Toán olympic 10 - 10 đề thi olympic toán 10 có đáp án (phần 1)

Sau đây chúng tôi xin giới thiệu thầy cô và các em học sinh để thi và đáp án môn toán lớp 10 kì thi học sinh giỏi năm học 2022-2023

Bài 1 (4,0 điểm) Cho Parabol $(P): y=x^2-2 x-1$.

Bạn đang xem: Toán olympic 10

1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$.

2) Tìm giá trị thực của $m$ để đường thẳng $d: y=m x+1$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 ; x_2$ thoả mãn $\left|x_1-x_2\right|$ nhỏ nhất ?

Bài 2 (3,0 điểm)

Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Cửa hàng cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi trang trại phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Bài 3 (6,0 điểm)

1) Giải bất phương trình $\sqrt{2 x+5} \leq 2 x-1$.

2) Giải phương trình $10 \sqrt{x^3+1}=3\left(x^2+2\right)$.

3) Tính giá trị biểu thức $P=\cos ^2 1^{\circ}+\cos ^2 2^{\circ}+\cos ^2 3^{\circ}+\ldots+\cos ^2 180^{\circ}$.

Bài 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ${A B C}$ có $A C=2 A B, A B=\sqrt{3}, \widehat{B A C}=60^{\circ}, A D$ là đường phân giác trong của góc $\widehat{B A C}$. Lấy điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}$, đường thẳng ${B I}$ cắt ${A C}$ tại $M$.

1) Chứng minh $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$;

2) Tính độ dài cạnh ${B C}$, ${A D}$.

3) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{A M}{A C}+\frac{B I}{B M}$.

Bài 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\mathrm{O} x y$, cho hình chữ nhật ${A B C D}$ có diện tích bằng 12 , $B D=\sqrt{26}$ và điểm $A(2 ;-1)$. Biết điểm $C$ có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng $d: x-y+1=0$.

1) Viết phương trình đường thẳng ${A C}$.

2) Tìm tọa độ điểm ${B}$ biết $B$ có hoành độ lớn hơn 4.

Hướng dẫn giải:

Bài 2.

Gọi ${x, y}$ lần lượt là số xe lớn và số xe nhỏ cần phài thuê.

Điều kiện: $0

Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám nên số lợn và cám xe lớn chở được là 50${x}$ con lợn và 5${x}$ tấn cám.

Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám nên số lợn và cám xe nhỏ chở được là 30${ y}$ con lợn và $y$ tấn cám.

Xe chở hết 450 con lợn và 35 tấn cám nên ta có hệ bất phương trình sau $\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 12 \\0 \leq y \leq 10 \\50 x+30 y \geq 450 \\5 x+y \geq 35\end{array}\right.$

Tổng giá tiền thuê xe là $T=4 x+2 y$ triệu đồng.

Vẽ xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình ngũ giác ${A B C D E}$ với $A(6;5),\,\,B(9;0)$, $C(12 ; 0), D(12,10), E(5 ; 10)$ $D(12,10),$ $E(5;10)$.

Khi đó $T(A)=34;\,\,T(B)=36;\,\,T(C)=48;\,\,T(D)=68;\,\,T(E)=40$.

Vậy trang trại phải thuê 6 chiếc xe lớn và 5 chiếc xe nhỏ để chi phí thuê xe là ít nhất.

Bài 3.

1) $\sqrt{2x+5}\le 2x-1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}2x+5\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \\ 2x+5\le {{(2x-1)}^{2}} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ge \frac{1}{2} \\ 4{{x}^{2}}-6x-4\ge 0 \\ \end{array} \right.$ . . . $x\ge 2$. Kết luận: . . .

2) Điều kiện $x \geqslant-1$.

Đặt $\sqrt{x+1}=a\ge 0;$ $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=b>0$.

Có $10ab=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left< \begin{array}{*{35}{l}} a=3b \\ b=3a \\ \end{array} \right.$.

Có tiếp $\left< \begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{x+1}=3\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \\\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=3\sqrt{x+1} \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left< \begin{array}{*{35}{l}} 9{{x}^{2}}-10x+8=0 \\ {{x}^{2}}-10x-8=0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}$. Kết luận: . . .

3) $P=2\left( {{\cos }^{2}}{{1}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{2}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{3}^{{}^\circ }}+\cdots \right.\left. +{{\cos }^{2}}{{89}^{{}^\circ }} \right)+{{\cos }^{2}}{{90}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{180}^{{}^\circ }}$

$=2\left< \left( {{\cos }^{2}}{{1}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{89}^{{}^\circ }} \right)+\left( {{\cos }^{2}}{{2}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{88}^{{}^\circ }} \right)+\cdots +\left( {{\cos }^{2}}{{44}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{46}^{{}^\circ }} \right) \right.\left. +{{\cos }^{2}}{{45}^{{}^\circ }} \right>+0+1$$=2\left(44+\frac{1}{2}\right)+1=90.$

Bài này đã sử dụng các công thức: $\cos \left( {{180}^{{}^\circ }}-\alpha \right)=-\cos \alpha$, $\cos \left( {{90}^{{}^\circ }}-\alpha \right)=\sin \alpha$, ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1.$

Bài 4.

Xem thêm: Giải Bài 4 Trang 17 Sgk Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo Tập 2 Trang 17

1) Có $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ $\Leftrightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow BD=\frac{1}{2}DC$ $\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)$ $=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

2) $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB\cdot AC\cdot \cos A$ $=3+12-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}=9$ $\Rightarrow BC=3$.

${{\overrightarrow{AD}}^{2}}=\frac{4}{9}{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+\frac{1}{9}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}+2\cdot \frac{2}{9}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $=\frac{4}{9}\cdot A{{B}^{2}}+\frac{1}{9}A{{C}^{2}}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CC}|\cdot \cos \left( \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \right)=4$ $\Rightarrow AD=2$.

3) Giả sử $\overrightarrow{AM}=k\cdot \overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}=\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\right)=\frac{4}{9} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{9} \overrightarrow{A C}$ $=\frac{2}{3}\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right)$ $=\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$

${B, M, I}$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A I}$ với $x+y=1$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=\frac{2y}{9} \\ x+\frac{4y}{9}=0 \\ x+y=1 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\frac{9}{5} \\ x=\frac{-4}{5} \\ k=\frac{2}{5} \\\end{array} \right.$. Suy ra $\frac{AM}{AC}=\frac{2}{5}$.

$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{BM}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 9\overrightarrow{BI}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow 9\overrightarrow{BI}=5\overrightarrow{BM}$ $\Rightarrow \frac{BI}{BM}=\frac{5}{9}$. Suy ra $P=\frac{AM}{AC}+\frac{BI}{BM}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{43}{45}.$

Bài 5.

1) $C(c;c+1)\in d;\,\,c>0$

$A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}=26$ $\Leftrightarrow {{(c-2)}^{2}}+{{(c+1+1)}^{2}}=26$ $.\,.\,.\,\,\Rightarrow C(3;4)$.

2) Cách 1:

Có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=B{{D}^{2}} \\ AB\cdot BC={{S}_{ABCD}} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=26 \\ AB.BC=12 \\\end{array} \right.$ giải ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}=8 \\ B{{C}^{2}}=18 \\\end{array} \right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}=18 \\ B{{C}^{2}}=8 \\\end{array} \right.$.

Gọi $B(x ; y)$ với $x>4$.

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}=8 \\ B{{C}^{2}}=18 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=8 \\ & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=18 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=3 \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=-7 \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=5-5y \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=3 \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}=18 \\ B{{C}^{2}}=8 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=18 \\ & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=13 \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=-17 \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=15-5y \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=13 \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.

Kết luận: . . .

Cách 2:

Gọi $B(a,b)\,\,\,(a>4)$

Vì ${A B C D}$ là hình chữ nhật nên suy ra $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow(a-3)(a-2)+(b-4)(b+1)=0(1)$

Ta có $S_{A B C D}=A C \cdot d(B, A C)=12 \Leftrightarrow d(B, A C)=\frac{12}{\sqrt{26}} \Leftrightarrow \frac{|5 a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow d(B,AC)=\frac{12}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow \frac{|5a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow|5 a-b-11|=12 \Leftrightarrow\left<\begin{array}{l}5 {a}-b=23 \\5 {a}-b=-1\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left< \begin{array}{*{35}{l}} 5{a}-b=23 \\ 5{a}-b=-1 \\\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $5 {a}-b=-1 \Rightarrow b=5 {a}+1$ thay vào $(1)$ ta có $(a-3)(a-2)+(5a+1-4)(5{a}+1+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-10{a}=0$ $\Leftrightarrow \left< \begin{array}{*{35}{l}} a=0(l) \\ a=\frac{5}{13}(l) \\ \end{array} \right.$

Trường hợp 2: $5 {a}-b=23 \Rightarrow b=5 {a}-23$ thay vào (1) ta có $(a-3)(a-2)+(5a-23-4)(5{a}-23+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-250{a}+600=0$ $\Leftrightarrow \left< \begin{array}{*{35}{l}} a=5\Rightarrow b=2 \\ a=\frac{60}{13}\Rightarrow b=\frac{1}{13} \\ \end{array} \right.$.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn đề bài là $B(5,2)$ hoặc $B\left(\frac{60}{13}, \frac{1}{13}\right)$.

toancapba.com tổng hợp lại những đề thi Olympic Môn Toán Lớp 10 mới nhất trong năm 2021 (Có kèm đáp án một số đề) của tất cả các trường. Đây sẽ là tài liệu ôn luyện thi mà các bạn học sinh cần trang bị cho mình trong kỳ thi Olympic sắp tới. Các thầy cô cũng có thể tham khảo những tài liệu này để hướng dẫn giải đề cùng các em.

1. Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2021 lần 1 trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam.

Đề thi trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam bao gồm 8 câu hỏi theo từng cấp độ từ dễ đến khó cho các em học sinh dễ dàng tiếp cận và làm quen khi mới bắt đầu làm bài.

2. Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 lần 1 năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội.

Bài 1: Tìm tất cả bộ ba số (x, y, p) nguyên dương, với p là số nguyên tố thỏa mãn: x2 – 3xy + p2y2 = 12y
Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tất cả các ước nguyên dương ( phân biệt) của n có thể sắp xếp thành một bảng hình chữ nhật (mỗi vị trí chứa đúng một số) mà tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau; tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.