Bài tập toán hình trang 93 lớp 12, giải bài 11 trang 93

Giải bài xích tập trang 93 ôn tập chương III - cách thức tọa độ trong không gian SGK Hình học tập 12. Câu 9: vào hệ toạ độ...

Bạn đang xem: Bài tập toán hình trang 93 lớp 12

Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), tìm toạ độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (M( 1 ; -1 ; 2)) xung quanh phẳng ((α): 2x - y + 2z +11 = 0)

Giải

Điểm (H), hình chiếu vuông góc của điểm (M) trên mp ((α)) chính là giao điểm của đường thẳng (∆) đi qua (M) và vuông góc với ((α)). Mặt phẳng ((α)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = (2; -1; 2)).

Đường thẳng (∆) vuông góc với mp( (α)) nhận (overrightarrow n ) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của (∆):

(left{ matrix x = 1 + 2t hfill cr y = - 1 - t hfill cr z = 2 + 2t hfill cr ight.)

Thay các biểu thức này vào phương trình (mp (α)), ta có:

(2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 )

(Leftrightarrow t = -2).

Từ phía trên ta được (H(-3; 1; -2)).

Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), mang đến điểm (M(2 ; 1 ; 0)) và mặt phẳng ((α): x + 3y - z - 27 = 0). Tra cứu toạ độ điểm (M") đối xứng cùng với (M) qua ((α)).

Giải

Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (M) lên mặt phẳng ((α)) và (M") là điểm đối xứng của (M) qua ((α)) thì (H) là trung điểm của đoạn thẳng (MM"). Xét đường thẳng (∆) qua (M) và (∆) vuông góc với ((α)).

Phương trình (∆) có dạng:

(left{ matrix x = 2 + t hfill cr y = 1 + 3t hfill cr z = - t hfill cr ight.)

Từ đây ta tìm được toạ độ điểm (H) là hình chiếu của (M) trên ((α)).

Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Cấp 3 Năm 2019 Môn Toán Hưng Yên Năm 2019 Có Đáp Án

Thay những tọa độ (x,y,z) theo (t) từ phương trình (Delta) cùng phương trình ((alpha)) ta được:

(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0Rightarrow 11t=22)

(Rightarrow t=2)

(Rightarrow H(4; 7; -2)) 

(M) và (M") đối xứng nhau qua ((α)) yêu cầu (overrightarrow MM" = 2overrightarrow MH )

Gọi ((x, y, z)) là toạ độ của (M") ta có: (overrightarrow MM" = (x - 2; y - 1; z)); (overrightarrow MH = (2; 6; -2))

(overrightarrow MM" )=(2overrightarrow MH )

( Leftrightarrow left{ matrix x - 2 = 2.2 Rightarrow x = 6 hfill cr y - 1 = 2.6 Rightarrow y = 13 hfill cr z = 2.( - 2) Rightarrow z = - 4 hfill cr ight.)

( Rightarrow M" (6; 13; -4))

Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), viết phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với khía cạnh phẳng toạ độ ((Oxz)) cùng cắt hai tuyến đường thẳng

(d:left{ matrix x = t hfill cr y = - 4 + t hfill cr z = 3 - t hfill cr ight.)

(d":left{ matrix x = 1 - 2k hfill cr y = - 3 + k hfill cr z = 4 - 5k. hfill cr ight.)

Giải

Gọi (M) là điểm thuộc đường thẳng (d), toạ độ của (M) là (M( t; -4 + t; 3 - t)). (N) là điểm thuộc đường thẳng (d"), toạ độ của (N) là (N(1 - 2k; -3 + k; 4 - 5k)).

Ta có: (overrightarrow MN= (1 - 2k - t; 1 + k - t; 1 - 5k + 1))

Vì (MN ⊥ (Oxz)) bắt buộc (MN ⊥ Ox) và (MN ⊥ Oz)

(Ox) có vectơ chỉ phương (overrightarrow i = (1; 0; 0));

(Oz) có vectơ chỉ phương (overrightarrow j = (0; 0; 1)).

(MN ⊥ Ox)

( Leftrightarrow (1 - 2k - t).1 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t).0)

(= 0)

( Leftrightarrow 1 - 2k - t = 0) (1)

(MN ⊥ Oz)

( Leftrightarrow (1 - 2k - t).0 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t) = 0) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

(left{ matrix 1 - 2k - t = 0 hfill cr 1 - 5k + t = 0 hfill cr ight.)

 Hệ này mang đến ta (k = 2 over 7); t =(3 over 7)

và được toạ độ của M(left( 3 over 7; - 25 over 7;18 over 7 ight)) , N(left( 3 over 7; - 19 over 7;18 over 7 ight))

Từ trên đây ta có (overrightarrow MN = (0; 1; 0)) và được phương trình đường thẳng (MN) là:

(left{ matrix x = 3 over 7 hfill cr y = - 25 over 7 + t hfill cr z = 18 over 7 hfill cr ight.)

Bài 12 trang 93 SGK Hình học tập 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), search toạ độ điểm (A") đối xứng với điểm (A(1 ; -2 ; -5)) qua con đường thẳng (∆) tất cả phương trình 

(left{ matrix x = 1 + 2t hfill cr y = - 1 - t hfill cr z = 2t. hfill cr ight.)

Giải

Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (A) lên đường thẳng (△). Lúc đó (H) là trung điểm của (AA").

Xét mặt phẳng ((P)) qua (A) và ((P) ⊥ △). Lúc đó (H = (P) ⋂ △).

Vì (overrightarrow u (2; -1; 2)) là vectơ chỉ phương của (△) phải (overrightarrow u ) là vectơ pháp tuyến của ((P)). Phương trình mặt phẳng ((P)) có dạng: (2(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 5) = 0)

hay (2x - y + 2z + 6 = 0) (1)

Để tìm giao điểm (H = (P) ⋂ △). Cố gắng toạ độ (x, y, z) vào phương trình của (△) vào (1), ta có: (2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0)

Trong hệ toạ độ (Oxyz), viết phương trình mặt phẳng ((α)) xúc tiếp với khía cạnh cầu

(S): (x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 2y + 26z + 170 = 0)

và song song với hai đường thẳng

(d:,,left{ eginarraylx = - 5 + 2t\y = 1 - 3t\z = - 13 + 2tendarray ight.,,,,,,,d":,,left{ eginarraylx = - 7 + 3t"\y = - 1 - 2t"\z = 8endarray ight.)

Phương pháp giải - Xem đưa ra tiết

+) Gọi (overrightarrow a ;overrightarrow a" ) lần lượt là VTCP của hai tuyến phố thẳng d với d". Lúc ấy mặt phẳng ((alpha)) nhận (overrightarrow n = left< overrightarrow a ;overrightarrow a" ight>) là một trong VTPT.

+) xác định tâm I và nửa đường kính R của mặt cầu (S), phương diện phẳng ((alpha)) tiếp xúc với mặt ước (S) ( Leftrightarrow dleft( I;left( alpha ight) ight) = R)

Quảng cáo

Đường thẳng (displaystyle d) có vectơ chỉ phương (displaystyle overrightarrow a = (2; -3; 2))

(displaystyle d") có vectơ chỉ phương (displaystyle overrightarrow a" = (3; -2; 0))

Mặt phẳng (displaystyle (α)) tuy nhiên song với (displaystyle d) và (displaystyle d") nhận vectơ (displaystyle overrightarrow n = left< overrightarrow a ,overrightarrow a" ight> =(4;6;5)) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (displaystyle (α)) có dạng: (displaystyle 4x + 6y + 5z + D = 0)

Mặt cầu (displaystyle (S)) có chổ chính giữa (displaystyle I(5; -1; -13)) và bán kính (displaystyle R = sqrt left( - 5 ight)^2 + 1^2 + left( - 13 ight)^2 - 170 = sqrt 25 = 5).

Để (displaystyle (α)) tiếp xúc với mặt cầu (displaystyle (S)), ta phải có:

(displaystyle d(I, (α)) = R ) (displaystyle Leftrightarrow over sqrt 4^2 + 6^2 + 5^2 = 5) (displaystyle Leftrightarrow left| D - 51 ight| = 5sqrt 77 )

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) (displaystyle D - 51 = 5sqrt77) (displaystyle Rightarrow (alpha _1):4x + 6y + 5z + 51 + 5sqrt 77 = 0)

+) (displaystyle D - 51 = -5sqrt77) (displaystyle Rightarrow (alpha _2):4x + 6y + 5z + 51 - 5sqrt 77 = 0)