Bài viết này Vted reviews và tổng vừa lòng đến các bạn đọc tất cả các dạng toán lãi suất vay kép thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT đất nước các năm sát đây:
>Tổng hợp tất cả các bí quyết tính nhanh nửa đường kính mặt ước ngoại tiếp khối đa diện
Định nghĩa lãi kép:Gửi chi phí vào ngân hàng, nếu mang đến kì hạn fan gửi khôngrút lãi ra với số chi phí lãi được tính vào vốn nhằm tính lãi cho kì kế tiếp.
Bạn đang xem: Bài toán lãi suất kép lớp 12
Ta thuộc xét một số trong những dạng câu hỏi hay gặp gỡ là nền tảng kiến thức để giải quyết các trường đúng theo riêng như sau:
Dạng 1:Theo vẻ ngoài lãi kép, nhờ cất hộ $a$ đồng, lãi suất vay $r$ một kì theo vẻ ngoài lãi kép. Tính số tiền thu về sau $n$ kì.
Sau kì đầu tiên số tiền bỏ túi $A_1=a+ar=a(1+r).$
Sau kì sản phẩm hai số tiền bỏ túi $A_2=A_1(1+r)=a(1+r)^2.$
Sau kì sản phẩm công nghệ $n$ số tiền tiếp thu $A_n=a(1+r)^n.$
Ta tất cả công thức lãi kép tính tổng số tiền thu về $A_n$ (gồm gốc và lãi) sau $n$ kì là
trong đó $a$ là số tiền nơi bắt đầu gửi vào đầu kì với $r$ là lãi suất.
Số tiền lãi thu về sau $n$ kì là $L_n=a(1+r)^n-a=a<(1+r)^n-1>$ (đồng).Số tiền gửi lúc đầu $a=dfracA_n(1+r)^n$ (đồng).Lấy logarit nhị vế, ta được: $n=log _1+rdfracA_na(*).$Công thức (*) cho thấy thêm để tổng số chi phí thu sau đây $n$ kì ít nhất là $A_n$ thì cần sau ít nhất $n=log _1+rdfracA_na$ kì gửi.
Trong thực tế, khi $log _1+rfracA_na$ nguyên thì $n=log _1+rdfracA_na,$ khi $log _1+rdfracA_na$ lẻ thì $n=left< log _1+rdfracA_na ight>+1.$
Ví dụ 1.Theo hiệ tượng lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng, lãi vay theo kì hạn một năm là 6% thì sau hai năm người này bỏ túi số chi phí là ?| A. 11,236 (triệu đồng). | B. 11 (triệu đồng). | C. 12,236 (triệu đồng). | D. 11,764 (triệu đồng). |
Giải. Số tiền thu trong tương lai 2 năm là
<10.(1+0,06)^2approx 11,236> (triệu đồng).
Chọn lời giải A.
Số tiền lãi là $11,236-10=1,236$ (triệu đồng).Ví dụ 2.Theo hình thức lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm người này thu về số chi phí lãi là ?| A. 11,272 (triệu đồng). | B. 10,617 (triệu đồng). | C. 1,272 (triệu đồng). | D. 0,617 (triệu đồng). |
Giải. Tổng số tiền người này thu về là
<10.(1+0,005)^24approx 11,272> (triệu đồng).
Số chi phí lãi tiếp thu là $11,272-10=1,272$ (triệu đồng).Chọn câu trả lời C.
Ví dụ 3.Theo hình thức lãi kép, một fan gửi vào bank 15 triệu đồng, lãi vay theo kì hạn một năm là 6%. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền người này thu về ít nhất là 19 triệu đ ?| A. 4 năm. | B. 6 năm. | C. 3 năm. | D. 5 năm. |
Giải. Số tiền tín đồ này thu về sau $n$ năm là $15.(1+0,06)^n$ (triệu đồng).
Theo trả thiết, ta có
$15.(1+0,06)^nge 19Leftrightarrow nge log _1,06frac1915approx 4,057.$
Vậy sau ít nhất 5 năm thì số tiền tín đồ này bỏ túi là tối thiểu 19 triệu đồng.
Chọn lời giải D.
Ví dụ 4. Một người dân có số tiền là $150.000.000$ đồng, mang gửi tiết kiệm ngân sách theo thể thức lãi kép, các loại kỳ hạn $6$ tháng vào ngân hàng với lãi suất <4%/>1 kỳ hạn. Vậy sau thời gian <7> năm <9> tháng, tín đồ đó nhận ra tổng số chi phí cả vốn cùng lãi là bao nhiêu (số tiền được làm tròn mang đến <100> đồng)? biết rằng khi thời gian rút tiền không tròn các kỳ hạn thì số ngày rút trước thời hạn (phần chưa tròn kỳ hạn) ngân hàng sẽ trả lãi suất theo loại không kỳ hạn <0,01%> một ngày. (<1> mon tính <30> ngày). Biết trong cục bộ quá trình gửi, bạn đó không rút tiền cội và lãi, lãi suất vay không cố gắng đổi.A. <275.491.382> đồng. | B. <271.491.526> đồng. | C. <272.572.800> đồng. | D. <270.141.526> đồng. |
Giải.Tổng số tiền thừa nhận của khoản gửi theo như đúng kì hạn 6 mon sau 7 năm 6 mon là $150left( 1+0,04 ight)^15$ triệu đồng.
Tổ số lãi cảm nhận của phần rút trước hạn đến 3 mon = 90 ngày là $150left( 1+0,04 ight)^15 imes 0,0001 imes 90$ triệu đồng.
Vậy toàn bô tiền nhận được sau 7 năm 9 mon là $150left( 1+0,04 ight)^15+150left( 1+0,04 ight)^15 imes 0,0001 imes 90approx 272,572800$ triệu đồng. Chọn lời giải C.
Ví dụ 5:Một fan gửi số chi phí $500$ (triệu đồng) vào bank với lãi vay $6,5$%/năm theo hiệ tượng lãi kép. Đến hết năm thiết bị $3,$ vì cần tiền nên người đó đúc kết $100$ (triệu đồng), phần sót lại vẫn tiếp tục gửi. Hỏi sau: $5$ năm tính từ lúc lúc bắt đầu gửi, bạn đó đã có được số chi phí là bao nhiêu? (Giả sử lãi suất không chuyển đổi trong suốt quá trình gửi; không nói $100$ (triệu đồng) đã rút).A. $571,620$ (triệu đồng). | B. $572,150$ (triệu đồng). | C. $573,990$ (triệu đồng). | D. $574,135$ (triệu đồng). |
Giải.Số tiền cảm nhận sau 5 năm là $left< 500left( 1+0,065 ight)^3-100 ight>left( 1+0,065 ight)^2approx 571,620$ triệu đồng. Chọn câu trả lời A.
Dạng 2:Theo hình thức lãi kép, đầu từng kì nhờ cất hộ $a$ đồng, lãi vay $r$ một kì. Tính số tiền chiếm được sau $n$ kì (gồm cả gốc và lãi)
Số chi phí thu sau này kì đầu tiên là $A_1=a(1+r).$
Số chi phí thu sau này kì vật dụng hai là $A_2=a(1+r)+a(1+r)^2.$
Số chi phí thu sau này $n$ kì là $A_n=a(1+r)+a(1+r)^2+...+a(1+r)^n.$
Áp dụng bí quyết tính tổng riêng lắp thêm $n$ của cấp cho số nhân với số hạng đầu với công bội $left{ eginalign& u_1=a(1+r) \& q=1+r \endalign ight.$, ta có
tổng số tiền lãi nhận được: $L_n=A_n-na=a(1+r).dfrac(1+r)^n-1r-na$ (đồng).
Từ phía trên ta có các công thức tương tác khác tuỳ thuộc vào yêu thương cầu bài bác toán:
Số chi phí gửi đầy đủ đặn đầu từng kì là $a=dfracA_nr(1+r)<(1+r)^n-1>$(đồng).
Số kì giữ hộ là
*Chú ý.Ta nên ý niệm số tiền đuc rút là số tiền bỏ túi của $n$ khoản gửi, mỗi khoảng tầm $a$ đồng cùng với kì hạn gửi tương xứng là $n,n-1,...,1$ khi đó số tiền đuc rút theo cách làm lãi kép là
| A.255,591 (triệu đồng).C.254,591 (triệu đồng). | B.254,320 (triệu đồng).D.255,320 (triệu đồng). |
Giải.Số tiền người này thu trong tương lai 2 năm là
<10(1+0,005)^24+10(1+0,005)^23+...+10(1+0,005)^1=10(1+0,005).dfrac(1+0,005)^24-10,005approx 255,591> (triệu đồng). Chọn câu trả lời A.
Ví dụ 2.Theo hình thức lãi kép, đầu hàng tháng một fan gửi những đặn vào ngân hàng cùng một số trong những tiền $m$ (triệu đồng), lãi suất vay theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau 2 năm số tiền fan này bỏ túi (cả gốc và lãi) là 100 (triệu đồng). Tính số chi phí $m.$| A. | B. |
Giải.Số tiền tín đồ này thu về sau 2 năm là
Theo đưa thiết, ta có
Chọn lời giải A.
Ví dụ 3.Một người cứ phần đa đặn đầu từng tháng đông đảo gửi vào bank một khoản tiền tiết kiệm ngân sách là $x$ đồng. Tìm $x$ để bạn này thừa nhận về số chi phí $200$ triệu đ sau $36$ tháng gởi tiết kiệm. Biết rằng tiền tiết kiệm gửi ngân hàng theo vẻ ngoài lãi kép, kỳ hạn một tháng với lãi vay là $0,67$% một mon và lãi suất vay không đổi trong suốt thời hạn gửi.A. $x=4900000.$ | B. $x=4800000.$ | C. $x=4890000.$ | D. $x=4000000.$ |
Giải. Xem thêm: Xác Suất Và Các Dạng Bài Toán Xác Suất Lớp 11 Bài 5: Xác Suất Của Biến Cố
$Leftrightarrow x=dfrac200.10^6sumlimits_k=1^36left( 1+0,0067 ight)^kapprox 48981500.$ Chọn câu trả lời A.
Ví dụ 4.Đều đặn đầu hàng tháng anh A gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí số tiền 6 triệu đồng/tháng với lãi suất 0,5%/tháng và cứ sau đúng hai năm số tiền gửi tiết kiệm đều đặn mỗi tháng tạo thêm 10% đối với 2 thời gian trước đó. Sau đúng 50 tháng kể từ ngày gởi anh A nhận được tổng số tiền bằng (giả định trong thời gian này lãi suất vay không nỗ lực đổi)A. $341.570.000$ đồng. | B. $336.674.000$ đồng. | C. $359.598.000$ đồng. | D. $379.782.000$ đồng. |
Giải. từ đầu tháng 1 đến vào đầu tháng 24 số tiền gửi tiết kiệm đều đặn đầu mỗi tháng là $m=6$ triệu đồng.
Từ đầu tháng 25 đến đầu tháng 48 số tiền gửi tiết kiệm đều đặn đầu mỗi tháng là $m_1=m imes (1+0,1)$ triệu đồng.
Từ vào đầu tháng 49 đến thời điểm đầu tháng 50 số chi phí gửi tiết kiệm chi phí đều đặn đầu hàng tháng là $m_2=m_1 imes (1+0,1)=m imes (1+0,1)^2$ triệu đồng.
Tổng số tiền nhận ra sau đúng 50 tháng kể từ ngày giữ hộ là
<eginarrayl left< m(1 + 0,005)^50 + ... + m(1 + 0,005)^27 ight> + left< m_1(1 + 0,005)^26 + ... + m_1(1 + 0,005)^3 ight> + left< m_2(1 + 0,005)^2 + m_2(1 + 0,005)^1 ight>\ = msumlimits_k = 27^50 (1,005)^k + m_1sumlimits_k = 3^26 (1,005)^k + m_2sumlimits_k = 1^2 (1,005)^k \ = 6sumlimits_k = 27^50 (1,005)^k + 6 imes 1,1sumlimits_k = 3^26 (1,005)^k + 6 imes 1,1^2sumlimits_k = 1^2 (1,005)^k = 359,598. endarray>
Chọn lời giải C.
Dạng 3:Theo vẻ ngoài lãi kép, vay $A$ đồng, lãi suất vay $r,$ trả nợ đều đặn mỗi kì số chi phí $m$ đồng. Hỏi sau từng nào kì thì trả hết số nợ gồm cả gốc và lãi ?
Gọi $m$ là số tiền trả đầy đủ đặn từng kì.
Sau kì thứ nhất số chi phí còn phải trả là $A_1=A(1+r)-m.$
Sau kì thiết bị hai số chi phí còn nên trả là
$A_2=A_1(1+r)-m=left< A(1+r)-m ight>(1+r)-m=A(1+r)^2-left< m+m(1+r) ight>.$
Sau kì máy n số chi phí còn buộc phải trả là
Theo bí quyết tổng riêng thiết bị $n$ của một cung cấp số nhân, ta có
Sau kì thứ $n$ trả không còn nợ cần $A_n=0,$ vày đó
| A. | B. |
Giải.Số chi phí còn cần trả sau tháng đầu tiên là $A_1=100(1+0,01)-m.$
Số tiền còn yêu cầu trả sau tháng thiết bị hai là $A_2=A_1(1+0,01)-m=100(1+0,01)^2-m-m(1+0,01).$
Số tiền còn buộc phải trả sau tháng sản phẩm 12 là $A_12=100(1+0,01)^12-left< m+m(1+0,01)+...+m(1+0,01)^11 ight>.$
Theo cách làm tổng riêng biệt của cấp cho số nhân, ta có
Sau tháng 12 fan này trả không còn nợ yêu cầu $A_12=0,$ vì chưng đó
<100(1+0,01)^12-m.dfrac(1+0,01)^12-10,01=0Leftrightarrow m=dfrac100 imes 0,01 imes (1+0,01)^12(1+0,01)^12-1=frac(1,01)^12(1,01)^12-1> (triệu đồng).
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Ông A vay ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất vay 0,67% /tháng. Ông ta ý muốn hoàn nợ cho bank theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông ta bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ thường xuyên cách nhau đúng một tháng, số tiền trả nợ hàng tháng đều đều bằng nhau và bằng 3 triệu. Hiểu được mỗi tháng bank chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi bằng phương pháp hoàn nợ đó, ông A đề xuất trả tối thiểu bao nhiêu tháng tính từ lúc ngày vay đến lúc trả không còn nợ bank (giả định trong thời gian này lãi suất vay không cố kỉnh đổi)A. 17 tháng. B. 19 tháng. C. 18 tháng. D. 20 tháng.
Giải.Số tiền còn nợ sau tháng đầu tiên là $A_1=50(1+0,0067)^1-3.$
Số chi phí còn nợ sau tháng vật dụng hai là $A_2=A_1(1+0,0067)^1-3=50(1+0,0067)^2-left< 3+3(1,0067) ight>.$
…
Số chi phí còn nợ sau tháng thứ n là $A_n=50(1+0,0067)^n-left< 3+3(1,0067)+...+3(1,0067)^n-1 ight>=50(1,0067)^n-3frac(1,0067)^n-10,0067.$
Trả hết nợ lúc
Vậy sau đúng 18 tháng tính từ lúc ngày vay đang trả hết nợ. Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Một người vay bank số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu vnd với lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% mỗi tháng. Kỳ trả đầu tiên là sau đúng một tháng tính từ lúc ngày vay, biết lãi vay không thay thay đổi trong suốt quá trình vay. Hỏi số tiền nên trả nghỉ ngơi kỳ sau cuối là bao nhiêu để fan này trả hết nợ ngân hàng?A. $2.921.000$ đồng. | B. $3.387.000$ đồng. | C. $2.944.000$ đồng. | D. $3.353.000$ đồng. |
Giải.Tổng số tiền còn nợ ngân hàng sau mon thứ một là $A_1=400(1+0,01)^1-10.$
Tổng số tiền còn nợ bank sau tháng thứ 2 là $A_2=A_1(1+0,01)^1-10=400(1+0,01)^2-left< 10+10(1,01) ight>.$
Tổng số tiền còn nợ ngân hàng sau tháng thứ n là $A_n=400(1,01)^n-left< 10+10(1,01)+...+10(1,01)^n-1 ight>=400(1,01)^n-10frac(1,01)^n-10,01=1000-600(1,01)^n.$
Trước tiên giải $A_n=0Leftrightarrow (1,01)^n=frac53Leftrightarrow n=log _1,01left( frac53 ight)approx 51,33.$
Số tiền còn nợ ngân hàng sau tháng máy 51 là $1000-600(1,01)^51approx 3.353.000$ đồng.
Số tiền yêu cầu trả cho bank cho tháng thứ 52 (kỳ cuối cùng) là $left( 1000-600(1,01)^51 ight) imes 1,01approx 3.387.000$ đồng. Chọn đáp án B.
Ví dụ 4:Hai bạn bè An và Bình cùng vay tiền ở ngân hàng với lãi vay $0,7$% một tháng với tổng số chi phí vay của hai người là 200 triệu đồng. Sau đúng một tháng tính từ lúc ngày vay, từng người ban đầu trả nợ cho ngân hàng khoản vay của mình. Từng tháng hai tín đồ trả số tiền đều bằng nhau cho bank để trừ vào tiền nơi bắt đầu và lãi. Để trả hết gốc và lãi cho bank thì An cần 10 tháng, Bình yêu cầu 15 tháng. Số tiền mà mọi cá nhân trả cho ngân hàng mỗi tháng gần nhất với số chi phí nào bên dưới đây?A. 7 614 000 đồng. | B. 10 214 000 đồng. | C. 9 248 000 đồng. | D. 8 397 000 đồng. |
Giải.Gọi số tiền vay thuở đầu là $u_0$ (đồng), tiền trả hàng tháng là $x$ (đồng) và lãi suất vay hàng tháng là 0, 7%.
Số tiền còn sót lại sau 1 mon $u_1=u_01,007-x$ (đồng)
Số tiền còn sót lại sau 2 tháng là $u_2=u_11,007-x=u_01,007^2-1,007x-x=u_01,007^2-xleft( 1+1,007 ight)$ (đồng).
Số tiền còn lại sau n tháng là $u_n=u_01,007^n-xleft( 1+1,007+1,007^2+...+1,007^n-1 ight)=u_01,007^n-xdfrac1,007^n-10,007$ (đồng).
Sau n tháng thì hết nợ $Rightarrow u_n=0Leftrightarrow u_0=dfracxleft( 1,007^n-1 ight)0,007.1,007^n$ (đồng)
Để trả không còn nợ thì An nên 10 tháng cùng Bình nên 15 tháng và số chi phí trả hàng tháng của nhì người giống hệt và tổng số tiền vay của hai bạn là 200 triệu đồng nên ta tất cả $dfracxleft( 1,007^10-1 ight)0,007.1,007^10+dfracxleft( 1,007^15-1 ight)0,007.1,007^15=2.10^8Rightarrow xapprox 8397070$ (đồng). Chọn đáp án D.
Tự luyện:Ba anh Sơn, Tuấn và Minh cùng vay tiền làm việc một ngân hàng với lãi vay $0,7$%/tháng, tổng số chi phí vay của cả ba fan là $1$ tỷ đồng. Biết rằng mỗi tháng cha người đầy đủ trả đến ngân hàng một số trong những tiền đồng nhất để trừ vào tiền nơi bắt đầu và lãi. Để trả hết nơi bắt đầu và lãi cho bank thì Sơn đề nghị $10$ tháng, Tuấn phải $15$ tháng và Minh phải $25$ tháng. Số tiền trả đều đặn cho bank mỗi tháng sớm nhất với số chi phí nào dưới đây?
A. $21090000$ đồng. | B. $21400000$ đồng. | C. $21420000$ đồng. | D. $21900000$ đồng. |
Ví dụ 5: Một người vay ngân hàng với số chi phí 50.000.000 đồng, từng tháng trả dần số tiền 4.000.000 đồng vào cuối tháng và buộc phải trả lãi suất vay cho số tiền chưa trả là 1% một mon theo hình thức lãi kép. Theo quy định, nếu fan vay trả trước hạn thì sẽ chịu thêm chi phí phạt bằng 3% số tiền trả trước hạn. Hết tháng thứ 6 , người đó mong muốn trả không còn nợ. Tổng cộng tiền bạn đó bắt buộc trả cho ngân hàng là
A. 54.886.000 đồng. | B. 53.322.000 đồng. | C. 53.864.000 đồng. | D. 52.468.000 đồng. |
Giải.Đặt $A=50$ triệu đồng và $m=4$ triệu vnd và $r=0,01.$ điện thoại tư vấn $A_n$ là số tiền còn nợ ngân hàng hết tháng máy $n.$
Ta gồm $A_1=Aleft( 1+r ight)-m;A_2=A_1left( 1+r ight)-m=Aleft( 1+r ight)^2-mleft< 1+left( 1+r ight) ight>$
$Rightarrow A_n=Aleft( 1+r ight)^n-mleft< 1+left( 1+r ight)+...+left( 1+r ight)^n-1 ight>=Aleft( 1+r ight)^n-m.dfracleft( 1+r ight)^n-1r$
Hết tháng đồ vật 6, tín đồ này còn nợ ngân hàng số chi phí $A_6.$ Nhưng từ bây giờ tiến hành trả trả không còn nợ phải phải trả thêm tổn phí phạt 3% của số tiền còn nợ là $A_6 imes 0,03.$
Tổng số tiền người đó đề xuất trả cho bank là $A_6left( 1+0,03 ight)+6 imes m=left< 50left( 1+0,01 ight)^6-4 imes dfracleft( 1+0,01 ight)^6-10,01 ight> imes left( 1+0,03 ight)+24approx 53,322$ triệu đồng. Chọn lời giải B.
Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy nhằm lại comment trong phần phản hồi ngay bên dưới nội dung bài viết này Vted sẽ gửi cho những bạn
Đề thi thử giỏi nghiệp thpt 2023 môn Toán có giải mã chi tiếtCombo 4 Khoá Luyện thi THPT giang sơn 2023 Môn Toán giành cho teen 2K5Fj
QXMYs7.png" alt="*">
Khoá học Toán 10 theo lịch trình SGK mới
Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm
EOsn
YEcj
B.png" alt="*">
