Cho mặt ước ((S)) có phương trình: ((x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 100) và phương diện phẳng ((α)) gồm phương trình (2x - 2y - z + 9 = 0). Khía cạnh phẳng ((α)) giảm mặt ước ((S)) theo một mặt đường tròn ((C)).

Bạn đang xem: Toán hình lớp 12 trang 92

Hãy xác minh toạ độ trung ương và tính bán kính của mặt đường tròn ((C)).


Phương pháp giải - Xem chi tiết

*


+) xác minh tâm I và bán kính R của mặt mong (S).

+) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I cùng vuông góc với ((alpha)).

+) Gọi (K = left( alpha ight) cap d), tra cứu tọa độ điểm K, K đó là tâm mặt đường tròn (C).

+) Tính khoảng tầm cách (h = dleft( I;left( alpha ight) ight)), từ kia suy ra bán kính (r) của con đường tròn (C): (r = sqrt R^2 - h^2 ).

Xem thêm: Toán Nâng Cao Lớp 4 Kì 2 - Bài Tập Toán Nâng Cao Lớp 4 Có Lời Giải


Quảng cáo

*

*

Mặt cầu ((S)) có trung khu (I(3, -2, 1)) và bán kính (R = 10).

Khoảng cách từ chổ chính giữa (I) của mặt cầu ((S)) đến mặt phẳng ((α)) là:

(h=d(I, α)) = (left| 2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9 over sqrt 2^2 + ( - 2)^2 + ( - 1)^2 ight| = 18 over 3 = 6)

Gọi (r) là nửa đường kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: (r = sqrt R^2 - h^2 = sqrt 10^2 - 6^2 = 8)

Tâm (K) của đường tròn ((C)) là hình chiếu vuông góc của trọng tâm (I) của mặt cầu bên trên mặt phẳng ((α)).

Mặt phẳng (((α)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = (2, -2. -1)).

Đường thẳng (d) qua (I) và vuông góc với ((α)) nhận (overrightarrow n = (2, -2, -1)) làm vectơ chỉ phương và có phương trình (d) : (left{ matrixx = 3 + 2t hfill cr y = - 2 - 2t hfill cr z = 1 - t hfill cr ight.)

(K in d Rightarrow Kleft( 3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t ight);,,K in left( alpha ight)) phải thay tọa độ điểm K vào phương trình phương diện phẳng ((alpha)) ta có: 

Mặt phẳng ((BCD)) trải qua (B) với nhận (overrightarrow a = left< overrightarrow BC ;overrightarrow BD ight>) là 1 trong VTPT. Minh chứng ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh (A otin left( BCD ight))

Lời giải đưa ra tiết:

Ta có: (overrightarrow BC = (-1; 2; -7)), (overrightarrow BD= (0; 4; -6))

Xét vectơ (overrightarrow a = left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight>) ( Rightarrow overrightarrow a = (16; - 6; - 4) = 2(8; - 3; - 2))

Mặt phẳng ((BCD)) trải qua (B) và nhận (overrightarrow a" = (8; -3; -2)) làm vectơ pháp tuyến bắt buộc có phương trình:

(8(x - 1) -3y - 2(z - 6) = 0) ( Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0)

Thay toạ độ của (A) vào phương trình của ((BC)) ta có:

(8.(-2) - 3.6 - 2.3 + 4 = -36 ≠ 0)

Điều này chứng tỏ điểm (A) ko thuộc mặt phẳng ((BCD)) hay bốn điểm (A, B, C, D) ko đồng phẳng, và (ABCD) là một tứ diện.


Quảng cáo

*

LG b

b) Tính chiều cao (AH) của tứ diện (ABCD)

Phương pháp giải:

(AH = dleft( A;left( BCD ight) ight))

Lời giải đưa ra tiết:

Chiều cao (AH) của tứ diện bao gồm là khoảng cách từ (A) đến mặt phẳng ((BCD)):

(AH = d(A,(BCD))) = ( over sqrt 8^2 + ( - 3)^2 + ( - 2)^2 = 36 over sqrt 77 )


LG c

c) Viết phương trình khía cạnh phẳng ((α)) đựng (AB) và song song với (CD).

Phương pháp giải:

(overrightarrow n _left( alpha ight) = left< overrightarrow AB ;overrightarrow CD ight>) là 1 trong VTPT của phương diện phẳng ((alpha)) và ((alpha)) đi qua A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: (overrightarrow AB = (3; - 6; 3)), (overrightarrow CD = ( 1; 2; 1))

Mặt phẳng ((α)) chứa (AB) và (CD) chính là mặt phẳng đi qua (A(-2; 6; 3)) và nhận cặp vectơ (overrightarrow AB ), (overrightarrow CD ) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow CD ight>)

Ta có: (overrightarrow AB = left( 3; - 6;3 ight);,,overrightarrow CD = left( 1;2;1 ight))