Phương pháp tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. Uv ight|_a^b - intlimits_a^b vdu ).
Bạn đang xem: Toán 12 bài 3 trang 113
Đặt (left{ eginarraylu = x + 1\dv = sin xdxendarray ight.)
Lời giải chi tiết:
Đặt (left{ eginarraylu = x + 1\dv = sin xdxendarray ight.) ( Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = - cos xendarray ight.)
(eginarraylRightarrow intlimits_0^fracpi 2 left( x + 1 ight)sin xdx \= left. - left( x + 1 ight)cos x ight|_0^fracpi 2 + intlimits_0^fracpi 2 cos xdx \= left. - left( x + 1 ight)cos x ight|_0^fracpi 2 + left. sin x ight|_0^fracpi 2endarray)
( = - left( fracpi 2 + 1 ight)cos fracpi 2 + left( 0 + 1 ight)cos 0 )(+ sin fracpi 2 - sin 0)
(=0+1+1-0=2)
Quảng cáo
LG b
(int_1^ex^2ln xdx)
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. Uv ight|_a^b - intlimits_a^b vdu ).
Đặt (left{ eginarraylu = ln x\dv = x^2dxendarray ight.)
Lời giải chi tiết:
Đặt (left{ eginarraylu = ln x\dv = x^2dxendarray ight.) ( Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = fracx^33endarray ight.)
(eginarraylRightarrow intlimits_1^e x^2ln x dx \= left. left( ln x.fracx^33 ight) ight|_1^e - frac13intlimits_1^e x^2dx \= left. left( ln x.fracx^33 ight) ight|_1^e - left. fracx^39 ight|_1^eendarray)
(eginarrayl = ln e.frace^33 - ln 1.frac1^33 - left( frace^39 - frac1^39 ight)\ = frace^33 - 0 - frace^39 + frac19\ = frac2e^39 + frac19\ = frac19left( 2e^3 + 1 ight)endarray)
LG c
(int_0^1ln(1+x)dx);
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. Uv ight|_a^b - intlimits_a^b vdu ).
Đặt (left{ eginarraylu = ln left( 1 + x ight)\dv = dxendarray ight.)
Lời giải bỏ ra tiết:
Đặt (left{ eginarraylu = ln left( 1 + x ight)\dv = dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdx1 + x\v = xendarray ight.)
(eginarraylRightarrow intlimits_0^1 ln left( x + 1 ight)dx \= left. left( x.ln left( 1 + x ight) ight) ight|_0^1 - intlimits_0^1 fracxx + 1dx \= left. left( x.ln left( 1 + x ight) ight) ight|_0^1 - intlimits_0^1 fracx + 1 - 1x + 1dx \= left. left( x.ln left( 1 + x ight) ight) ight|_0^1 - intlimits_0^1 left( 1 - frac1x + 1 ight)dx \= left. left( x.ln left( 1 + x ight) ight) ight|_0^1 - left. left( x + 1 ight ight) ight|_0^1endarray)
(eginarrayl = 1.ln left( 1 + 1 ight) - 0.ln left( 0 + 1 ight)\ - left( ight)\ = ln 2 - 1 + ln 2\ = 2ln 2 - 1endarray)
LG d
(int_0^1(x^2-2x-1)e^-xdx)
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. Uv ight|_a^b - intlimits_a^b vdu ).
Đặt (left{ eginarraylu = x^2 - 2x - 1\dv = e^ - xdxendarray ight.)
Lời giải bỏ ra tiết:
Đặt (left{ eginarraylu = x^2 - 2x + 1\dv = e^ - xdxendarray ight. )(Rightarrow left{ eginarrayldu = left( 2x - 2 ight)dx\v = - e^ - xendarray ight.)
(eginarraylRightarrow intlimits_0^1 left( x^2 - 2x - 1 ight)e^ - xdx \= left. - e^ - xleft( x^2 - 2x - 1 ight) ight|_0^1 \+ 2intlimits_0^1 left( x - 1 ight)e^ - xdx \= left. - e^ - xleft( x^2 - 2x - 1 ight) ight|_0^1 + 2I_1\= 2e^ - 1 - 1 + 2I_1endarray)
Đặt (left{ eginarraylu = x - 1\dv = e^ - xendarray ight. )(Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = - e^ - xendarray ight.).
(eginarraylRightarrow I_1 = left. - e^ - xleft( x - 1 ight) ight|_0^1 + intlimits_0^1 e^ - xdx \= left. - e^ - xleft( x - 1 ight) ight|_0^1left. - e^ - x ight|_0^1\= - 1 - left( e^ - 1 - 1 ight) =- e^ - 1endarray).
Xem thêm: Những bài toán hình tuyển sinh lớp 10 thường gặp, các dạng toán hình học ôn thi vào lớp 10 năm 2024
(int x^alpha dx = fracx^alpha + 1alpha + 1 + Cleft( alpha e - 1 ight))
Lời giải bỏ ra tiết:
Đặt (u= x+1 Rightarrow du = dx) và (x = u - 1).
Đổi cận: (left{ eginarraylx = 0 Rightarrow u = 1\x = 3 Rightarrow u = 4endarray ight.)
(eginarraylintlimits_0^3 fracx^2left( 1 + x ight)^frac32dx = intlimits_1^4 fracleft( u - 1 ight)^2u^frac32du \= intlimits_1^4 fracu^2 - 2u + 1u^frac32du \= intlimits_1^4 left( u^frac12 - 2u^ - frac12 + u^ - frac32 ight)du \ = left. left( fracu^frac12 + 1frac12 + 1 - 2.fracu^ - frac12 + 1 - frac12 + 1 + fracu^ - frac32 + 1 - frac32 + 1 ight) ight|_1^4\= left. left( frac23u^frac32 - 4u^frac12 - 2u^ - frac12 ight) ight|_1^4\= - frac113 - left( - frac163 ight) = frac53endarray)
Quảng cáo
LG b
(int_0^1sqrt1-x^2dx) (Đặt (x = sint) )
Phương pháp giải:
Đặt (x = sint)
Sử dụng phương pháp hạ bậc: (cos ^2alpha = frac1 + cos 2alpha 2)
Sử dụng phương pháp nguyên hàm: (int cos left( ax + b ight)dx = fracsin left( ax + b ight)a + C)
Lời giải bỏ ra tiết:
Đặt (x = sint), (0
LG c
(int_0^1dfrace^x(1+x)1+x.e^xdx) (Đặt (u = 1 + x.e^x))
Phương pháp giải:
Đặt (u = 1 + x.e^x).
Lời giải chi tiết:
Đặt: (u= 1 + x.e^x)
(Rightarrow du = 0+ left( e^x + x.e^x ight)dx )(= e^xleft( 1 + x ight)dx).
Đổi cận: (left{ eginarraylx = 0 Rightarrow u = 1\x = 1 Rightarrow u = 1 + eendarray ight.)
(eginarraylRightarrow intlimits_0^1 frace^xleft( 1 + x ight)1 + xe^xdx = intlimits_1^1 + e fracduu = left. ln left ight|_1^1 + e\= ln left( 1 + e ight) - ln 1 = ln left( 1 + e ight)endarray)
LG d
(int_0^fraca2frac1sqrta^2-x^2dx) (Đặt (x= asint))
Phương pháp giải:
Đặt (x= asint).
Lời giải chi tiết:
Đặt (x = asin t Rightarrow dx = acos tdt)
Đổi cận: (left{ eginarraylx = 0 Rightarrow t = 0\x = fraca2 Rightarrow t = fracpi 6endarray ight.)
(eginarraylRightarrow intlimits_0^fraca2 frac1sqrt a^2 - x^2 dx = intlimits_0^fracpi 6 fracacos tdtsqrt a^2 - a^2sin ^2t \= intlimits_0^fracpi 6 fracacos tdta.cos t = intlimits_0^fracpi 6 dt = left. T ight|_0^fracpi 6 = fracpi 6endarray).
