+) Cho khoảng (K) cất điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (K) hoặc trên (Kackslash x_0 m .)

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0), ta có (lim f(x_n) =L). 

+) mang đến hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng tầm ((x_0; b)).

Bạn đang xem: Toán 11 lim

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi dãy số ((xn) bất kì, (x_0 ,ta có (lim f(x_n) = L).

+) cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((a; x_0)).

(undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (a (lim f(x_n) = L).

+) mang đến hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng chừng ((a; +∞)).

(undersetx ightarrow+infty lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

+) cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n2. Số lượng giới hạn vô cực

Sau đấy là hai trong những nhiều loại giới hạn vô rất khác nhau:

+) cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta tất cả (lim f(x_n) = -∞)

+) Cho khoảng (K) cất điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc bên trên (Kackslash x_0 m .)(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0) thì ta có: (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có số lượng giới hạn (+∞ ) khi và chỉ khi (-f(x)) có giới hạn (-∞).

3. Những giới hạn đặc biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), cùng với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), ví như (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , nếu như (k) là số chẵn.

Xem thêm: Giải bài tập sgk 12 toán - hướng dẫn giải bài tập toán 12 đầy đủ, chính xác

4. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu (undersetx ightarrow x__0lim = L) và (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) nếu (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào lúc (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

5. Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

+ ví như (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = pm infty ) và (mathop lim limits_x o x_0 gleft( x ight) = L e 0) thì (mathop lim limits_x o x_0 left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight>) được cho trong bảng sau:

*

b) phép tắc tìm số lượng giới hạn của thương (dfracf(x)g(x))

+ giả dụ (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L e 0) cùng (mathop lim limits_x o x_0 gleft( x ight) = 0) với (gleft( x ight) > 0) hoặc (gleft( x ight)

giới hạn của hàm số là phần kiến thức đặc biệt quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài bác thường xuyên lộ diện trong các đề kiểm tra. Trong nội dung bài viết dưới đây, toancapba.com sẽ giúp đỡ các em tổng hợp lý và phải chăng thuyết, những công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải cụ thể để từ đó ôn tập kết quả nhé!



1. Triết lý giới hạn của hàm số

1.1. Giới hạn của hàm số là gì?

Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ quý giá khi biến của một hàm số hoặc một hàng số lúc tiến dần dần tới một cực hiếm xác định.

Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ phiên bản trong nghành nghề giải tích với vi tích phân. Đây là quan niệm có liên quan mật thiết mang đến hàm số khi bao gồm biến tiến cho tới một giá bán trị xác minh nào đó.

Ta có thể nói rằng hàm hàm số có số lượng giới hạn L trên a lúc f(x) tiến càng ngay gần L khi x tiến càng gần a.

Ký hiệu Toán học:

*

Ví dụ:

*
vì chưng
*
nhận các giá trị vô cùng gần 4 lúc x tiến cho 2.

1.2. Số lượng giới hạn của hàm số tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) và khoảng chừng K chứa điểm x0. Hàm f(x) xác minh trên K hoặc K ∖ x0

Ta nói y = f(x) có số lượng giới hạn là L lúc x tiến dần tới x0 giả dụ với dãy xn bất kì,

*
ta tất cả
*

Ký hiệu Toán học:

*
tốt f(x) = L lúc

*

1.3. Giới hạn của hàm số trên vô cực

a, mang lại y = f(x) xác định trên

*

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L lúc x tiến dần tới

*
giả dụ với dãy
*
bất kì,
*
cùng
*
ta có
*

Ký hiệu Toán học:

*

hay f(x) = L khi

*

b, mang đến y = f(x) khẳng định trên

*

Ta nói y = f(x) có số lượng giới hạn là L khi x tiến dần tới

*
nếu như với dãy
*
bất kì,
*

hay f(x) = L lúc

*

Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là

*
khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là
*

1.4. Số lượng giới hạn của hàm số là lim

Giả sử f(x) là 1 trong hàm số cực hiếm thực, a là một số trong những thực. Biểu thức

*
có nghĩa là f(x) đang càng ngay gần L giả dụ x đủ gần a. Ta nói số lượng giới hạn của f(x) lúc xđạt gần cho a là L. Chăm chú rằng điều đó cũng đúng lúc $f(a) eq L$ với khi f(x) không khẳng định tại a.

Đăng ký kết ngay bộ tài liệu tổng hợp kỹ năng và kiến thức và cách thức giải đều dạng bài bác tập Toán thi THPT nước nhà độc quyền của toancapba.com

2. Các định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1:

a, giả sử

*
và
*
. Khi đó:

*

*

*

*

b, trường hợp

*
và
*
thì:
*
với
*

Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng chừng cần tìm số lượng giới hạn với

*

Định lý 2:

*
khi và chỉ khi
*

3. Một số trong những giới hạn sệt biệt

a,

*

b,

*

c,

*

d,

*
với c là hằng số

e,

*
với k là số nguyên dương

f,

*
nếu như k là số lẻ

g,

*
nếu như k là số chẵn

4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ

4.1. Tìm số lượng giới hạn xác định bằng phương pháp sử dụng định nghĩa

Phương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của hàng số để tính

Ví dụ: tìm giới hạn của các hàm số dưới đây bằng định nghĩa:

a,

*

b,

*

c,

*

d,

*

Lời giải:

1. Với mọi dãy (xn): limxn= 1 ta có:

*

Vậy

*

2. Với tất cả dãy (xn): limxn= 1 ta có:

*

3. Với mọi dãy (xn): limxn= 0 ta có:

*

*

4. Với mọi dãy (xn): xn> 1,

*
n với limxn= 1 ta có:

*

4.2. Tìm số lượng giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng cực kỳ trên vô cùng

Hàm số 0/0 là hàm số bao gồm dạng

*
với
*

Phương pháp giải: sử dụng định lí Bơzu: trường hợp f(x) tất cả nghiệm

*
, ta sẽ có được
*
Nếu hàm f(x) với g(x) là nhiều thức thì ta đã phân tích như sau:

*

Khi kia

*
, ta thường xuyên quá trình như trên giả dụ giới hạn này còn có dạng 0/0

Ví dụ: Tìm những giới hạn bên dưới đây:

a,

*

b,

*

Lời giải:

a,

*

Ta có:

*

*

b,

*

Ta có:

*

4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng khôn cùng trừ vô cùng

Phương pháp giải: Ta tìm những biến hàm số về dạng

*

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a,

*

b,

*

Lời giải:

a,

*

*

b,

*

4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp giải: Ta đổi khác về dạng 0/0 hoặc $infty/infty$sau kia dùng cách thức giải của nhị dạng này

Ví dụ: tra cứu giới hạn:

*

Lời giải:

Đăng ký ngay để được những thầy cô tổng hợp kiến thức và kỹ năng và xây đắp lộ trình ôn thi THPT non sông sớm ngay từ bây giờ

5. Một trong những bài tập về giới hạn của hàm số trường đoản cú cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số tiếp sau đây bằng giới hạn:

*

*

*

*

Lời giải:

Bài 2: chứng tỏ các hàm số dưới đây không tất cả giới hạn:

*
khi x tiến cho tới 0

f(x) = cosx lúc x tiến cho tới

*

Lời giải:

Bài 3: minh chứng

*
khi x tiến cho tới 0 không tồn tại giới hạn

Lời giải:

Bài 4: Tìm giới hạn sau:

*

Lời giải:

Bài 5: Tìm số lượng giới hạn sau:

*

Lời giải:

*

Bài 6: tra cứu giới hạn:

*

Lời giải:

*

Bài 7: tìm kiếm giới hạn:

*

Lời giải:

*

Bài 8: Tính giới hạn:

*

Lời giải:

*

Bài 9: Tính:

*

Lời giải:

Bài 10: Tính

*

Lời giải:


PAS toancapba.com – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐Xây dựng lộ trình học tập từ mất gốc đến 27+

⭐Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐Tương tác trực tiếp hai chiều thuộc thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài xích thì thôi

⭐Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ khuyến mãi full bộ tài liệu sản phẩm hiếm trong quá trình học tập

Đăng ký học demo miễn giá thành ngay!!


Trên trên đây là toàn bộ lý thuyết số lượng giới hạn của hàm số. Hi vọng các em đã cầm cố được định nghĩa, các định lý, số lượng giới hạn đặc biệt cũng tương tự nắm được các dạng bài bác tập cùng giải pháp tìm giới hạn của hàm số thuộc lịch trình Toán 11. Đừng quên truy vấn toancapba.com nhằm học thêm nhiều bài học hữu ích khác nhé!