Cho ba vectơ (overrightarrowa)(2; -5; 3), (overrightarrowb)(0; 2; -1), (overrightarrowc)(1; 7; 2).
Bạn đang xem: Bài tập toán hình lớp 12 trang 68
a) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrowd=4.overrightarrowa-frac13overrightarrowb+3overrightarrowc).
b) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrowe=overrightarrowa-4overrightarrowb-2overrightarrowc).
Giải:
a) (4overrightarrowa=( 8; -20; 12)); (frac13overrightarrowb= (0;frac23; frac-13)) ; (2overrightarrowc = ( 3; 21; 6)).
Vậy (overrightarrowd=(11; frac13;frac553)).
b) Tương tự (overrightarrowe=( 0; -27; 3)).
Bài 2 trang 68 - SGK Hình học tập 12
Cho ba điểm (A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1)).
Tìm tọa độ trung tâm (G) của tam giác (ABC).
Giải:
(G) là trọng tâm của tam giác ABC thì (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0) (*)
Giả sử (G(x; y; z)) thì (overrightarrowGA = (1 - x; -1 - y; 1 - z));
(overrightarrowGB = (-x; 1 - y; 2 - z));
(overrightarrowGC = (1 - x; -y; 1 - z));
=> (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC = (2 - 3x; -3y; 4 - 3z))
Do hệ thức (*), ta bao gồm :
(2 - 3x = 0 Rightarrow x = frac23) ;
(-3y = 0 Rightarrow y = 0);
( 4 - 3z = 0 Rightarrow z = frac43).
Vậy (G(frac23;0;frac43)).
Xem thêm: Toán 10 5.8 - toán học lớp 10
Nhận xét : trọng tâm (G) của tam giác (ABC) bằng trung bình cộng các tọa độ khớp ứng của (3) đỉnh của tam giác.
Bài 3 trang 68 - SGK Hình học tập 12
Cho hình hộp (ABCD.A"B"C"D") biết (A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1)),
(C" (4; 5; -5)). Tính tọa độ những đỉnh sót lại của hình hộp.
Giải:
Ta có:
(eqalign{& overrightarrow AB = left( 1;1;1 ight) cr & overrightarrow A mD = left( 0; - 1;0 ight) cr & overrightarrow BC = overrightarrow A mD Leftrightarrow left{ matrixx_C - 2 = 0 hfill cr y_C - 1 = - 1 hfill cr z_C - 2 = 0 hfill cr ight. Leftrightarrow left matrixx_C = 2 hfill cr y_C = 0 hfill cr z_C = 2 hfill cr ight. cr )
Vậy (C = (2; 0; 2))
Suy ra (overrightarrow CC" = left( 2;5; - 7 ight))
Từ (overrightarrow AA = overrightarrow BB = overrightarrow DD = overrightarrow CC = left( 2;5; - 7 ight))
Suy ra (left{ matrixx_A - 1 = 2 hfill cr y_A - 0 = 5 hfill cr z_A - 1 = - 7 hfill cr ight. Leftrightarrow left{ matrixx_A = 3 hfill cr y_A = 5 hfill cr z_A = - 6 hfill cr ight.)
a) (x^2 + m y^2 + m z^2- m 8x m - m 2y m + m 1 m = m 0);
Phương pháp giải:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: (left( x - a ight)^2 + left( y - b ight)^2 + left( z - c ight)^2 = R^2), suy ra tâm (Ileft( a;b;c ight)) và nửa đường kính bằng (R).
Cách 2: Phương trình tất cả dạng (x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0,,left( a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 ight)) là phương trình phương diện cầu tất cả tâm (Ileft( -a;-b;-c ight)) và phân phối kính (R = sqrt a^2 + b^2 + c^2 - d ).
Lời giải đưa ra tiết:
Cách 1: Ta gồm phương trình :
(eginarraylquad x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\ Leftrightarrow x^2 - 8x + y^2 - 2y + z^2 + 1 = 0\ Leftrightarrow x^2 - 8x + 16 + y^2 - 2y + 1 + z^2 = 16\ Leftrightarrow left( x - 4 ight)^2 + left( y - 1 ight)^2 + z^2 = 16endarray)
( Leftrightarrow m left( x m - m 4 ight)^2 + m left( y m - m 1 ight)^2 + m z^2 = m 4^2)
Đây là mặt ước tâm (I(4; 1; 0)) và có nửa đường kính (r = 4).
Cách 2: Ta có:
(eginarrayl2a = - 8;;2b = - 2;;2c = 0;;d = 1\ Rightarrow a = - 4;mkern 1mu mkern 1mu b = - 1;mkern 1mu mkern 1mu c = 0;mkern 1mu mkern 1mu d = 1\R^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d = left( - 4 ight)^2 + left( - 1 ight)^2 + 0 - 1 = 16endarray)
do đó đây là phương trình mặt cầu tâm (Ileft( 4;1;0 ight)), nửa đường kính (R=4).
Quảng cáo
LG b
b) (3x^2 + m 3y^2 + m 3z^2- m 6x m + m 8y m + m 15z m - m 3 m = m 0)
Lời giải bỏ ra tiết:
Cách 1:
Ta gồm phương trình:
(eginarraylquad 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\ Leftrightarrow 3x^2 - 6x + 3y^2 + 8y + 3z^2 + 15z - 3 = 0\ Leftrightarrow x^2 - 2x + y^2 + frac83y + z^2 + 5z - 1 = 0\ Leftrightarrow left( x^2 - 2x + 1 ight) + left< y^2 + 2.frac43y + left( frac43 ight)^2 ight> \+ left< z^2 + 2.frac52z + left( frac52 ight)^2 ight> - 1 - 1 - left( frac43 ight)^2 - left( frac52 ight)^2 = 0\ Leftrightarrow left( x - 1 ight)^2 + left( y + frac43 ight)^2 + left( z + frac52 ight)^2 - frac36136 = 0\ Leftrightarrow left( x - 1 ight)^2 + left( y + frac43 ight)^2 + left( z + frac52 ight)^2 = left( frac196 ight)^2endarray)
Đây là mặt mong tâm (J(1; -dfrac43;-dfrac52)) và có bán kính là (R = dfrac196).
Cách 2:
Xét phương trình (3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0)
(eginarray*20l Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 2x + frac83y + 5z - 1 = 0\ mTa , bao gồm : 2a = - 2;;2b = frac83;;2c = 5;;d = - 1\ Rightarrow a = - 1;b = frac43;c = frac52;d = - 1\R^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d = left( - 1 ight)^2 + left( frac43 ight)^2 + left( frac52 ight)^2 + 1 = frac36136 = left( frac196 ight)^2endarray)
do đó đấy là phương trình mặt ước tâm (Jleft( 1; - dfrac43; - dfrac52 ight)), bán kính (R = dfrac196).
