Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}\)(2; -5; 3), \(\overrightarrow{b}\)(0; 2; -1), \(\overrightarrow{c}\)(1; 7; 2).

Bạn đang xem: Bài tập toán hình lớp 12 trang 68

a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).

b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).

Giải:

a) \(4\overrightarrow{a}=( 8; -20; 12)\); \(\frac{1}{3}\overrightarrow{b}= (0;\frac{2}{3}; \frac{-1}{3})\) ; \(2\overrightarrow{c} = ( 3; 21; 6)\). 

Vậy \(\overrightarrow{d}=(11; \frac{1}{3};\frac{55}{3})\).

b) Tương tự \(\overrightarrow{e}=( 0; -27; 3)\).

Bài 2 trang 68 - SGK Hình học 12

Cho ba điểm \(A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1)\).

Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

 Giải:

\(G\) là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) (*)

Giả sử \(G(x; y; z)\) thì \(\overrightarrow{GA} = (1 - x; -1 - y; 1 - z)\);

\(\overrightarrow{GB} = (-x; 1 - y; 2 - z)\);

\(\overrightarrow{GC} = (1 - x; -y; 1 - z)\);

=> \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = (2 - 3x; -3y; 4 - 3z)\)

Do hệ thức (*), ta có :

\(2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\) ;

\(-3y = 0 \Rightarrow y = 0\);

\( 4 - 3z = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{3}\).

Vậy \(G(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3})\).

Xem thêm: Toán 10 5.8 - toán học lớp 10

Nhận xét : Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(3\) đỉnh của tam giác.

Bài 3 trang 68 - SGK Hình học 12

Cho hình hộp \(ABCD.A"B"C"D"\) biết \(A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1)\),

\(C" (4; 5; -5)\). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Giải:

*

Ta có:

\(\eqalign{& \overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right) \cr & \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {0; - 1;0} \right) \cr & \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_C} - 2 = 0 \hfill \cr {y_C} - 1 = - 1 \hfill \cr {z_C} - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_C} = 2 \hfill \cr {y_C} = 0 \hfill \cr {z_C} = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(C = (2; 0; 2)\)

Suy ra \(\overrightarrow {CC"} = \left( {2;5; - 7} \right)\)

Từ \(\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow {CC} = \left( {2;5; - 7} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \matrix{{x_A} - 1 = 2 \hfill \cr {y_A} - 0 = 5 \hfill \cr {z_A} - 1 = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_A} = 3 \hfill \cr {y_A} = 5 \hfill \cr {z_A} = - 6 \hfill \cr} \right.\) 

a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\), suy ra tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\).

Cách 2: Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {-a;-b;-c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có phương trình :

\(\begin{array}{l}\quad {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + {y^2} - 2y + {z^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\)

Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\).

Cách 2: Ta có: 

\(\begin{array}{l}2a = - 8;\;2b = - 2;\;2c = 0;\;d = 1\\ \Rightarrow a = - 4;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d = 1\\{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 4} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + 0 - 1 = 16\end{array}\)

 do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\), bán kính \(R=4\).


Quảng cáo

*

LG b

b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1

Ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\quad 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3{y^2} + 8y + 3{z^2} + 15z - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + {y^2} + \frac{8}{3}y + {z^2} + 5z - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left< {{y^2} + 2.\frac{4}{3}y + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} \right> \\+ \left< {{z^2} + 2.\frac{5}{2}z + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} \right> - 1 - 1 - {\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{361}}{{36}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{19}}{6}} \right)^2}\end{array}\)

Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\dfrac{4}{3};-\dfrac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \dfrac{19}{6}\).

Cách 2: 

Xét phương trình \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0}\\{{\rm{Ta \, có : }}2a = - 2;\;2b = \frac{8}{3};\;2c = 5;\;d = - 1}\\{ \Rightarrow a = - 1;b = \frac{4}{3};c = \frac{5}{2};d = - 1}\\{{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 1 = \frac{{361}}{{36}} = {{\left( {\frac{{19}}{6}} \right)}^2}}\end{array}\)

do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(J\left( {1; - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{19}}{6}\).