳng (Q):

+ ​Gọi:(overrightarrown_P)là một VTPT của (P),(overrightarrown_Q)là một VTPT của (Q) lúc đó:(overrightarrown_P=overrightarrown_Q.)

*

- mang đến đường thẳng AB cùng mặt phẳng (P):(igg lbrack eginmatrix ABsubset (P)\ AB //(P) endmatrix)thì (vecn_Pperp overrightarrowAB.)

- Nếu((P)perp (Q))thì (overrightarrown_Pperp overrightarrown_Q).

Xem thêm: Phân bổ đề thi toán cấp 3 trung quốc khác gì với việt nam? đề thi đại học môn toán ở trung quốc 2021


2.3. Vị trí tương đối giữa những mặt phẳng


-Cho hai mặt phẳng((alpha _1) A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0)có một VTPT(vecn_1=(A_1;B_1;C_1))và((alpha _2) A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0)có một VTPT(vecn_2=(A_2;B_2;C_2)).

-Khi kia vị trí kha khá giữa((alpha_1))và((alpha_2))được xác minh như sau:

+ ((alpha _1)//(alpha _2))khi và chỉ còn khi(left{eginmatrix vecn_1=k.vecn_2\ D_1 eq D_2 endmatrix ight.).

+ Nếu(A_2, B_2, C_2, D_2 eq 0):((alpha _1)//(alpha _2)Leftrightarrow fracA_1A_2=fracB_1B_2=fracC_1C_2 eq fracD_1D_2).

+ ((alpha _1)equiv (alpha _2))khi và chỉ còn khi(left = frac vec n_Q ight)(=frac A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 ight sqrtA^2_1+B_1^2+C^2_1 .sqrtA^2_2+B_2^2+C^2_2)

-Chú ý:

+ (0^0leq (widehatP,Q)leq 90^0).

+ ((P)perp (Q)Leftrightarrow vecn_P.vecn_Q)(Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0).


Cho tía điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).

a) chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính độ dài mặt đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta tất cả (overrightarrow AB ( - 2;3;1),overrightarrow AC ( - 3;4;2) Rightarrow left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = (2;1;1) e overrightarrow 0)nên (overrightarrow AB ,overrightarrow AC)không thuộc phương cho nên vì thế A, B, C tạo thành thành 3 đỉnh của tam giác.

b) (S_ABC = frac12left)

Suy ra mắt phẳng (P) tất cả VTPT là: (overrightarrow n_(P) = left< overrightarrow n_(Q) ,overrightarrow n_(R) ight> = (1;5;7).)

Mặt khác (P) đi qua(M_0( - 2;3;1))nên có phương trình là:

((P):(x + 2) + 5(y - 3) + 7(z - 1) = 0 Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z - 20 = 0.)

d)Cặp VTCP phương diện phẳng (P) là:

(left{ eginarrayl overrightarrow AB = ( - 1; - 2;4)\ overrightarrow AC = ( - 2;1;3) endarray ight. Rightarrow VTPToverrightarrow n_(P) = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = ( - 10; - 5; - 5).)

Mặt khác (P) trải qua A(2;0;-1) nên tất cả phương trình là:

((P): - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 Leftrightarrow (P):2x + y + z - 3 = 0.)

Ví dụ 4:

Xét vị trí tương đối của những cặp phương diện phẳng cho vì chưng phương trình sau:

a) 2x-3y+4z-4=0 cùng 3x-y-x-1=0.

b) -x+y-z+4=0 với 2x-2y+2z-7=0.

c) 3x+3y-6z-12=0 cùng 4x+4y-8z-16=0.

Lời giải:

a) Ta có: (frac23 e frac - 3 - 1 e frac41)vậy hai mặt phẳng cắt nhau.

b) Ta có: (frac - 12 = frac1 - 2 = frac - 12 e frac47)vậy hai mặt phẳng tuy vậy song.

c) Ta có: (frac34 = frac34 = frac - 6 - 8 = frac - 12 - 16)vậy nhị mặt phẳng trùng nhau.

Ví dụ 5:

Cho hai mặt phẳng bao gồm phương trình thứu tự là: (left( m^2 - 5 ight)x - 2y + mz + m - 5 = 0)và (x + 2y - 3nz + 3 = 0.)

Tìm m và n nhằm hai khía cạnh phẳng trùng nhau.

Lời giải:

Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ còn khi:

(eginarrayl fracm^2 - 51 = frac - 22 = fracm - 3n = fracm - 53\ Leftrightarrow left{ eginarrayl m^2 - 5 = - 1\ m = 3n\ m - 5 = - 3 endarray ight.\ Leftrightarrow left{ eginarrayl m = pm 2\ n = fracm3\ m = 2 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl m = 2\ n = frac23 endarray ight. endarray)

Vậy cùng với m=2; (n=frac23)thì nhị mặt phẳng trùng nhau.

Ví dụ 6:

Tìm khoảng cách từ các điểm (M_0left( 1; - 1;2 ight);,M_1left( 3;4;1 ight);,M_2left( - 1;4;3 ight))đến khía cạnh phẳng x+2y+2z-10=0.

Lời giải:

(eginarrayl dleft( M_0,(P) ight) = frac 1 + 2.( - 1) + 2.2 - 10 ightsqrt 1^2 + 2^2 + 2^2 = frac73\ dleft( M_1,(P) ight) = fracsqrt 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1\ dleft( M_2,(P) ight) = fracsqrt 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 endarray)

Ví dụ 7:

Trên trục Oy tìm những điểm giải pháp đều nhị mặt phẳng((P):x + y - z + 1 = 0)và ((Q):z - y + z - 5 = 0.)

Lời giải:

Gọi (M_0left( x_0;y_0;z_0 ight) in Oy.)

Ta có:

(eginarrayl d(M_0,(P)) = dleft( M_0,(Q) ight)\ Leftrightarrow fracleftsqrt 1^2 + 1^2 + ( - 1)^2 = fracsqrt 1^2 + left( - 1 ight)^2 + 1^2 \ Leftrightarrow left| y_0 + 1 ight| = left| - y_0 - 5 ight|\ Leftrightarrow left< eginarrayl y_0 + 1 = y_0 + 5,(VN)\ y_0 + 1 = - y_0 - 5 endarray ight. Leftrightarrow y_0 = - 3 endarray)

Vậy M(0;-3;0).

Ví dụ 8:

Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 cùng mặt phẳng (Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).

Lời giải:

VTPT của (P) là: (overrightarrow n_P = left( 3;1;4 ight).)

(Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) bắt buộc VTPT của (Q) là:

(overrightarrow n_Q = left< overrightarrow AB ;overrightarrow AC ight> = (6; - 5; - 4).)

Gọi (alpha)là góc thân hai phương diện phẳng (P) cùng (Q) ta có:

(eginarrayl cos alpha = fracleft = fracsqrt 3^2 + 1^2 + 4^2 .sqrt 6^2 + ( - 5)^2 + ( - 4)^2 = frac3sqrt 2002 \ Rightarrow alpha approx 86^09". endarray)