ÔN TẬP CUỐI NĂM1. Cho hàm số fix) = ax2 - 2(a + l)x + a + 2 (a * 0).Chứng tỏ rằng phương trình Rx) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.Tính tổng s và tích p của các nghiệm của phương trình Kx) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của s và p theo a.tfiải

Bạn đang xem: Toán lớp 12 ôn tập cuối năm

Vì a + (-2a - 2) + a + 2 = 0 nên phương trình fix) = 0 luôn có hainghiệm thực Xi = 1; x2 = a + 2 aaa2Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của s = 2 + —;a
Tập xác định: R \ (012S" = - —5- a2Đồ thị (Cl): s = 2 + — là đường nét liền a
Tịnh tiến đồ thị (Ci) song song với trục tung xuôìig dưới 1 đơn vị ta được đồ thị2. Cho hàm sô" y = - i X3 + (a - l)x2 + (a + 3)x - 4 3Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô" khi a = 0.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, X = -1, X = 1.(C2): p = 1 + — (nét đứt), a
Diện tích hình phẳng cần tìm là:s = J”~x3 - X2 + 3x - 4 dx = j<ỉx3 + X2 - 3x + 4^j dx1 4 1 3 oxz.-77-X + ~x ‘ - 3™- + 4x 1232= (đvdt) 33. Cho hàm sô’ y = X3 + ax2 + bx + 1Tìm a và b đề đồ thị của hàm sô’ đi qua hai điểm A(l; 2) và B(-2; -1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô’ ứng với các giá trị tìm được của a và b.Tính thế’ tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phắng giới hạn bởi các đường y = 0, X = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.Ốịiải
Để đồ thị của hàm sô" đi qua hai điểm A(l; 2) và B(-2; -1), ta phải có <2 = l + a + b + lia + b = o |a = 1ị-1 = -8 + 4a - 2b + 1 ° <2a - b = 3 “° |b = -1A■>■>-14•} t*Xét. chuyến động thẳng xầc định bới phương trình: s(t) = Ị t4 - t3 +- 3t,trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.. Tính v(2), a(2), biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyền động đã cho.Tim thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.ốjiải
Ta có vận tô"c: v(t) = s"(t) = t3 - 3t2 + t - 3, với t = 2 thì v(2) = -5 (m/s)Gia tô’c: a(t) = v"(t) = 3t2 - 6t + 1, với t = 2 thì a(2) = 1 (m/s2)v(t) = 0 t3 - 3t2 + t - 3 = 0 «• (t2 + l)(t -3) = 0«t = 3 (s).Cho hàm số y = X4 + ax2 + ba) Tính a, b đế hàm số có cực trị bằng khi X = 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) cúa hàm số đã cho khi a = -ì, b = 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.Ốịiảia) Ta có y" = 4x3 + 2ax
Hàm sô" có cực trị bằng khi X = 1 2y"(l) = 04 + 2a = 03 ly
X = ±-72Ta có ba tiếp điểm A(0; 1), B(-^=; 1), C(—7=; 1)X + m - 1Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điếm M có hoành độ a * -1.Tính khoảng cách từ điếm K-l; 1) đến tiếp tuyến d. Xác định a để khoảng cách đó là lớn nhâ’t.Ốjiảia) Khi m = 2 ta có y =x-2 x + 1TXĐ: D = R \ {-1} 3y => 0, Vx * -1(x +1)2Tiệm cận đứng: X = -1; tiệm cận ngang: y = 1X—oc—1+00y"++y*+CC1Giao điểm với trục Ox tại (2; 0); Giao điểm với trục Oy tại (0; -2).b) Với X = a => y =(a *-1)và f(a)=3(a +1)2Phương trình tiếp tuyến d có dạng3a-2y = 7" /-n2 (x - a) + 7—7 (a +1)a +1 (a + l)2y = 3(x-a) + (a - 2)(a + 1) 3x - (a + l)2y + á2 - 4a - 2 = 0Khoảng cách từ K-l; 1) đến d là
H = --+ \+= Tẽ (áp dụng: A + B > 2a/ÃB)79 + (a + l)476(a + l)2=> maxh = Tẽ khi và chỉ khi (a + l)4 = 9 a = —1 ± 73 .27. Cho hàm sô’ y = —í— .2-x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô’ đã cho.Tìm các giao điểm cùa (C) và đồ thị cúa hàm số y = X2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.Tinh thể tích vật thế’ tròn xoay thu được khi quay hình phăng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, X = 1 xung quanh trục Ox.a) Tập xác định: D = K \ )2|y = (2 - X)2> °’ Vx * 2X-co2+COy"++y"S" +CO—cc
Tiệm cận đứng X = 2, tiệm cận ngang y - 0 Bảng biến thiên
Hoành độ giao điểm của (C) với của phương trình:đồ thị hàm số y = X2 + 1 là nghiệm— -= X2 + 1 2 = (x2 + 1)(2 - x) với X * 22 - X x(-x2 + 2x - 1) = 0 Ta có f" (x) =2(2 - x)2x=o=>y=lvà f’(0) =phương trình tiếp tuyến có dạng y = -- X + 1;• X = 1 => y = 2 và f" (1) = 2=> phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2(x - 1) + 2 hay y = 2x
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:=đx = 4xf-dx1= 4ít-,(2-x)22-x8. Tìm giá trị lớn nhát, giá trị nhó nhát cũa các hàm sô”:fix) = 2x3 - 3xy - 12x + 1 trên đọạn <-2; -ị
L 2Jfix) = x21rx trên đoạn <1; e>4il| 1 - I = 2x (đvdt).fix) = xe " trẽn nứa khoảng <0; +x)fix) - 2sinx + sin2x trên đoạn.D = <-2; I >. HSLT trên-2;f (x) = 6x2 - 6x - 12; f (x) = 0 o
X = -1 6 D X = 2.e D533Ta có f(-l) = 8, f(2) = -19, f 0 Vx e <1; e> Do đó: mạxf(x) = f(e) = e2, minf(x) = f(l) = 0x?ì)xliĩ
D = <0; +oo)f "(x) = e“x - xe~x = e’*( 1 - x)f"(x) = 0 x = 1 ; lim f(x) = 0, f(0) = 0, f(l) = —x-»+coe
X0 1 +»v"+ 0 -y■ẽ0Bảng biến thiên:mạxf(x) = f(l) = —; minffx) = fio) = 0xel)p xi)f (x) = 2cosx + 2cos2x = 2(cosx + 2cos2x - 1);cosx = -1f(x) - 0 2cos2x + cosx - 1 = 0 1cosx = -7L 2Ta có f(0) = f
U) = 0, f
M = 3^3 , ffặ-ì = -? 0) ta có phương trình 13t2 - t - 12 = 0 t = 1 13x = 1 X = 0. Vậy s = (0!.Chia hai vế phương trình cho 6X ta được3X+2X 3X+3.2X2X1 + 31?
Đặt t = I 2 I (t > 0) ta có phương trình(t + 1)(1 + |) = 8ot2-4t + 3 = 0oế) =3t = 1t = -777 (ioại)13X = 0X = Iog;ì3 • Vậy s 2. Ta có:log 5 (x - 2).log5X = 21oga(x - 2) 21og:i(x - 2).logox = 21og;ì(x - 2)o lơg3(x - 2).(log5X - 1) = 0 c?

Xem thêm: Lớp Toán Thầy Chiến Chuyên Ngữ, Ôn Thi Vào Lớp 10 Trường Thpt Chuyên Ngoại Ngữ

Vậy s = (3; 51.d) Điếu kiện: X > 0Đặt t = log2x ta có phương trình ít = 2t - 5t + 6 = 0 t = 3ìog2x = 2 >og2x = 32*. Vậy s = (4; 81.Iog2(x2-n10. Giải các bất phương trình sau: a) 4Ốịlảia) Bâ"t phương trình đã cho tương đương với 2b)d)1 - log4 X 0), ta có bất phương trình13/2+00+ 11-0 +3 22t - 3t-1 0 ^ Hr 0 log2(x2 - 1) 0 1 0, đặt t = logx ta cót2 + 3t - 4 > 0 t lo 10 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:8 = 0;io; —Ị I 10000Jo <10; +oo)Điều kiện X > 0, đặt t = log2x, ta có bất phương trình l_|t——-— Ị 3 11 + t 44(1 +1) 0 2 -11+X2"\ỉtfỉtỉĩ\■*-|| + 0Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là s =° <2; +oo).11. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:a)ln xdx ;b)f xdx J sin2 Xc)J(n-x)sin xdx ;d)0J(2x + 3) -1úịlàl, dxr..1_„du = —u = Inx
XĐặt (=>,dv = Vxdx2 J3e493ọe4 19e4 4_|e44IVxlnxdx = ^x2lnx - 4 fx2dx = 47x^lnx - 37VX3= ^-(5e6+ 1)J3 Ij 3 J319,9TX-X Đặt (1=> 1dv = . dx
IV = -cotxsin Xx/f xdxn/2n/2f
COSX ,n/2F= -xcotx+ Idx = -xcotx+ ln|sinx|J6sin X;Ksinx71/6*/671/6x/27t / 67173+ ln2c) Đặtu = 71 - X dv = sinxdxdu = -dx V = -cosx7171 7t
J71 - x)sinxdx = -(71 - x)cosx - Jcosxdx = -(71 - x)cosx- sinx= 7Ĩd) Đặtu = 2x + 3 dv = e"xdxdu = 2dx V = -e‘x0°°,J(2x + 3)e"xdx = -(2x + 3)e"x +2 Je"xdx = -(2x + 3)e"x -1-1-1-2e"= 3e - 5.12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:a> Jtan(j-4x)dx (đặt u = COS - 4x}) c) J sin3 xcos’xdx (đạt u = cosx)f -—d*(đặt X = Ệ tant)■L 9 + 25x25Xd) f — + t an* dx (đặt u = ựl + tanx ). \ COS XỐịiảidu
Đổi cận:X07Ĩ24173u22a) Đặt u = COS -4x => du = 4sin
P-4x dx => sin 7-4x dx = dx =53dt5cos2t7353/5 Jn/4Do đó=7167143dtự//6 9 + 25x 5cos t(9 + 9tan t)= ^fdt=M-ỉ)=-ỉ- 15J15\4 6j 180c) Đặt u = cosx => du = -sinxdx
X0712u10n/2-0Do đó Jsin3xcos4xdx = J (u2 - l)u4du010= J (u6 - u4)du =1/ 7,6>uuy35d) Đặt u = Vl + tanx hay u2 = 1 + tanx => 2udu =dx
COS2XX71~4714u07?
An , n/r Vl + tanx J "" r 2, _ 2 .3 Do đó —dx = 2u du = ~u
J/4 cos x0313. Tính diện tích hình phăng giới hạn bởi các đường: a) y = X2 + 1, X = -1, X = 2 và trục hoành4V23b) y = lnx, X = -, X = e vậ trục hoành, e_,2fx3 ÝDiện tích hình phẳng cần tìm là: s = J(x2 + l)dx =+ XJ =6eee
Diện tích cần tìm là: s = JJlnxjdx = - J lnxdx + J lnxdx111eedx
Đặt u = lnx, dv = dx => du = — , V = X.XTa có: ýnxdx = xlnx - J dx = x(lnx - 1) + c„„’„_.e71Do đó s = -x(lnx - 1)+ x(lnx -1) = 2 1- -1/e1V e14. Tìm thể tích vật thế" tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = X3 xung quanh trục Ox.Ốịiải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:2x2 = X3 x2(2 - x) - 0 Với X 6 <0; 2> thì 2x2 > X3 nên thể tích vật thể tròn xoay là:V = 71 J <(2x2)2 - (x3)2>dx = 71 J (4x4 - x6)dx 0 0lõ 72567135Giãi các phương trình sau trên tập sô" phức:a) (3 + 2i)z - (4 +-7Ĩ) = 2 - 5i;z2 - 2z + 13 = 0;b) (7 - 3i)z + (2 + 3i) = (5 - 4i)z;z4 - z2 - 6 = 0.Ốjiảía) (3 + 2i)z - (4 + 7i) = 2 - 5i (2 - 5i) + (4 + 7i) z =3 + 2i z -6 + 2i3 + 2i z -22 61313(7 - 3i)z + (2 + 3i) = (5 - 4i)z (5 - 4i - 7 + 3i)z = 2 + 3i z - -2 + 3i7 42 + i
Phương trình đã cho có A" = 1 - 13 = 12i2 nên z = 1 ± 2 73 i
Đặt t = z2, ta có phương, trình bậc hai t2 - t - 6 = 0 với hai nghiệm là t = -2, t = 3.Vậy phương trình đã cho có bốn nghiêm là zli2 = ±73 , z3,4 = ±72 i
Trên mặt phăng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biếu diễn sô" phức z thỏa mãn bất đẳng thức:a) |z I
Lớp 1

Tài liệu Giáo viên

Lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Lớp 2 - Cánh diều

Tài liệu Giáo viên

Lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Lớp 3 - Cánh diều

Tài liệu Giáo viên

Tài liệu Giáo viên

Lớp 4

Lớp 4 - Kết nối tri thức

Lớp 4 - Chân trời sáng tạo

Lớp 4 - Cánh diều

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Lớp 5

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Tài liệu Giáo viên

Lớp 6

Lớp 6 - Kết nối tri thức

Lớp 6 - Chân trời sáng tạo

Lớp 6 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 7

Lớp 7 - Kết nối tri thức

Lớp 7 - Chân trời sáng tạo

Lớp 7 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 8

Lớp 8 - Kết nối tri thức

Lớp 8 - Chân trời sáng tạo

Lớp 8 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 9

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Tài liệu Giáo viên

Lớp 10

Lớp 10 - Kết nối tri thức

Lớp 10 - Chân trời sáng tạo

Lớp 10 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 11

Lớp 11 - Kết nối tri thức

Lớp 11 - Chân trời sáng tạo

Lớp 11 - Cánh diều

Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Lớp 12

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Tài liệu Giáo viên

Giáo viên

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12


*

Với giải bài tập Toán 12 hay nhất, chi tiết bám sát sách Giải tích 12 và Hình học 12 giúp học sinh lớp 12 dễ dàng biết cách làm bài tập về nhà môn Toán 12.

Giải bài tập Toán 12

Giải Toán 12 Giải tích

Toán lớp 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số