Toán olympic 10 - 10 đề thi olympic toán 10 có đáp án (phần 1)

Sau đây công ty chúng tôi xin reviews thầy cô và các em học sinh để thi và giải đáp môn toán lớp 10 kì thi học sinh giỏi năm học tập 2022-2023

Bài 1 (4,0 điểm) mang đến Parabol $(P): y=x^2-2 x-1$.

Bạn đang xem: Toán olympic 10

1) Lập bảng đổi mới thiên cùng vẽ trang bị thị $(P)$.

2) Tìm quý hiếm thực của $m$ để mặt đường thẳng $d: y=m x+1$ cắt $(P)$ tại nhì điểm phân biệt tất cả hoành độ $x_1 ; x_2$ đống ý $left|x_1-x_2 ight|$ nhỏ tuổi nhất ?

Bài 2 (3,0 điểm)

Một trang trại yêu cầu thuê xe đi lại 450 nhỏ lợn cùng 35 tấn cám. Siêu thị cho thuê xe chỉ bao gồm 12 xe béo và 10 xe pháo nhỏ. Một loại xe lớn có thể chở 50 nhỏ lợn và 5 tấn cám. Một cái xe nhỏ có thể chở 30 bé lợn với 1 tấn cám. Tiền mướn một xe to là 4 triệu đồng, một xe nhỏ tuổi là 2 triệu đồng. Hỏi trang trại đề xuất thuê từng nào xe mỗi một số loại để ngân sách thuê xe là tốt nhất?

Bài 3 (6,0 điểm)

1) Giải bất phương trình $sqrt2 x+5 leq 2 x-1$.

2) Giải phương trình $10 sqrtx^3+1=3left(x^2+2 ight)$.

3) Tính quý giá biểu thức $P=cos ^2 1^circ+cos ^2 2^circ+cos ^2 3^circ+ldots+cos ^2 180^circ$.

Bài 4 (4,0 điểm). Mang đến tam giác $A B C$ tất cả $A C=2 A B, A B=sqrt3, widehatB A C=60^circ, A D$ là mặt đường phân giác trong của góc $widehatB A C$. Mang điểm $I$ thỏa mãn $overrightarrowA I=frac23 overrightarrowA D$, con đường thẳng $B I$ giảm $A C$ tại $M$.

1) chứng tỏ $overrightarrowA D=frac23 overrightarrowA B+frac13 overrightarrowA C$;

2) Tính độ lâu năm cạnh $B C$, $A D$.

3) Tính giá trị biểu thức $P=fracA MA C+fracB IB M$.

Bài 5 (3,0 điểm). Trong khía cạnh phẳng với hệ tọa độ $mathrmO x y$, đến hình chữ nhật $A B C D$ có diện tích s bằng 12 , $B D=sqrt26$ và điểm $A(2 ;-1)$. Biết điểm $C$ bao gồm hoành độ dương và nằm trên đường thẳng $d: x-y+1=0$.

1) Viết phương trình mặt đường thẳng $A C$.

2) tìm kiếm tọa độ điểm $B$ biết $B$ có hoành độ to hơn 4.

Hướng dẫn giải:

Bài 2.

Gọi $x, y$ thứu tự là số xe phệ và số xe nhỏ tuổi cần phài thuê.

Điều kiện: $0

Một mẫu xe lớn hoàn toàn có thể chở 50 con lợn và 5t cám đề xuất số lợn cùng cám xe mập chở được là 50$x$ nhỏ lợn cùng 5$x$ tấn cám.

Một cái xe nhỏ có thể chở 30 con lợn cùng 1 tấn cám đề nghị số lợn với cám xe nhỏ chở được là 30$ y$ con lợn và $y$ tấn cám.

Xe chở hết 450 bé lợn cùng 35 tấn cám cần ta tất cả hệ bất phương trình sau $left{eginarrayl0 leq x leq 12 \0 leq y leq 10 \50 x+30 y geq 450 \5 x+y geq 35endarray ight.$

Tổng kinh phí thuê xe là $T=4 x+2 y$ triệu đồng.

Vẽ khẳng định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình ngũ giác $A B C D E$ cùng với $A(6;5),,,B(9;0)$, $C(12 ; 0), D(12,10), E(5 ; 10)$ $D(12,10),$ $E(5;10)$.

Khi đó $T(A)=34;,,T(B)=36;,,T(C)=48;,,T(D)=68;,,T(E)=40$.

Vậy trang trại cần thuê 6 mẫu xe phệ và 5 cái xe nhỏ tuổi để giá cả thuê xe là ít nhất.

Bài 3.

1) $sqrt2x+5le 2x-1$ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l2x+5ge 0 \ 2x-1ge 0 \ 2x+5le (2x-1)^2 \endarray ight.$ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l xge frac12 \ 4x^2-6x-4ge 0 \ endarray ight.$ . . . $xge 2$. Kết luận: . . .

2) Điều khiếu nại $x geqslant-1$.

Đặt $sqrtx+1=age 0;$ $sqrtx^2-x+1=b>0$.

Có $10ab=3left( a^2+b^2 ight)$ $Leftrightarrow left< eginarray*35l a=3b \ b=3a \ endarray ight.$.

Có tiếp $left< eginarray*35l sqrtx+1=3sqrtx^2-x+1 \sqrtx^2-x+1=3sqrtx+1 \ endarray ight.$ $Leftrightarrow left< eginarray*35l 9x^2-10x+8=0 \ x^2-10x-8=0 \ endarray ight.$ $Leftrightarrow x=5pm sqrt33$. Kết luận: . . .

3) $P=2left( cos ^21^^circ +cos ^22^^circ +cos ^23^^circ +cdots ight.left. +cos ^289^^circ ight)+cos ^290^^circ +cos ^2180^^circ $

$=2left< left( cos ^21^^circ +cos ^289^^circ ight)+left( cos ^22^^circ +cos ^288^^circ ight)+cdots +left( cos ^244^^circ +cos ^246^^circ ight) ight.left. +cos ^245^^circ ight>+0+1$$=2left(44+frac12 ight)+1=90.$

Bài này vẫn sử dụng các công thức: $cos left( 180^^circ -alpha ight)=-cos alpha$, $cos left( 90^^circ -alpha ight)=sin alpha$, $sin ^2alpha +cos ^2alpha =1.$

Bài 4.

Xem thêm: Giải Bài 4 Trang 17 Sgk Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo Tập 2 Trang 17

1) bao gồm $fracABAC=fracBDDC$ $Leftrightarrow fracBDDC=frac12$ $Rightarrow BD=frac12DC$ $Rightarrow overrightarrowBD=frac13overrightarrowBC.$

$overrightarrowAD=overrightarrowAB+overrightarrowBD$ $=overrightarrowAB+frac13overrightarrowBC$ $=overrightarrowAB+frac13left( overrightarrowAC-overrightarrowAB ight)$ $=frac23overrightarrowAB+frac13overrightarrowAC$.

2) $BC^2=AB^2+AC^2-2ABcdot ACcdot cos A$ $=3+12-2cdot sqrt3cdot 2sqrt3cdot cos 60^^circ =9$ $Rightarrow BC=3$.

$overrightarrowAD^2=frac49overrightarrowAB^2+frac19overrightarrowAC^2+2cdot frac29overrightarrowABcdot overrightarrowAC$ $=frac49cdot AB^2+frac19AC^2+frac49|overrightarrowAB|cdot |overrightarrowCC|cdot cos left( overrightarrowABcdot overrightarrowAC ight)=4$ $Rightarrow AD=2$.

3) trả sử $overrightarrowAM=kcdot overrightarrowAC$.

$overrightarrowA I=frac23 overrightarrowA D=frac23left(frac23 overrightarrowA B+frac13 overrightarrowA C ight)=frac49 overrightarrowA B+frac29 overrightarrowA C$ $=frac23left( frac23overrightarrowAB+frac13overrightarrowAC ight)$ $=frac49overrightarrowAB+frac29overrightarrowAC$

$B, M, I$ thẳng sản phẩm khi $overrightarrowA M=x overrightarrowA B+y overrightarrowA I$ cùng với $x+y=1$.

Ta gồm $left{ eginarray*35l k=frac2y9 \ x+frac4y9=0 \ x+y=1 \ endarray ight.$ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l y=frac95 \ x=frac-45 \ k=frac25 \endarray ight.$. Suy ra $fracAMAC=frac25$.

$overrightarrowBM=overrightarrowAM-overrightarrowAB=-overrightarrowAB+frac25overrightarrowAC$ $Leftrightarrow 5overrightarrowBM=-5overrightarrowAB+2overrightarrowAC$

$overrightarrowBI=overrightarrowAI-overrightarrowAB=-frac59overrightarrowAB+frac29overrightarrowAC$ $Leftrightarrow 9overrightarrowBI=-5overrightarrowAB+2overrightarrowAC$

$Rightarrow 9overrightarrowBI=5overrightarrowBM$ $Rightarrow fracBIBM=frac59$. Suy ra $P=fracAMAC+fracBIBM=frac25+frac55=frac4345.$

Bài 5.

1) $C(c;c+1)in d;,,c>0$

$AC^2=BD^2=26$ $Leftrightarrow (c-2)^2+(c+1+1)^2=26$ $.,.,.,,Rightarrow C(3;4)$.

2) Cách 1:

Có $left{ eginarray*35l AB^2+BC^2=BD^2 \ ABcdot BC=S_ABCD \endarray ight.$ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l AB^2+BC^2=26 \ AB.BC=12 \endarray ight.$ giải ra $left{ eginarray*35l AB^2=8 \ BC^2=18 \endarray ight.$ hoặc $left{eginarray*35l AB^2=18 \ BC^2=8 \endarray ight.$.

Gọi $B(x ; y)$ với $x>4$.

Trường hòa hợp 1: $left{ eginarray*35l AB^2=8 \ BC^2=18 \endarray ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign & (x-2)^2+(y+1)^2=8 \ và (x-3)^2+(y-4)^2=18 \ endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l x^2+y^2-4x+2y=3 \ x^2+y^2-6x-8y=-7 \ endarray ight. ext $ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l x=5-5y \ x^2+y^2-4x+2y=3 \ endarray ight.$ với giải tiếp.

Trường vừa lòng 2: $left{ eginarray*35l AB^2=18 \ BC^2=8 \endarray ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign & (x-2)^2+(y+1)^2=18 \ & (x-3)^2+(y-4)^2=8 \ endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l x^2+y^2-4x+2y=13 \ x^2+y^2-6x-8y=-17 \ endarray ight. ext $ $Leftrightarrow left{ eginarray*35l x=15-5y \ x^2+y^2-4x+2y=13 \ endarray ight.$ cùng giải tiếp.

Kết luận: . . .

Cách 2:

Gọi $B(a,b),,,(a>4)$

Vì $A B C D$ là hình chữ nhật nên suy ra $overrightarrowB A cdot overrightarrowB C=0 Rightarrow(a-3)(a-2)+(b-4)(b+1)=0(1)$

Ta có $S_A B C D=A C cdot d(B, A C)=12 Leftrightarrow d(B, A C)=frac12sqrt26 Leftrightarrow fracsqrt26=frac12sqrt26$ $Leftrightarrow d(B,AC)=frac12sqrt26Leftrightarrow frac5a-b-11sqrt26=frac12sqrt26$ $Leftrightarrow|5 a-b-11|=12 Leftrightarrowleft<eginarrayl5 a-b=23 \5 a-b=-1endarray ight.$ $Leftrightarrow left< eginarray*35l 5a-b=23 \ 5a-b=-1 \endarray ight.$.

Trường đúng theo 1: $5 a-b=-1 Rightarrow b=5 a+1$ nuốm vào $(1)$ ta có $(a-3)(a-2)+(5a+1-4)(5a+1+1)=0$ $Leftrightarrow 26a^2-10a=0$ $Leftrightarrow left< eginarray*35l a=0(l) \ a=frac513(l) \ endarray ight.$

Trường hợp 2: $5 a-b=23 Rightarrow b=5 a-23$ cố gắng vào (1) ta có $(a-3)(a-2)+(5a-23-4)(5a-23+1)=0$ $Leftrightarrow 26a^2-250a+600=0$ $Leftrightarrow left< eginarray*35l a=5Rightarrow b=2 \ a=frac6013Rightarrow b=frac113 \ endarray ight.$.

Vậy có 2 điểm vừa lòng đề bài bác là $B(5,2)$ hoặc $Bleft(frac6013, frac113 ight)$.

toancapba.com tổng hòa hợp lại đầy đủ đề thi Olympic Môn Toán Lớp 10 mới nhất trong năm 2021 (Có kèm đáp án một số trong những đề) của toàn bộ các trường. Đây vẫn là tư liệu ôn luyện thi mà các bạn học sinh đề xuất trang bị cho khách hàng trong kỳ thi Olympic chuẩn bị tới. Các thầy cô cũng rất có thể tham khảo hầu như tài liệu này để hướng dẫn giải đề cùng những em.

1. Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2021 lần 1 trường siêng Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam.

Đề thi trường trung học phổ thông Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam bao hàm 8 câu hỏi theo từng lever từ dễ mang lại khó cho những em học tập sinh thuận lợi tiếp cận và làm cho quen lúc mới bắt đầu làm bài.

2. Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 lần một năm 2020 – 2021 trường trung học phổ thông chuyên KHTN – Hà Nội.

Bài 1: Tìm toàn bộ bộ bố số (x, y, p) nguyên dương, với p. Là số yếu tố thỏa mãn: x2 – 3xy + p2y2 = 12y
Bài 5: Tìm toàn bộ các số nguyên dương n làm sao cho tất cả các ước nguyên dương ( phân biệt) của n hoàn toàn có thể sắp xếp thành một bảng hình chữ nhật (mỗi vị trí đựng đúng một số) cơ mà tổng các số trên mỗi hàng bởi nhau; tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.