Bạn đang xem: Toán 12 bài 4 trang 101

Phương pháp:

Một số dạng nguyên hàm và bí quyết đặt nhằm tính bằng phương thức nguyên hàm từng phần:

Dạng 1:(int P(x).e^ max + bdx,,,,int P(x)sin ( max + b)dx,,,int P(x)c mos( max + b)dx )

Cách giải: Đặt(u = P(x),,,dv = e^ max + bdx,)hoặc(dv = sin (ax + b)dx,,,dv = cos (ax + b)dx.)

Dạng 2:(int P(x)ln ( max + b)dx)

Cách giải: Đặt(u = ln ( max + b),,,dv = P(x)dx.)

Lời giải:

Lời giải cụ thể câu a, b, c, d bài xích 4 như sau:

Câu a:

Đặt:(left{ eginarrayl u = ln (1 + x)\ dv = xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = fracdx1 + x\ v = fracx^22 endarray ight.)

(eginarrayl int xln (1 + x)dx = fracx^22ln (1 + x) - frac12int fracx^2dxx + 1 \ = fracx^22ln (1 + x) - frac12int left( x - 1 + frac1x + 1 ight)dx \ = fracx^22ln (1 + x) - frac12left( ight) + C\ = frac12(x^2 - 1)ln (1 + x) - fracx^24 + fracx2 + C. endarray)

Câu b:

Đặt(left{ eginarrayl u = x^2 + 2x - 1\ dv = e^xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = (2x + 2)dx\ v = e^x endarray ight.)

(int (x^2 + 2x + 1) e^xdx = (x^2 + 2x - 1)e^x - 2int (x + 1)e^xdx)

Đặt:(left{ eginarrayl u = x + 1\ dv = e^xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = dx\ v = e^x endarray ight.)

Suy ra:(int (x + 1)e^xdx = (x + 1)e^x - int e^xdx = xe^x + C)

Vậy:(int (x^2 + 2x - 1)e^xdx = (x^2 + 2x - 1)e^x - 2xe^x + C = (x^2 - 1)e^x + C.)

Câu c:

Đặt:(left{ eginarrayl u = x\ dv = sin (2x + 1)dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = dx\ v = - frac12cos (2x + 1) endarray ight.)

(eginarrayl int xsin (2x + 1)dx = - fracx2cos (2x + 1) + frac12int cos (2x + 1)dx \ = - fracx2cos (2x + 1) + frac14sin (2x + 1) + C. endarray)

Câu d:

Đặt:(left{ eginarrayl u = 1 - x\ dv = cos dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = - dx\ v = sin x endarray ight.)

(eginarrayl int (1 - x)cos xdx = (1 - x)sin x + int sin xdx \ = (1 - x)sin x - cos x + C. endarray)

Đặt (left{ eginarraylu = uleft( x ight)\dv = v"left( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = u"left( x ight)dx\v = vleft( x ight)endarray ight..)

Khi kia ta có: (int fleft( x ight)dx = uleft( x ight)vleft( x ight) - int u"left( x ight)vleft( x ight)dx .)

Lời giải bỏ ra tiết:

(;;int xln left( 1 + x ight)dx. )

Đặt: (left{ eginarraylu = ln left( 1 + x ight)\dv = xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfrac1x + 1dx\v = dfracx^22endarray ight..)

(eginarrayl Rightarrow int xln left( 1 + x ight)dx = dfracx^22ln left( 1 + x ight) - int dfracx^22left( x + 1 ight)dx \ = dfracx^22ln left( 1 + x ight) - dfrac12int left( dfracx^2 - 1x + 1 + dfrac1x + 1 ight)dx \ = dfracx^22ln left( 1 + x ight) - dfrac12int left( x - 1 + dfrac1x + 1 ight)dx \= dfracx^22ln left( 1 + x ight) - dfrac12left( dfracx^22 - x + ln left( 1 + x ight) ight) + C\ = dfracx^22ln left( 1 + x ight) - dfracx^24 + dfracx2 - dfrac12ln left( 1 + x ight) + C\= dfrac12left( x^2 - 1 ight)ln left( 1 + x ight) - dfracx^24 + dfracx2 + C.endarray)


Quảng cáo

*

Xem thêm: Bài tập lớp 4 nâng cao: dạng toán nâng cao lớp 4 tính nhanh, bai tap nang cao toan lop 4 dang toan tinh nhanh

LG b

b) (int (x^2 + 2x - 1)e^xdx)

Lời giải đưa ra tiết:

(;int left( x^2 + 2x - 1 ight)e^xdx. )

Đặt: (left{ eginarraylu = x^2 + 2x - 1\dv = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = left( 2x + 2 ight)dx\v = e^xendarray ight..)

(eginarrayl Rightarrow int left( x^2 + 2x - 1 ight)e^xdx= left( x^2 + 2x - 1 ight)e^x - int left( 2x + 2 ight)e^xdx \ = left( x^2 + 2x - 1 ight)e^x - 2int left( x + 1 ight)e^xdx .endarray)

Xét (int left( x + 1 ight)e^xdx: )

Đặt: (left{ eginarraylu = x + 1\dv = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = e^xendarray ight..)

(eginarraylRightarrow int left( x + 1 ight)e^xdx \= left( x + 1 ight)e^x - int e^xdx \ = left( x + 1 ight)e^x - e^x + C = xe^x + C.\ Rightarrow int left( x^2 + 2x - 1 ight)e^xdx \= left( x^2 + 2x - 1 ight)e^x - 2xe^x + C\ = left( x^2 - 1 ight)e^x + C.endarray)


LG c

c) (∫xsin(2x+1)dx);

Lời giải bỏ ra tiết:

(;;int xsin left( 2x + 1 ight)dx .)

Đặt: (left{ eginarraylu = x\dv = sin left( 2x + 1 ight)dxendarray ight.\ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = - dfrac12cos left( 2x + 1 ight)endarray ight..)

(eginarrayl Rightarrow int xsin left( 2x + 1 ight)dx \= - dfrac12xcos left( 2x + 1 ight) + dfrac12int cos left( 2x + 1 ight)dx \ = - dfrac12xcos left( 2x + 1 ight) + dfrac14sin left( 2x + 1 ight) + C.endarray)


LG d

d) (int (1-x)cos xdx)

Lời giải bỏ ra tiết:

(;;int left( 1 - x ight)cos xdx )

Đặt: (left{ eginarraylu = 1 - x\dv = cos xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = - dx\v = sin xendarray ight..)

(eginarraylRightarrow int left( 1 - x ight)cos xdx \= left( 1 - x ight)sin x + int sin xdx \= left( 1 - x ight)sin x - cos x + C.endarray)