Giải Toán Hình Lớp 12 Bài 3 Trang 68 Sgk Hình Học 12, Giải Bài 3 Trang 68 Sgk Hình Học 12

Trong ko gian phương trình mặt đường phẳng được trình diễn ở nhị dạng chủ yếu là phương trình tham số và phương trình chủ yếu tắc. Nội dung bài học sẽ giúp đỡ các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng viết được phương trình trong số trường vừa lòng phổ biến. Ngoài ra bài học còn ra mắt cách tính khoảng chừng cách, góc, xác xác định trí tương đốitrong không khí có liên quan đến con đường thẳng.

Bạn đang xem: Toán hình lớp 12 bài 3

1. đoạn clip bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Phương trình tham số của mặt đường thẳng

2.2. Vị trí kha khá giữa các đường thẳng

2.3. Góc giữa hai đường thẳng

2.4. Góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng

2.5. Các công thức tính khoảng cách liên quan mang đến đường thẳng

3. Bài bác tập minh hoạ

4. Rèn luyện Bài 3 Chương 3 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về bài 3 Chương 3 Toán 12

a) Phương trình thông số của mặt đường thẳng

-Trong ko gian, mặt đường thẳng(Delta)đi qua(M(x_0,y_0,z_0))và nhấn vectơ(vec u=(a,;b;c))làm Vectơ chỉ phương (VTCP) gồm phương trình thông số là:

(Delta: left{eginmatrix x=x_0+at\ y=y_0+bt\ z=z_0+ct end matrix ight.(tinmathbbR))(t được gọi là tham số).

-Nếu(a,b,c e 0)thì ta tất cả phương trình(fracx - x_0a = fracy - y_0b = fracz - z_0c=t).

-Hay (fracx - x_0a = fracy - y_0b = fracz - z_0c)được hotline là phương trình chủ yếu tắc của mặt đường thẳng(Delta).

b) một vài cách xác minh Vectơ chỉ phương của con đường thẳng

- Nếu(Delta _1 //Delta 2),(overrightarrowu_1)là 1 VTCP của(Delta _1)thì(overrightarrowu_1)là1 VTCP của(Delta _2).

-Nếu(Delta _1perp Delta _2),(overrightarrowu_1)là 1 VTCP của(Delta _1),(overrightarrowu_2)là1 VTCP của(Delta _2)thì(overrightarrowu_1.overrightarrowu_2=0.)

-Nếu con đường thẳng(Delta)có VTCP(vec u), tồn tại nhì vectơ(vec u_1)và(vec u_2)sao cho(left{eginmatrix overrightarrowuperp overrightarrowu_1\ overrightarrowuperp overrightarrowu_2 endmatrix ight.)thì(overrightarrowu=left < overrightarrowu_1,overrightarrowu_2 ight >)là một VTCP của(Delta).

-Cho đường thẳng(Delta)và mặt phẳng (P) sao cho:(igg lbrack eginmatrix Delta subset (P)\ Delta // (P) endmatrix). Gọi(overrightarrowu)là một VTCP(Delta),(overrightarrown_P)là VTPT của (P) thì(overrightarrowu.overrightarrown_P=0.)

-Nếu(A,Bin Delta)thì(overrightarrowAB)là một VTCP của(Delta).

2.2. Vị trí kha khá giữa những đường thẳng

-Trong không gian cho hai đường thẳng: (Delta _1)đi qua M1và tất cả một VTCP(overrightarrowu_1),(Delta _2)đi qua M2và tất cả một VTCP(overrightarrowu_2).

-Khi đó Vị trí kha khá giữa(Delta _1)và(Delta _2)được xác minh như sau:

+ (Delta _1)và(Delta _2)chéo nhau(Leftrightarrow left < overrightarrowu_1;overrightarrowu_2 ight >. overrightarrowM_1.M_2 eq 0).

+(Delta _1)và(Delta _2)cắt nhau(Leftrightarrow left{eginmatrix left < overrightarrowu_1;overrightarrowu_2 ight >. overrightarrowM_1.M_2= 0\ overrightarrowu_1 eq k. overrightarrowu_2 endmatrix ight.).

+(Delta _1)//(Delta _2)(Leftrightarrow left{eginmatrix overrightarrowu_1=k.overrightarrowu_2\ M_1in Delta _1, M_1 otin Delta _2 endmatrix ight.).

+(Delta _1equiv Delta _2 Leftrightarrow left{eginmatrix overrightarrowu_1=k.overrightarrowu_2\ M_1in Delta _1, M_1in Delta _2 endmatrix ight.).

2.3. Góc giữa hai đường thẳng

- Trong không gian cho hai đường thẳng (Delta _1)có một VTCP(overrightarrowu_1=(a_1;b_1;c_1)),(Delta _2)có một VTCP(overrightarrowu_2=(a_2;b_2;c_2))​, lúc đó:

(eginarraylcos(Delta _1;Delta _2) = left| cos(overrightarrow u_1 ;overrightarrow u_2 ) ight|\= frac = fracleftsqrt a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 .sqrt a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 endarray)

- nhận xét:

​+(0^0leq (Delta _1;Delta _2)leq 90^0).

+(Delta _1perp Delta _2Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0).

2.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

-Trong không gian cho đường thẳng(Delta)có một VTCP(overrightarrowu=(a;b;c)), khía cạnh phẳng(P) có một VTPT(overrightarrown=(A;B;C)), lúc đó:

(sin(widehatDelta ;(P))=left | cos(overrightarrown;overrightarrowu) ight |= frac Aa+Bb+Cc ight sqrtA^2+B^2+C^2.sqrta^2+b^2+c^2)

2.5. Những công thức tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng

a) khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

-Cho điểm M và mặt đường thẳng(Delta)đi qua N và có một VTCP(overrightarrowu). Khi đó khoảng cách từ M đến(Delta)xác định vì công thức:

(d(M;Delta )=frac)

b) khoảng cách từ giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng tuy vậy song

-Cho đường thẳng(Delta)song tuy nhiên với phương diện phẳng (P). M là 1 trong những điểm thuộc mặt đường thẳng(Delta). Lúc đó:

(d(Delta;(P))=d(M;(P)))

c) khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1:

-Trong không gian cho đường thẳng(Delta _1)đi qua M1 tất cả một
VTCP(overrightarrowu_1),(Delta _2)đi qua M2có một VTCP(overrightarrowu_2). Khi đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=frac .overrightarrowM_1M_2 ight )

Cách 2:

-Gọi AB là đoạn vuông góc chung(Delta _1),(Delta _2)với(Ain Delta _1, Bin Delta _2)suy ra:(left{eginmatrix overrightarrowAB.overrightarrowu_1=0\ overrightarrowAB.overrightarrowu_2=0 endmatrix ight.). Lúc đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=AB)

Viết phương trình thông số của mặt đường thẳng d trong các trường hòa hợp sau:

a)d trải qua A(1; 2;-3) với B(-2; 2;0).

b)d trải qua A(-2;4;3) cùng vuông góc với khía cạnh phẳng ((alpha):)2x-3y–6z+19=0.

c)d đi qua điểm A(2;-5;3) và tuy vậy song với mặt đường thẳng (d":)(left{ eginarrayl x = 2 + t\ y = 3 + 2t\ z = 5 - 3t endarray ight.).

d)d trải qua điểm M(3;1;5) và tuy nhiên song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 với (Q): x–3y+z-2=0.

Lời giải:

a) Ta có:(overrightarrow AB = left( - 1;0;1 ight).)

Do d trải qua A cùng B cần VTCP của d là(overrightarrow u = frac13overrightarrow AB = left( - 1;0;1 ight)).

Xem thêm: Các trung tâm, thầy cô luyện thi vào lớp toán thầy danh vọng

Mặt khácd đi qua A(1; 2;-3).

Suy ra phương trình tham số của d là(left{ eginarrayl x = 1 - t\ y = 2\ z = - 3 + t endarray ight.)

b) VTPT của ((alpha))là (vec n = (2; - 3; - 6).)

Do (d ot (alpha ))nên d nhấn (vec u =vec n=(2;-3;-6))là VTCP.

Mặt không giống d trải qua A(-2;4;3).

Suy ra phương trình thông số của d là(left{ eginarrayl x = - 2 + 2t\ y = 4 - 3t\ z = 3 - 6t endarray ight.)

c) VTCP của d" là(overrightarrow u" = (1;2; - 3).)

Do d// d’ cần VTCP của d(overrightarrow u = overrightarrow u" = (1;2; - 3).)

Mặt không giống d đi qua điểm A(2;-5;3).

Suy ra phương trình tham số của d là(left{ eginarrayl x = 2 + t\ y = - 5 + 2t\ z = 3 - 3t endarray ight.)

d) Ta có:(overrightarrow n_(P) = (2;3; - 2))và(overrightarrow n_(Q) = (1; - 3;1))lần lượt là VTPT của phương diện phẳng (P) với mặt phẳng (Q).

Do:(left{ eginarrayl d//left( p. ight)\ d//(Q) endarray ight.)nên d có VTCP là:(overrightarrow u = left< overrightarrow n_P ;overrightarrow n_Q ight> = ( - 3; - 4; - 9).)

Mặt khác:d trải qua điểm M(3;1;5)

Suy ra phương trình tham số của d là:(left{ eginarrayl x = 3 - 3t\ y = 1 - 4t\ z = 5 - 9t endarray ight.)

Ví dụ 2:

Xác đinh trí tương đối của các cặp con đường thẳng d với d’ mang đến bởi các phương trình sau:

a)( md:left{ eginarrayl x = - 3 + 2t\ y = - 2 + 3t\ z = 6 + 4t endarray ight.)và (d":left{ eginarrayl x = 5 + t"\ y = - 1 - 4t"\ z = trăng tròn + t" endarray ight.).

b) (d:left{ eginarrayl x = 1 + t\ y = 2 + t\ z = 3 - t endarray ight.)và (d":left{ eginarrayl x = 1 + 2t"\ y = - 1 + 2t"\ z = 2 - 2t" endarray ight.).

Lời giải:

a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP (overrightarrow u = left( 2;3;4 ight).)

d’ qua B(5;-1;20) tất cả VTCP(overrightarrow u" = left( 1; - 4;1 ight)).

(overrightarrow AB = left( 8;1;14 ight))

(left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight> = left( eginarray*20c 3&4\ - 4&1 endarray ight ight) = left( 19;2; - 11 ight).)

Ta có: (left{ eginarrayl left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow AB = 19.8 + 2.1 - 11.14 = 152 + 2 - 154 = 0\ left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight> = left( 19;2; - 11 ight) e overrightarrow 0 endarray ight.)

Suy ra d và d" giảm nhau.

b) d qua A(1;2;3) có VTCP(overrightarrow u = left( 1;1; - 1 ight).)

d’ qua B(1;-1;2) gồm VTCP(overrightarrow u" = left( 2; 2;-2 ight).)

(overrightarrow AB = left( 0;-3;-1 ight))

(left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight> = left( eginarray*20c 1& - 1\ 2& - 2 endarray ight ight) = left( 0;0;0 ight))

Ta có: (left{ eginarrayl overrightarrow u" = 2overrightarrow u \ overrightarrow AB = left( 0; - 3; - 1 ight) e overrightarrow 0 endarray ight.)

Suy ra d cùng d" tuy vậy song với nhau.

Ví dụ 3:

Tìm a để hai tuyến phố thẳng sau đây cắt nhau (d:left{ eginarrayl x = 1 + at\ y = t\ z = - 1 - 2t endarray ight.;d":left{ eginarrayl x = 1 - t"\ y = 2 + 2t"\ z = 3 - t endarray ight.).

Lời giải:

d qua A(1;0;-1) tất cả VTCP (overrightarrow u = left( a;1;2 ight).)

d’ qua B(1;2;3) tất cả VTCP(overrightarrow u = left( - 1;2; - 1 ight).)

(overrightarrow AB = left( 0;2;4 ight))

(left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight> = left( eginarray*20c 1&2\ 2& - 1 endarray ight ight) = left( - 5;a - 2;2 ma + 1 ight)).

Nếu d cắt d" khi:

(eginarrayl left{ eginarrayl left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight> e overrightarrow 0 \ left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow AB = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl a - 2 e 0\ 2 ma - 1 e 0\ 2(a - 2) + 4(2 ma + 1) = 0 endarray ight.\ Leftrightarrow left{ eginarrayl a e 2\ a e frac12\ a = 0 endarray ight. Rightarrow a = 0 endarray)

Vậy a=0 là giá bán trị phải tìm.

Ví dụ 4:

Tính các khoảng cách sau:

a) khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng(Delta :fracx - 12 = fracy2 = fracz1.)

b) khoảng cách giữa hai đường thẳng(Delta :left{ eginarrayl x = 1 + t\ y = - 1 - t\ z = 1 endarray ight.)và(Delta ":left{ eginarrayl x = 2 - 3t"\ y = 2 + 3t"\ z = 3t" endarray ight.quad left( t,t" in R ight)).

Lời giải:

a) Đường trực tiếp (Delta)đi qua điểm B(1;0;0) và gồm vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( 2;2;1 ight)).

(eginarrayl overrightarrow AB = left( 0;0; - 1 ight)\ left< overrightarrow AB ,vec u ight> = left( ;left ight) = left( 2; - 2;0 ight). endarray)

Vậy (dleft( A,Delta ight) = fracsqrt 4 + 4 sqrt 4 + 4 + 1 = frac2sqrt 2 3.)

b) Đường thẳng (Delta)qua A(1;-1;1) và bao gồm VTCP(overrightarrow u = left( 1; - 1;0 ight).)

Đường trực tiếp (Delta")qua B(2;2;0) với VTCP(overrightarrow u" = left( - 3;3;3 ight).)

(eginarrayl overrightarrow AB = left( 1;3; - 1 ight)\ left< vec u,vec u" ight> = left( - 3; - 3;0 ight)\ Rightarrow left< vec u,vec u" ight>.overrightarrow AB = - 12. endarray)

Vậy: (dleft( Delta ,Delta " ight) = fracleft left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight> ight = frac - 12 ightsqrt 9 + 9 + 0 = frac123sqrt 2 = 2sqrt 2.)

Ví dụ 5:

a)Tính góc tạo do đường trực tiếp (d):(left{ eginarrayl x = 1 + 2t\ y = 2 + t\ z = 5 + 4t endarray ight.) và ((d"):fracx - 2 - 1 + fracy - 43 + fracz + 32 = 0.)

b) tìm m để mặt đường thẳng ((d):left{ eginarrayl x = 2t\ y = 1 - 2t\ z = 1 - t endarray ight.)và((d"):left{ eginarrayl x = 1 + 2t\ y = 2 + (m - 2)t\ z = t endarray ight.)tạo với nhau một góc 600.

Lời giải:

a) VTCP của (d) là: (overrightarrow u_d = (2;1;4).)

VTCP của (d’) là: (overrightarrow u_d" = left( - 1;3;2 ight).)

Gọi (varphi)là góc tạo bởi hai tuyến đường thẳng (d) với (d’) ta có:

(eginarrayl cos varphi = frac = fracleftsqrt 2^2 + 1^2 + 4^2 sqrt ( - 1)^2 + 3^2 + 2^2 = frac9sqrt 294 \ Rightarrow varphi approx 88^015" endarray)

b)(overrightarrow u_d = left( 2; - 2; - 1 ight))

(overrightarrow u_d" = left( m;m - 2;1 ight))

(d) và (d’) tạo thành với nhau một góc 600 nên:

(eginarrayl left| cos left( overrightarrow n_P ,overrightarrow n_Q ight) ight| = frac12 Leftrightarrow frac1sqrt 2m^2 - 4m + 5 = frac12\ Leftrightarrow 2m^2 - 4m + 1 = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl m = 2 - sqrt 2 \ m = 2 + sqrt 2 endarray ight. endarray)

Vậy(m=2-sqrt2)và(m=2+sqrt2)là các giá trị yêu cầu tìm.

Ví dụ 6:

Tìm m để mặt đường thẳng: (d:left{ eginarrayl x = 1 + mt\ y = (m - 2)t\ z = 1 + t endarray ight.)và (P): (2x - 2y - z + 1 = 0)tạo thành góc 300.

Lời giải:

d gồm VTCP: (overrightarrow u = (m,m - 2,1).)

(P) gồm VTPT:(overrightarrow n = (2; - 2; - 1).)

d với (P) tạo thành với nhau một góc 300nên:

(eginarrayl sin 30^0 = left| cos left( overrightarrow u ,vec n ight) ight| = frac12,, Leftrightarrow frac1sqrt 2m^2 - 4m + 5 = frac12\ Leftrightarrow 2m^2 - 4m + 1 = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl m = frac2 + sqrt 2 2\ m = frac2 - sqrt 2 2 endarray ight.. endarray)

Vậy(m = frac2 + sqrt 2 2)và(m = frac2 - sqrt 2 2)là những giá trị đề xuất tìm.