Giải bài 12, 13, 14, 15, 16 trang 106 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 bài Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Bài 16 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA.


Bài 12 trang 106 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(5cm\), dây \(AB\) bằng \(8cm\).

Bạn đang xem: Toán lớp 9 bài 12 trang 106

a) Tính khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\). 

b) Gọi \(I\) là điểm thuộc dây \(AB\) sao cho \(AI=1cm\). Kẻ dây \(CD\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(AB\). Chứng minh rằng \(CD=AB\).

Lời giải:

*

a) Kẻ \(OH\perp AB\) tại H

Khi đó, đường tròn (O) có OH là 1 phần đường kính vuông góc với dây AB tại H

Suy ra \(H\) là trung điểm của dây \(AB\) (Theo định lí 2 - trang 103) 

\(\Rightarrow HA=HB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4cm.\)

Xét tam giác \(HOB\) vuông tại \(H\), theo định lí Pytago, ta có:

\(OB^2=OH^2+HB^2 \Leftrightarrow OH^{2}=OB^{2}-HB^{2}\)

\(\Leftrightarrow OH^2=5^{2}-4^{2}=25-16=9\Rightarrow OH=3(cm)\).

Vậy khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là \(3cm\).

b) Vẽ \(OK\perp CD\) tại K

Tứ giác \(KOHI\) có ba góc vuông \((\widehat K=\widehat H=\widehat I=90^0)\) nên là hình chữ nhật, suy ra \(OK=HI\).

Ta có \(HI=AH-AI=4-1=3cm\), suy ra \(OK=3cm.\)

Vậy \(OH=OK = 3cm.\)

Hai dây \(AB\) và \(CD\) cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó \(AB = CD.\)

Bài 13 trang 106 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho đường tròn \((O)\) có các dây \(AB\) và \(CD\) bằng nhau, các tia \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(E\) nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng:

a) \(EH = EK\)

b) \(EA = EC\). 

Lời giải:

*

a) Nối OE. 

Vì \(HA=HB\) nên \(OH\perp AB\) (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Vì \(KC=KD\) nên \(OK\perp CD\). (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà \(AB=CD\) nên \(OH=OK\) (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét \(\Delta HOE\) và \(\Delta KOE\) có:

\(OH=OK\) 

\(EO\) chung

\(\widehat{EHO}=\widehat{EKO}=90^0\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta HOE=\Delta KOE\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow\) \(EH=EK (1)\) ( 2 cạnh tương ứng)

b) Vì \(AB=CD\) nên \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD}{2}\) hay \(AH=KC\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(EH+HA=EK+KC\)

hay \(EA=EC.\)

Bài 14 trang 106 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(25cm\), dây \(AB\) bằng \(40cm\). Vẽ dây \(CD\) song song với \(AB\) và có khoảng cách đến \(AB\) bằng \(22cm\). Tính độ dài dây \(CD\).

Phương pháp: 

+) Kẻ đường kính vuông góc với dây. 

+) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Pytago: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) thì \(BC^2=AB^2+AC^2\).

Lời giải:

*

Vẽ \(OH\perp AB\), đường thẳng \(OH\) cắt \(CD\) tại \(K\).

Vì \(AB // CD\) mà \(OH\perp AB\) suy ra \(OH \perp CD\) hay \(OK \perp CD\).

Ta có \(OK \bot DC\) và \(OH \bot AB\) nên \(KC=KD=\dfrac {CD}2\) và \(AH=HB=\dfrac {AB}2\) (vì đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Ta có: \(OB=OD=R=25cm\). 

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(OBH\) vuông tại \(H\), ta có:

\(OB^2=OH^2+HB^2 \Rightarrow OH^2=OB^2-HB^2\)

\(\Leftrightarrow OH=\sqrt{OB^2-\left ( \dfrac{AB}{2} \right )^2}\)

\(=\sqrt{25^2-\left ( \dfrac{40}{2} \right )^2}=15(cm)\)

Lại có: \(HK=OH+OK \)

\(\Rightarrow OK=HK-OH=22-15=7(cm)\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(OKD\) vuông tại \(K\), ta có:

\(OD^2=OK^2+KD^2\)

\(\Rightarrow KD^2=OD^2-OK^2=25^2-7^2=576\)

\(KD=\sqrt{576}=24(cm)\)

\(\Rightarrow CD=2KD=48(cm)\)

Bài 15 trang 106 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho hình \(70\) trong đó hai đường tròn cùng có tâm là \(O\). Cho biết \(AB>CD\).

Hãy so sánh các độ dài:

*

a) \(OH\) và \(OK\);

b) \(ME\) và \(MF\);

c) \(MH\) và \(MK\).

Phương pháp:

+) Để so sánh hai dây, ta đi so sánh khoảng cách từ tâm đến hai dây ấy và ngược lại.

+) Sử dụng tính chất: Trong một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

c) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

a) Xét trong đường tròn nhỏ:

Theo định lí \(2\): trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Xem thêm: Giải toán 11, giải bài 2 lớp 11 toán, toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo

Theo giả thiết \(AB > CD\) suy ra \(AB\) gần tâm hơn, tức là \(OH MF\).

c) Xét trong đường tròn lớn:

Vì \(OH \bot ME \Rightarrow EH=MH=\dfrac{ME}{2}\) (Định lý 2 - trang 103).

Vì \(OK \bot MF \Rightarrow KF=MK=\dfrac{MF}{2}\) (Định lý 2 - trang 103). 

Theo câu \(b\), ta có: \(ME > MF \Rightarrow \dfrac{ME}{2} > \dfrac{MF}{2} \Leftrightarrow MH > MK\)

Bài 16 trang 106 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Phương pháp: 

- Để so sánh hai dây, ta đi so sánh khoảng cách từ tâm đến hai dây đó.

- Sử dụng các tính chất sau:

+) Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

+) Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Lời giải:

*

Vẽ \(OH\perp EF\) tại H.

Xét tam giác \(HOA\) vuông tại \(H\) có \(OA\) là cạnh huyền

Do đó \(OA > OH\) (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

\(\Rightarrow\) \(EF>BC\) (dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn).

Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm \(A\) ở trong đường tròn, dây vuông góc với \(OA\) là dây ngắn nhất.

b) Gọi \(I\) là điểm thuộc dây \(AB\) sao cho \(AI=1cm\). Kẻ dây \(CD\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(AB\). Chứng minh rằng \(CD=AB\).


Phương pháp giải - Xem chi tiết

*


a) +) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

 +) Sử dụng định lí Pytago: \(\Delta{ABC}\), vuông tại \(A\) thì \(BC^2=AC^2+AB^2\).

b) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, hai dây cách đều nhau thì bằng nhau. 


*

a) Kẻ \(OH\perp AB\) tại H

Khi đó, đường tròn (O) có OH là 1 phần đường kính vuông góc với dây AB tại H

Suy ra \(H\) là trung điểm của dây \(AB\) (Theo định lí 2 - trang 103) 

\(\Rightarrow HA=HB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4cm.\)

Xét tam giác \(HOB\) vuông tại \(H\), theo định lí Pytago, ta có:

\(OB^2=OH^2+HB^2 \Leftrightarrow OH^{2}=OB^{2}-HB^{2}\)

\(\Leftrightarrow OH^2=5^{2}-4^{2}=25-16=9\Rightarrow OH=3(cm)\).

Vậy khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là \(3cm\).

b) Vẽ \(OK\perp CD\) tại K

Tứ giác \(KOHI\) có ba góc vuông \((\widehat K=\widehat H=\widehat I=90^0)\) nên là hình chữ nhật, suy ra \(OK=HI\).

Ta có \(HI=AH-AI=4-1=3cm\), suy ra \(OK=3cm.\)

Vậy \(OH=OK = 3cm.\)

Hai dây \(AB\) và \(CD\) cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó \(AB = CD.\)

toancapba.com


*
Bình luận
*
Chia sẻ
Chia sẻ
Bình chọn:
4.6 trên 224 phiếu
Bài tiếp theo
*


Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay


Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

*


*
*
*
*
*
*
*
*


TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE



Bài giải mới nhất


× Góp ý cho toancapba.com

Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!


Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi góp ý

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Sai chính tả

Giải khó hiểu

Giải sai

Lỗi khác

Hãy viết chi tiết giúp toancapba.com


Gửi góp ý Hủy bỏ
× Báo lỗi

Cảm ơn bạn đã sử dụng toancapba.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!


Họ và tên:


Gửi Hủy bỏ
Liên hệ Chính sách
*
*


*

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép toancapba.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.