Nội dung bài học sẽ cung ứng đến những em khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũ cùng hàm số lôgarit, thuộc với phần đa ví dụ minh họa để giúp đỡ các em cụ được cách thức giải một số dạng toán cơ phiên bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Bạn đang xem: Toán lớp 12 bài 4
1. đoạn clip bài giảng
2. Tóm tắt lý thuyết
2.1. Hàm số mũ
2.2. Hàm số Lôgarit
3. Bài bác tập minh hoạ
4. Rèn luyện Bài 4 Chương 2 Toán 12
4.1. Trắc nghiệm
4.2. Bài xích tập SGK
5. Hỏi đáp về bài bác 4 Chương 2 Toán 12
2.1. Hàm số mũ
a) Định nghĩa hàm số mũ
-Cho số thực dương(a)khác 1.
-Hàm số(y=a^x)được gọi là hàm số nón cơ số(a).
b) đặc thù hàm số mũ
-Tập xác định:(mathbbR.)
-Tập giá trị:((0;+infty ))
-Với (a>1)hàm số(y=a^x)đồng phát triển thành trên(mathbbR.)
-Với (0 0,a e 1))có đạo hàm trên mọi(x)và:(left( a^x ight)" = a^xmathop m lna olimits)
-Đối cùng với hàm hợp:
+ ((e^u)" = u".e^u)
+ ((a^u)" = a^u.ln a.u")
2.2. Hàm số Lôgarit
a) Định nghĩa hàm số Lôgarit
-Cho số thực dương(a)khác 1.
-Hàm số(y=log_ax)được gọi là hàm số lôgarit cơ số(a.)
b) đặc điểm hàm số Lôgarit
-Tập xác định:(left( 0; + infty ight).)
-Tập giá chỉ trị:(mathbbR.)
-Với (a>1):(y=log_ax)là hàm số đồng trở thành trên(left( 0; + infty ight).)
-Với(00,x_2>0):(log_ax_1=log_ax_2Leftrightarrow x_1=x_2)
c) Đạo hàm của hàm số logarit
- Đạo hàm:
+ (left( log _ax ight)" = frac1xln a)
+(left( ight)" = frac1xln a)
+(left( ln x ight)" = frac1x)
-Đối với hàm hợp:
+(left( log _au ight)" = fracu"u.ln a)
+(left( ln u ight)" = fracu"ln u)
Ví dụ 1:
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)(y = left( x^2 - 2x + 2 ight)e^x)
b)(y = 2^x^2 - 3x)
c)(y = frac2^x - 15^x)
d)(y = frace^x - e^ - xe^x + e^ - x)
Lời giải:
a)(y = left( x^2 - 2x + 2 ight)e^x Rightarrow y" = left( 2x - 2 ight)e^x + left( x^2 - 2x + 2 ight)e^x = left( x^2 ight)e^x)
b)(y = 2^x^2 - 3x Rightarrow y" = (2x - 3).2^x^2 - 3x.ln 2)
c)(y = frac2^x - 15^x = left( frac25 ight)^x - left( frac15 ight)^x Rightarrow y" = left( frac25 ight)^x.ln frac25 - left( frac15 ight)^x.ln frac15)
d)(y = frace^x - e^ - xe^x + e^ - x)
(Rightarrow y" = fracleft( e^x + e^ - x ight)left( e^x + e^ - x ight) - left( e^x - e^ - x ight)left( e^x - e^ - x ight)left( e^x + e^ - x ight)^2 = frac4left( e^x + e^ - x ight)^2)
Ví dụ 2:
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)(y = ln left( x^2 + 1 ight))
b)(y = fracln xx)
c)(y = left( 1 + ln x ight)ln x)
d)(y = log _3(3x^2 + 2x + 1))
Lời giải:
a)(y = ln left( x^2 + 1 ight) Rightarrow y" = frac2xx^2 + 1)
b)(y = fracln xx Rightarrow y" = frac1x^2left( frac1x.x - ln x ight) = frac1 - ln xx^2)
c)(y = left( 1 + ln x ight)ln x Rightarrow y" = fracln xx + frac1 + ln xx = frac1 + 2ln xx)
d)(y = log _3(3x^2 + 2x + 1))(Rightarrow y" = fracleft( 3x^2 + 1x + 1 ight)"(3x^2 + 2x + 1).ln 3 = frac6x + 2(3x^2 + 2x + 1).ln 3)
Ví dụ 3:
Tìm tập xác định của những hàm số sau:
a)(y = log _2(25 - 4x^2))
b)(y = log _2x + 1(3x + 1) - 2log _3x + 1(2x + 1))
c)(y = log _sqrt 3x + 2 (1 - sqrt 1 - 4x^2 ))
Lời giải:
a) Điều kiện:(25 - 4x^2 > 0 Leftrightarrow - frac52 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x > - frac23\ x e - frac13\ x e 0 endarray ight.)
Vậy tập xác minh của hàm số là:(D = left( - frac23; + infty ight)ackslash left - frac13;0 ight\).
Xem thêm: Sách giáo khoa toán lớp 10 chân trời sáng tạo tập 2, chuyên đề học tập
Ví dụ 4:
Tìm m để hàm số(y=log _2(2x^2 + 3x + 2m - 1))xác định(forall x in mathbbR).
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên đoạn (left< a; b ight>) ta làm như sau :
+) Tìm các điểm (x_1;x_2;x_3;...;x_n) nằm trong đoạn (left< a; b ight>) nhưng mà tại đó hàm số tất cả đạo hàm (f"left( x ight)=0) hoặc không tồn tại đạo hàm.
+) Tính (fleft( x_1 ight);fleft( x_2 ight);fleft( x_3 ight);...;fleft( x_n ight)) với (fleft( a ight); fleft( b ight).)
+) So sánh những giá trị tìm kiếm được ở trên. Giá bán trị phệ nhất trong số giá trị đó đó là GTLN của hàm số (y=fleft( x ight)) bên trên (left< a; b ight>) với giá trị nhỏ tuổi nhất trong số giá trị đó chính là GTNN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên (left< a; b ight>).
(eginalign& undersetxin left< a; b ight>mathopmax ,fleft( x ight)cr&=max left fleft( x_1 ight); fleft( x_2 ight);...; fleft( x_m ight); fleft( a ight); fleft( b ight) ight. \ và undersetxin left< a; b ight>mathopmin ,fleft( x ight)cr&=min left fleft( x_1 ight); fleft( x_2 ight);...; fleft( x_m ight); fleft( a ight); fleft( b ight) ight. \ endalign)
Quy ước : Nếu đề bài bác yêu cầu tìm GTLN cùng GTNN của hàm số (y=fleft( x ight)) nhưng không chỉ rõ search GTLN với GTNN bên trên tập nào thì ta gọi là GTLN và GTNN trên tập khẳng định của hàm số (y=fleft( x ight).)
Lời giải đưa ra tiết:
(y=dfrac41+x^2.)
Tập xác định: (D=R.)
Ta có: (y"=dfrac-2x.4left( 1+x^2 ight)^2=dfrac-8xleft( 1+x^2 ight)^2) (Rightarrow y"=0Leftrightarrow 8x=0Leftrightarrow x=0.)
(mathop lim limits_x o pm infty y = 0)
Ta bao gồm bảng biến thiên:
Từ bảng đổi mới thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=0;) (y_max = 4)
Cách khác:
Ta thấy: (1+x^2ge 1, forall x) nên (dfrac41 + x^2 le dfrac41 = 4 Rightarrow y le 4).
Vậy (max y = 4). Vệt "=" xẩy ra khi (x=0).
LG b
(y = 4x^3 - 3x^4)
Lời giải đưa ra tiết:
(y=4x^3-3x^4.)
Tập xác định: (D=R.)
Ta có: (y"=12x^2-12x^3) (Rightarrow y"=0Leftrightarrow 12x^2-12x^3=0) (Leftrightarrow left< eginalign& x=0 \ và x=1 \ endalign ight..)
(mathop lim limits_x o pm infty y = mathop lim limits_x o pm infty left( 4x^3 - 3x^4 ight) = - infty )
